北师大版高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》全部教案
文档属性
| 名称 | 北师大版高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》全部教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 188.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-01-23 11:42:00 | ||
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
北师大版高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》全部教案
扶风县法门高中 姚连省
1.1命题及其关系
第一课时1.1.1 命题
一、教学目标：１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点：重点：命题的概念、命题的构成；难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
三、教学过程
（一）、复习回顾：初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？
（二）、探析新课
1、思考、分析：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？
（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．
2、讨论、判断：学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。
教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。
3、抽象、归纳：定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．
在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子． 教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
4、练习、深化：判断下列语句是否为命题？
（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？
（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）＝－２．（６）x＞１５．
让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。
引申：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出一些定理、推论的例子来看看？
通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题．
过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部分构成）。紧接着提出问题：命题是否也是由条件和结论两部分构成呢？
5、命题的构成――条件和结论：定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者 “如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．
6、练习、深化：指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．
（１）若整数a能被２整除，则a是偶数．（２）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直平分．
（３）若a＞0，b＞0，则a+b＞0．（４）若a＞0，b＞0，则a+b＜0．（５）垂直于同一条直线的两个平面平行．
此题中的（１）（２）（３）（４），较容易，估计学生较容易找出命题中的条件p和结论q，并能判断命题的真假。其中设置命题（３）与（４）的目的在于：通过这两个例子的比较，学更深刻地理解命题的定义——能判断真假的陈述句，不管判断的结果是对的还是错的。
此例中的命题（５），不是“若P，则q”的形式，估计学生会有困难，此时，教师引导学生一起分析：已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”．解略。
过渡：从例２中，我们可以看到命题的两种情况，即有些命题的结论是正确的，而有些命题的结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题．
7、命题的分类――真命题、假命题的定义．
真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．
假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．
强调：(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．
(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。
8、怎样判断一个数学命题的真假？(１)数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．(２)要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
9、练习、深化：例３：把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题：
（1） 面积相等的两个三角形全等。
（2） 负数的立方是负数。
（3） 对顶角相等。
分析：要把一个命题写成“若P，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”即“若P，则q”的形式．解略。
（三）、课堂练习：Ｐ４ ２、３
（四）、课堂总结 师生共同回忆本节的学习内容．
1．什么叫命题？真命题？假命题？ 2．命题是由哪两部分构成的？
3．怎样将命题写成“若P，则q”的形式． 4．如何判断真假命题．
教师提示应注意的问题：1．命题与真、假命题的关系．2．抓住命题的两个构成部分，判断一些语句是否为命题．３．判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，要经过证明．
（五）、作业：P9：习题1．１Ａ组第1题
五、教后反思：
第二课时 1.1.2四种命题 1.1.3四种命题的相互关系
一、教学目标：1、知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假． 2、过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3、情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
二、教学重点与难点
重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．
难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习引入：初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？
（二）、探析新课
1、思考、分析：问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
2、归纳总结：问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
3、抽象概括：定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子。定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．让学生举一些互否命题的例子。定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．让学生举一些互为逆否命题的例子。
小结：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题；（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
4、四种命题的形式：让学生结合所举例子，思考：若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？
学生通过思考、分析、比较，总结如下：原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．
否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．
5、练习巩固：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：
（1） 若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
（2） 若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；
（3） 若x2=1,则x=1；
（4） 若整数a是素数，则是a奇数。
6、思考、分析：结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？
通过此问，学生将发现：①原命题为真，它的逆命题不一定为真。②原命题为真，它的否命题不一定为真。③原命题为真，它的逆否命题一定为真。
原命题为假时类似。结合以上练习完成下列表格：
原 命 题 逆 命 题 否 命 题 逆 否 命 题
真 真
假 真
假 真
假 假
由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．
由此会引起我们的思考：一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．
学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：
7、总结归纳
若P，则q． 若q，则P．
原命题 互 逆 逆命题
互否 互 为 否逆 互否
为 互 逆 否
否命题 逆否命题
互 逆
若￢P，则￢q． 若￢q，则￢P．
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
（三）、例题分析：例4： 证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
将“若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．
证明：若p ＋ q ＞2，则
p2 ＋ q2 ＝［（p －q）2＋（p ＋q）2］≥（p ＋q）2＞×２２＝２
所以p2 ＋ q2≠2．这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。
练习巩固：证明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．
（四）、课堂总结：（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；（４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．
（五）、作业 P9：习题1．１Ａ组第２、３、４题
五、教后反思：
第三课时 1．2.1充分条件与必要条件
一、教学目标:1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力． ３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
二、教学重点与难点
重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)
难点：判断命题的充分条件、必要条件
关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、创设情境
当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.
