2011届上海市黄浦区高三第一学期期终基础学业测评数学理卷

黄浦区2010学年度第一学期期终基础学业测评
高三数学试卷(理)
(2011年1月12日)
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一．填空题(本大题满分56分)　本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．函数的定义域是　　　　　　　　．
2．已知函数互为反函数，若函数
的图像过点，则＝　　　　　　．
3．已知命题A：若．命题A的逆否命题是　　　　　　　　　；该逆否命题是　　　．(填“真命题”或“假命题”)
4．已知全集，集合，
，则＝　　　　　．
5．不等式的解集是　　　　　　　　　　　　　．
　　6．方程的解集是　　 　 　　　　　　　　．　
7．已知角的顶点在原点，始边与平面直角坐标系x轴的正半轴重合，点在角的终边上，则＝　　　　　　　　．
8．如图1所示，正三棱柱的所有棱的长度都为4，则异面直线所成的角是　　　　　　　　　(结果用反三角函数值表示)．
9．已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥体的体积是　　　　　　　　．
10．已知是两个不共线的平面向量，向量，若，则＝　　　　　　 ．
11．一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为　　　　　　(用数值作答)．
12．下面是用区间二分法求方程在内的一个近似解(误差不超过0.001)的算法框图，如图2所示，则判断框内空白处应填入　　　　，才能得到需要的解．
　　13．在数列(p为常数)，则称数列为“等差比”数列，p叫数列的“公差比”．现给出如下命题：
等差比数列的公差比p一定不为零；
若数列是等比数列，则数列一定是等差比数列；
若等比数列是等差比数列，则等比数列的公比与公差比相等．
则正确命题的序号是　　　　　　　　　　　　　　　．
14．若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是　　．
二．选择题(本大题满分16分)　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
15．函数()的最小正周期T=　　　　 [答]( )
A．． 　B．． C．． D．．
16．已知关于x、y的二元一次线性方程组的增广矩阵是，则该线性方程组有无穷多组解的充要条件是＝ [答]( )
　　　 　A．2．　　 B．1或2． C．1． D．0．
　　17．给出下列命题：
　　　(1)函数
(2) ；
　　　(3)在空间中，若角的两边分别与角的两边平行，则；
　　　(4)从总体中通过科学抽样得到样本数据()，则数值(为样本平均值)可作为总体标准差的点估计值．
则上述命题正确的序号是 [答]( )
　　　A．(1)、(2)、(4)．　B．(4)． C．(2)、(3)． D．(2)、(4)．
18．若，则该数列的前2011项的乘积　　　　　　　　　　　 　　　　　　 [答]( )
　　　A．3． 　B．-6． C．． D．．
三．解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
如图3所示，已知三棱锥中，点
的中点．
(1)求证四点共面；
(2)已知，点C在球面上，求球M的体积V．
20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
定义：如果函数，满足
，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．如上的平均值函数，0就是它的均值点．
(1)判断函数在区间上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；
(2)若函数上的平均值函数，试确定实数的取值范围．
21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分．
已知是偶函数．
求b的值；
若在函数定义域内总存在区间(m22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．
如图4,某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为.赛道的后一段为折线段MNP，为保证参赛队员的安全，限定.
(1)求实数的值以及M、P两点之间的距离；
(2)联结MP，设，试求出用的解析式；
(3)应如何设计，才能使折线段MNP最长？

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题满分5分．
　　已知各项都为正数的数列，其中的前n项的和．
(1)；
(2)已知p(2)是给定的某个正整数，数列
()，求；
(3)化简．
黄浦区2010学年度第一学期期终基础学业测评
数学试卷(文理合卷)
(2011年1月12日)
参考答案和评分标准
一、填空题
1、；2、；3、 (每空2分) ；
4、；5、； 6、；
7、　；8、(理科)，(文科)；9、 ；10、 ；
11、(理科)，(文科)；12、；
13、(理科)(1)、(3) ，(文科) ； 14、(理科)，(文科) 3．

二、选择题：　15、B　　　16、C　　　17、D　　　18、(理科)A(文科)D
三、解答题
19、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
解(1)
．
　　　．
　　　于是，．
(2)
　．
　　．
　．
　．
　　．
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
解(1)由定义可知，关于x的方程在内有实数根时，
函数．
　　解，可得．
　　又，
　　所以，上的平均值函数，5是它的均值点．
(2)上的平均值函数，
在内有实数根．
　　，解得．
　　又
　　必为均值点，即．
　　∴所求实数．
21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分．
　解(1)由已知可得，，且函数的定义域为D=．
　　　　又是偶函数，故定义域D关于原点对称．
　　　　于是，b=0()．
又对任意
因此所求实数b=0．
　(2)　由(1)可知，．
　　考察函数的图像，可知：
　．
　　　因在区间上的函数值组成的集合也是，故必有．
　　①当时，有，即方程，也就是有两个不相等的正实数根，因此，解得．
　　②当时，有，化简得，解得．
　　综上所述，所求实数．
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．
解(1)结合题意和图像，可知，
解此方程组，得，于是．
进一步可得点M的坐标为．
所以，(km)．
(2)在，故．
　又，
　因此，()．
(3)把进一步化为：
()．
　　所以，当(km)．
可以这样设计：联结MP，分别过点M、P在MP的同一侧作与MP成角的射线，记两射线的交点为N，再修建线段NM和NP，就可得到满足要求的最长折线段MNP赛道．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题满分5分．
(理科)解(1)，，
　．
　．
　是首项为，公差为2的等差数列；是首项为，公差为2的等差数列．又，可得．
　　　∴．
所以，所求数列的通项公式为．
　　(2)是给定的正整数()，，
　　　数列是项数为p项的有穷数列．又．
　,…
归纳可得．
(3)由(2)可知，进一步可化为：．
所以，
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　．
(文科)
∴数列是等差比数列，且公差比p=2．
　　(2)∵数列是等差比数列，且公差比p=2，
，即数列．
．于是，
　　　　，
　　　　，
　　　　…
　　　　．
将上述个等式相加，得
.
∴数列的通项公式为．
(3)由(2)可知，
　　　　　　　　　
　　于是，．
所以，数列是等差比数列，且公差比为．