（二）、活动尝试
问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？
（1）若x＝y，则x2＝y2（2）若ab = 0，则a = 0（3）若x2>1，则x>1（4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0
推断符号“”的含义： “若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq.
简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；“若p则q”为假，记作pq（或qp）.
（三）、师生探究
命题(1)、 (4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq.”
说明： “pq”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q成立，即表示“p蕴含q”。
（四）、归纳概括
1.什么是充分条件？什么是必要条件？
一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知pq，且qp，那么就说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知pq，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件；
回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系.
命题(1)中因x＝y x2＝y2，所以“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件，“x2＝y2”是“x＝y”的必要条件；x2＝y2x＝y，所以“x2＝y2”不是“x＝y”的充分条件，“x＝y”不是“x2＝y2”的必要条件；
命题(2)中因a = 0 ab = 0，，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0”的必要条件. ab = 0 a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分条件，“a = 0”不是“ab = 02”的必要条件；
命题(3)中，因“x>1x2>1”，所以“x>1”是x2>1的充分条件，“x2>1”是“x>1”的必要条件. x2>1 x>1，所以“x2>1”不是“x>1”的充分条件，“x>1”不是“x2>1”的必要条件.
命题4)中，因x＝1或x＝2 x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要分条件.
由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即pq，而q p.(2)必要不充分条件，即：p q，而qp.
(3)既充分又必要条件，即pq，又有qp.(4)既不充分又不必要条件，即p q，又有q p.
2.充分条件与必要条件的判断：（1）直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）（2）利用等价命题关系判断：“pq”的等价命题是“qp”。即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。
（五）、巩固运用
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
（1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. （2） p：两条直线平行；q：内错角相等.
（3） p：a>b；q：a2>b2 （4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形.
分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.
解：⑴由pq，即x-1=0(x-1)(x+2)=0，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.
⑵由pq，即两条直线平行内错角相等，知p是q的充要条件，q是p的充要条件；
⑶由pq，即a>b a2>b2，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；qp，即a2>b2a>b，知q不是p的充分条件，p不是q的必要条件.综述：p是q的既不充分条件又不必要条件。
⑷由q p，即四边形是正四边形四边形的四条边相等，知q是p的充分条件，p是q的必要条件. 由pq，即四边形的四条边相等四边形是正四边形，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；综述：p是q的必要不充分条件。
以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.
例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：
⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.
⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.
解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵如图2⑴，∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”. ∵“B不为绿色 A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.
先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式.
再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q┐p）的形式.
总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.
例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.
给定两个条件p ,q，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A={x |x满足条件q},B={x |x满足条件p}①AB,则p为q的充分条件，q为p的必要条件；②BA, 则p为q的充要条件，q为p的充要条件；
（六）、回顾反思
本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.（1）若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件.（2）条件是相互的；（3）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；
③ p是q的充要条件； ④ p是q的既不充分也不必要条件。
（七）、练习巩固：P12 练习 第1、2、3、4题
（八）、作业： P14：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题
注：（1）条件是相互的；（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；③ p是q的充要条件；④ p是q的既不充分也不必要条件．
五、教后反思：
第四课时 1.2.2充要条件
一、教学目标
1.知识与技能目标：（1）、正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（2）、正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.（3）、通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．
2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．
3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
二、教学重点与难点
重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题
难点：正确区分充要条件．
三、教学过程
（一）、复习提问
1.什么叫充分条件？什么叫必要条件？说出“”的含义
2.指出下列各组命题中，“pq”及“qp”是否成立
（1）p：内错角相等 q：两直线平行
（2）p：三角形三边相等 q：三角形三个角相等
（二）、探析新课
1、（通过复习提问直接引入课题）充要条件定义：
一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：pq。
这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件
点明思路：判断p是q的什么条件，不仅要考查pq是否成立，即若p则q形式命题是否正确，还得考察qp是否成立，即若q则p形式命题是否正确。
2、辨析题：（学生讨论并解答，教师引导并归纳）
思考：下列各组命题中，p是q的什么条件：
1) p： x是6的倍数。 q：x是2的倍数
2) p： x是2的倍数。 q：x是6的倍数
3) p： x是2的倍数，也是3的倍数。q：x是6的倍数
4) p： x是4的倍数 q：x是6的倍数
总结：1) pq 且q≠> p 则 p是q的充分而不必要条件
2) qp 且p≠>q 则p 是q 的必要而不充分条件
3) pq 且qp 则q 是p的充要条件
4) p≠>q 且q≠>p则 p是 q的既不充分也不必要条件
强调：判断p是q的什么条件，不仅要考虑pq是否成立，同时还要考虑qp是否成立。
且p是q的什么条件，以上四种情况必具其一.
3、巩固强化
例题：指出下列各命题中，p是q的什么条件：
1) p：x>1 q：x>2
2) p：x>5 q：x>-1
3) p：(x-2)(x-3)=0 q：x-2=0
4) p：x=3 q：=9
5) p：x=±1 q：x-1=0
解：1） ∵x>1≠> x>2 但x>2x>1 ∴ p是q的必要而不充分条件
2) ∵x>5x>-1 但x>-1≠> x>5 ∴p是q的充分而不必要条件
3) ∵(x-2)(x-3)=0 ≠>x-2=0但 x-2=0(x-2)（x-3）=0
∴p是q的必要而不充分条件
4) ∵x=3x=9 但x=9 ≠>x=3 ∴ p是q的充分而不必要条件
5) ∵x= ±1x-1=0 且x=1x=±1 ∴p是q的充要条件
通过例题引导同学观察归纳：当p、q分别从集A、B合出现时若AB但B不包含于A，即A 是B的真子集，则p是q的充分而不必要条件；若AB 但A不包含于B， 即B是A的真子集，则p是q的必要而不充分条件；若AB且BA 即A=B 则p是q的充要条件；若A不包含于B，且B不包含于A，则p是q的既不充分也不必要条件
总结判断p是q的什么条件：方法1：考察pq 及qp 是否成立。即：判断若p则q形式命题及若q则p形式命题真假.方法2：集合观点
4、拓展联系：1）请举例说明：p是q的充分而不必要条件；p是q的必要而不充分条件
p是q的既不充分也不必要条件；p是q的充要条件
2）从 “充分而不必要条件” “必要而不充分条件” “充要条件” “既不充分也不必要条件”中选出适当一种填空： ①“aN”是“aZ”的
②“a≠0”是“ab≠0”的
③“x=3x+4”是“x=”的
④“四边相等”是“四边形是正方形”的
3）判断下列命题的真假： ①“a>b”是“a>b”的充分条件；②“a>b”是“a>b”的必要条件；③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件；④“a>b”是“ac>bc”的充分条件
（点题：举反例在说明p≠>q或q≠>p时应用）
（三）、巩固提高：（学生讨论，师生共同完成）
1、若甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件,丁是丙的必要而不充分条件，问丁是甲的什么条件？
2、求证：关于X的方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个符号相反且不为零的实根充要条件是ac<0
3、已知 P： ≤ 2 ，q：x-2x+1-m≤0 (m>0)且p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围。
（点题：依据：若p则q命题与其逆否命题若q则p同真假，由qp且p≠>q，知pq且q≠>p）
（四）、小结 （学生回顾所学内容并小结,教师补充完善）
（1) 充要条件：若pq 且qp则p是q的充要条件
（2） 判断p是q 的什么条件，不仅要考察pq是否成立，还要考察qp是否成立
（3） 判断pq是否成立，
思路1： 判断若p则q形式命题真假 ；思路2： 若p则q形式命题真假难判断时 判断其逆否命题真假；思路3： 集合的观点
（五）、作业：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题
五、教后反思：
1.3简单的逻辑联结词
第五课时1.3.1 且与或
一、教学目标：1.知识与技能目标：（1）掌握逻辑联结词“或、且”的含义；（2）正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题；（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题。2．过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．3.情感态度价值观目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
二、教学重点与难点
重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。难点：1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”.
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、引入：在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．
在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别）
（二）、探析新课
1、思考、分析：问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？
（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。
（2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。
学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。
问题2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否举一些例子？
例如：命题p：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。
命题q：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。
2、归纳定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q读作“p且q”。
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。
命题“p∧q”与命题“p∨q”即，命题“p且q”与命题“p或q”中的“且”字与“或” 字与下面两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义相同吗？
（1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。（2）若 x∈A或x∈B，则x∈A∪B。
定义中的“且”字与“或” 字与两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义是类似。但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前后两者同时兼有，同时满足, 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能.
说明：符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。
注意：“p或q”，“p且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
3、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的规定
你能确定命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假吗？命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假和命题p，q的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p，q以及命题p∧q的真假性，概括出这三个命题的真假之间的关系的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，①②都是真命题，所以命题③是真命题。
第（2）组命题中，①是假命题，②是真命题，但命题③是真命题。
p q p∧q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
p q p∨q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
（即一假则假） （即一真则真）
一般地，我们规定：
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。
（三）、例题
例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式，并判断它们的真假。
（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等。
（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
解：（1）p∧q：平行四边形的对角线互相平分且平行四边形的对角线相等.也可简写成平行四边形的对角线互相平分且相等.
p∨q: 平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等. 也可简写成平行四边形的对角线互相平分或相等.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（2）p∧q：菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分. 也可简写成菱形的对角线互相垂直且平分.
p∨q: 菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分. 也可简写成菱形的对角线互相垂直或平分.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（3）p∧q：35是15的倍数且35是7的倍数. 也可简写成35是15的倍数且是7的倍数.
p∨q: 35是15的倍数或35是7的倍数. 也可简写成35是15的倍数或是7的倍数.
由于p是假命题, q是真命题,所以p∧q是假命题, p∨q是真命题．
说明，在用＂且＂或＂或＂联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的意思不变．
例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。
（1）1既是奇数，又是素数；（2）2是素数且3是素数；（3）2≤2．
解略．
例3、判断下列命题的真假；（1）6是自然数且是偶数；（2）是A的子集且是A的真子集；（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．
解略．
（四）、练习：Ｐ2０ 练习第1 ， 2题
（五）、课堂总结：（1）掌握逻辑联结词“或、且”的含义；（2）正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题；（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题
p q P∧q P∨q
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 假 真
假 假 假 假
（六）、作业：P20：习题１.３Ａ组第1、2题
五、教后反思：
第六课时 1.3.2 非
一、教学目标
1.知识与技能目标：（1）掌握逻辑联结词“非”的含义；（2）正确应用逻辑联结词“非”解决问题；（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题
2．过程与方法目标：观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维能力中严密性品质的培养．
3.情感态度价值目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
二、教学重点与难点
重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.
难点： 1、正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题 “￢P”.
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
三、教学过程：
（一）、思考、分析
问题1：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？
（1） ①35能被5整除； ②35不能被5整除；
（2） ①方程x2+x+1=0有实数根。 ②方程x2+x+1=0无实数根。
学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。
（二）、归纳定义
1、定义：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p；读作“非p”或“p的否定”。
2、命题“￢p”与命题p的真假间的关系
命题“￢p”与命题p的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p与命题￢p的真假性，概括出这两个命题的真假之间的关系的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，命题①是真命题，而命题②是假命题。
第（2）组命题中，命题①是假命题，而命题②是真命题。
由此可以看出，既然命题￢P是命题P的否定，那么￢P与P不能同时为真命题，也不能同时为假命题，也就是说，
若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；
p ￢P
真 假
假 真
3、命题的否定与否命题的区别：让学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什么区别？
命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，因此在解题时应分请命题的条件和结论。
例：如果命题p:5是15的约数，那么命题￢p：5不是15的约数；
p的否命题：若一个数不是5，则这个数不是15的约数。
显然，命题p为真命题，而命题p的否定￢p与否命题均为假命题。
（三）、例题分析
例1 写出下表中各给定语的否定语。
若给定语为 等于 大于 是 都是 至多有一个 至少有一个
其否定语分别为
分析：“等于”的否定语是“不等于”；“大于”的否定语是“小于或者等于”；“是”的否定语是“不是”； “都是”的否定语是“不都是”；“至多有一个”的否定语是“至少有两个”；“至少有一个”的否定语是“一个都没有”。
例2：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假
（1）p：y ＝ sinx 是周期函数；
（2）p：3＜2；
（3）p：空集是集合A的子集。
解析：（1）￢P：y ＝ sinx不是周期函数；假命题；（2）￢P：3≥2；真命题；（3）￢P：空集不是集合A的子集；假命题。
（四）、练习巩固：P20 练习第3题
（五）、小结（１）正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定．（２）简洁、准确地表述命题 “￢P”.
（六）、作业 P20：习题１.３Ａ组第3题
五、教后反思：
第七课时 简单的逻辑联结词（一）或且非
一、教学目标：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解复合命题的结构.
二、教学重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义及复合命题的构成。
教学难点：对“或”的含义的理解；
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框架。本节内容，我们将学习一些简单命题的组合，并学会判断这些命题的真假。
问题1：下列语句是命题吗？如果不是，请你将它改为命题的形式
①11>5 ②3是15的约数吗？ ③0.7是整数 ④x>8
（二）、活动尝试
①是命题，且为真；②不是陈述句，不是命题，改为③是3是15的约数，则为真；
③是假命题 ④是陈述句的形式，但不能判断正确与否。改为x2≥0，则为真；
例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）。我们不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，只要能从正面的例子了解命题的概念就可以了。
（三）、师生探究
问题2：（1）6可以被2或3整除；（2）6是2的倍数且6是3的倍数；（3）不是有理数；
上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别？比前面的命题复杂了，且（1）和（2）明显是由两个简单的命题组合成的新的比较复杂的命题。
命题（1）中的“或”与集合中并集的定义：A∪B={x|x∈A或x∈B}的“或”意义相同.
命题（2）中的“且”与集合中交集的定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}的“且”意义相同.
命题（3）中的“非”显然是否定的意思，即“不是有理数”是对命题是有理数”进行否定而得出的新命题.
（四）、抽象概括
1. 逻辑连接词：命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词
2. 复合命题的构成：简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题
复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题
3.复合命题构成形式的表示：常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示简单命题.
复合命题的构成形式是：p或q；p且q；非p.
即：p或q 记作 pq p且q 记作 pq 非p (命题的否定) 记作 p
释义：“p或q”是指p,q中的任何一个或两者.例如，“xA或xB”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即xA∪B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.
“p且q”是指p,q中的两者.例如，“xA且xB”，是指x属于A，同时x也属于B（即xAB）.
“非p”是指p的否定，即不是p. 例如，p是“xA”，则“非p”表示x不是集合A的元素（即x）.
（五）、巩固运用：例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：
（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；（3）平行线不相交
解：（1）中的命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数；q：24是6的倍数.
（2）的命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员；q：李强是跳高运动员.
（3）命题是非p的形式，其中p：平行线相交。
例2: 分别指出下列复合命题的形式（1）8≥7；（2）2是偶数且2是质数；（3）不是整数；
解：（1）是“”形式，：，：8=7；（2）是“”形式，：2是偶数，：2是质数；（3）是“”形式，：是整数；
例3：写出下列命题的非命题：（1）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0；（2）q：存在一个实数x，使得x2－9=0（3）“AB∥CD”且“AB=CD”；（4）“△ABC是直角三角形或等腰三角形”．
解：（1）存在一个实数x，使得x2－2x+1＜0；（2）不存在一个实数x，使得x2－9=0；
（3）AB不平行于CD或AB≠CD；（4）原命题是“p或q”形式的复合命题，它的否定形式是：△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形．
复合命题的构成要注意：（1）“p或q”、“p且q”的两种复合命题中的p和q可以是毫无关系的两个简单命题（2）“非p”这种复合命题又叫命题的否定；是对原命题的关键词进行否定。
下面给出一些关键词的否定：
正面语词 或 等于 大于 小于 是 都是 至少一个 至多一个
否定 且 不等于 不大于（小于等于） 不小于（大于等于） 不是 不都是 一个也没有 至少两个
（六）、回顾反思：本节课讨论了简单命题与复合命题的构成，以及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。需要注意的是否命题的关键词的否定是问题的核心。
（七）、作业布置：1．命题“方程x2＝2的解是x＝±是( )
A．简单命题 B．含“或”的复合命题C．含“且”的复合命题D．含“非”的复合命题
2．用“或”“且”“非”填空，使命题成为真命题：
（1）x∈A∪B，则x∈A__________x∈B；（2）x∈A∩B，则x∈A__________x∈B；
（3）a、b∈R，a＞0__________b＞0，则ab＞0．
3．把下列写法改写成复合命题“p或q”“p且q”或“非p”的形式：
（1）（a－2）（a+2）=0；（2）；（3）a＞b≥0．
4．已知命题p：a∈A，q：a∈B，试写出命题“p或q”“p且q”“┐p”的形式．
5．用否定形式填空：
(1)a＞0或b≤0； (2)三条直线两两相交
(3)A是B的子集.___________________ (4)a，b都是正数.___________________
(5)x是自然数.___________________(在Z内考虑)
6．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p１是“第一次射击中飞机”，命题p２是“第二次射击中飞机”试用p１、p２以及逻辑联结词或、且、非(∨，∧，┐)表示下列命题：
命题S：两次都击中飞机；命题r：两次都没击中飞机；?命题t：恰有一次击中了飞机；
命题u：至少有一次击中了飞机.?
【参考答案：1．B；2．（1）或 （2）且 （3）且；3．（1）p：a－2=0或q：a+2=0；（2）p：x=1且q: y=2 ；（3）p：a＞b且q：b≥0；4．命题“p或q”：a∈A或a∈B．“p且q”：a∈A且a∈B．“┐p”：aA；5．(1)a≤0且b＞0(2)三条直线中至少有两条不相交(3)A不是B的子集
(4)a，b不都是正数(5)x是负整数．6．（1） （2）（3）（4）
五、教后反思：
第八课时 简单的逻辑联结词（二）复合命题
一、教学目标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假；
二、教学重点：判断复合命题真假的方法；教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：1．什么叫做命题？（可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题）2．逻辑联结词是什么？（“或”的符号是“∨”、“且”的符号是“∧”、“非”的符号是“┑”，这些词叫做逻辑联结词）3．什么叫做简单命题和复合命题？（不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题）4．复合命题的构成形式是什么？p或q(记作“p∨q” )； p且q(记作“p∨q” )；非p(记作“┑q” )
（二）、活动尝试
问题1: 判断下列复合命题的真假：（1）8≥7；（2）2是偶数且2是质数；（3）不是整数；
解：（1）真；（2）真；（3）真；
命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？
（三）、师生探究
1．“非p”形式的复合命题真假：
例1：写出下列命题的非，并判断真假：（1）p：方程x2+1=0有实数根；（2）p：存在一个实数x，使得x2－9=0．（3）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0；（4）p：等腰三角形两底角相等
显然，当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真．
2．“p且q”形式的复合命题真假：
例2：判断下列命题的真假：（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形；（2）5是10的约数且是15的约数（3）5是10的约数且是8的约数（4）x2-5x=0的根是自然数
所以得：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。
3．“p或q”形式的复合命题真假：
例3：判断下列命题的真假：（1）5是10的约数或是15的约数；（2）5是12的约数或是8的约数；（3）5是12的约数或是15的约数；（4）方程x2－3x-4=0的判别式大于或等于零
当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。
（四）、概括归纳
1．“非p”形式的复合命题真假：当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真．
p 非p
真 假
假 真
（真假相反）
2．“p且q”形式的复合命题真假：
当p、q为真时，p且q为真； 当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。
p q p且q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
（一假必假）
3．“p或q”形式的复合命题真假：
当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。
p q P或q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
（一真必真）
注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；
2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；
3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的
复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。如：p表示“圆周率π是无理数”，q表示“△ABC是直角三角形”，尽管p与q的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断其命题p或q 的真假。
4°介绍“或门电路”“与门电路”。
或门电路（或） 与门电路（且）
（五）、巩固运用
例4：判断下列命题的真假：
（1）4≥3 （2）4≥4 （3）4≥5 （4）对一切实数
分析：（4）为例：第一步：把命题写成“对一切实数或”是p或q形式；第二步：其中p是“对一切实数”为真命题；q是“对一切实数”是假命题。第三步：因为p真q假，由真值表得：“对一切实数”是真命题。
例5：分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假：
（1）p：2+2=5； q：3>2
（2）p：9是质数； q：8是12的约数；
（3）p：1∈{1，2}； q：{1}{1，2}
（4）p：{0}； q：{0}
解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+25.
∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.
②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.
∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.
③p或q：1∈{1，2}或{1}{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}{1，2}；非p：1{1，2}.
∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.
④p或q：φ{0}或φ={0}；p且q：φ{0}且φ={0} ；非p：φ{0}.
∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.
（六）、回顾反思：1．判断复合命题真假的步骤：（1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；（2）判断简单命题的真假；（3）根据真值表判断复合命题的真假。
2．注意数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别：“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个，但不是两者.日常生活中有时采用这一解释.例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能.二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者.例如“xA或xB”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即xA∩B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”.“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的.
（七）、作业布置：1．（1）如果命题“p或q”和“非p”都是真命题，则命题q的真假是_________。
（2）如果命题“p且q”和“非p”都是假命题，则命题q的真假是_________。
2．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假.
(1)5和7是30的约数.(2)菱形的对角线互相垂直平分.(3)8x－5＜2无自然数解.
3．判断下列命题真假：（1）10≤8； （2）π为无理数且为实数；
（3）2+2=5或3＞2． （4）若A∩B=，则A=或B=．
4．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。
【参考答案： 1．（1）真；（2）假；2．(1)是“p或q”的形式.其中p：5是30的约数；q：7是30的约数，为真命题．(2) “p且q”．其中p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分；为真命题．(3)是“┐p”的形式.其中p：8x－5＜2有自然数解.∵p：8x－5＜2有自然数解．如x＝0，则为真命题．故“┐p”为假命题．3．（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题．（4）真命题．4．由p命题可解得m＞2，由q命题可解得1＜m＜3；由命题p或q为真，p且q为假，所以命题p或q中有一个是真，另一个是假（1）若命题p真而q为假则有（2）若命题p真而q为假，则有所以m≥3或1＜m≤2。
五、教后反思：
1．4全称量词与存在量词
第九课时 1.4.1全称量词1.4.2存在量词
一、教学目标
1.知识与技能目标：（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．
2.过程与方法目标：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
3.情感态度价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
二、教学重点与难点
重点:理解全称量词与存在量词的意义；难点: 全称命题和特称命题真假的判定.
三、教学过程
（一）思考、分析
下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？
（1）2x＋１是整数；(2) x＞３；(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。
（二）、推理、判断
（让学生自己表述）
（1）、（2）不能判断真假，不是命题。（3）、(4)是命题且是真命题。
（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。
注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。
（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；
命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．
命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．
（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）
命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．
（三）、发现、归纳
命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。命题（5）－（8）都是全称命题。
通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示。那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：xM, p（x），读做“对任意x属于M，有p（x）成立”。
刚才在判断命题（5）－（8）的真假的时候，我们还得出这样一些命题：
（5），存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；
（6），存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．
（7）， 存在一个（个别、某些）实数x（如x＝2），使x≤３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）
（8），不存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数．
这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）命题（5），－（8），都是特称命题（存在命题）．
特称命题：“存在M中一个x，使p（x）成立”可以用符号简记为：。读做“存在一个x属于M,使p（x）成立”．
全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“ 至多有一个”等.
（四）、练习、感悟
（1）下列全称命题中，真命题是：
A. 所有的素数是奇数； B. ；
C. D.
（2）下列特称命题中，假命题是：
A. B.至少有一个能被2和3整除
C. 存在两个相交平面垂直于同一直线 D.x2是有理数．
（3）已知：对恒成立，则a的取值范围是 ；
变式：已知：对恒成立，则a的取值范围是 ；
（4）求函数的值域；
变式：已知：对方程有解，求a的取值范围．
（五）、作业、探究
（1）作业：P29习题1.4A组1、2题：
判断下列全称命题的真假：
①末位是o的整数，可以被5整除；
②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
③负数的平方是正数；
④梯形的对角线相等。
（2）判断下列特称命题的真假：
①有些实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有些菱形是正方形。
（3）探究：
①请课后探究命题（5），－（8），跟命题（5）－（8）分别有什么关系？
②请你自己写出几个全称命题，并试着写出它们的否命题．写出几个特称命题，并试着写出它们的否命题。
五、教后反思：
第十课时 1．4．3含有一个量词的命题的否定
一、教学目标
1.知识与技能目标
（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．
（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．过程与方法目标
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
3.情感态度价值观
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
二、教学重点与难点
教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．
教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、回顾
我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p ，如何得到命题p 的否定（或非p ），它们的真假性之间有何联系？
（二）、探析新课
1、思考、分析：判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）x∈R, x2－2x＋1≥0。
（4）有些实数的绝对值是正数；
（5）某些平行四边形是菱形；
（6） x∈R, x2＋1＜0。
2、推理、判断
你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
（让学生自己表述）
前三个命题都是全称命题，即具有形式“”。
其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，
也就是说，存在一个矩形不都是平行四边形；
命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”，
也就是说，存在一个素数不是奇数；
命题（3）的否定是“并非x∈R, x2－2x＋1≥0”，
也就是说，x∈R, x2－2x＋1＜0；
后三个命题都是特称命题，即具有形式“”。
其中命题（4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，
也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；
命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，
也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；
命题（6）的否定是“不存在x∈R, x2＋1＜0”，
也就是说，x∈R, x2＋1≥0；
3、发现、归纳
从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定都变成了全称命题。
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题P：
它的否定￢P
特称命题P：
它的否定￢P：
x∈M，￢P(x)
全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。
4、练习、感悟
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：
（1） p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（2） p：每一个四边形的四个顶点共圆；
（3） p：对x∈Z，x2个位数字不等于3；
（4） p： x∈R, x2＋2x＋2≤0；
（5） p：有的三角形是等边三角形；
（6） p：有一个素数含三个正因数。
（三）、小结与作业
（1）小结：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？
（2）作业：P29习题1.4A组第3题：B组（1）（2）（3）（4）
五、教后反思：
第十一课时 全称量词与存在量词（一）量词
一、教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。
二、教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别；教学难点：正确使用全称命题、存在性命题；
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。
问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词①一 纸；②一 牛；③一 狗；④一 马；⑤一 人家；⑥一 小船 ①张②头③条④匹⑤户⑥叶
什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。
（二）、活动尝试：所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。
问题2：下列命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数x，都有x2≥0；（2）存在实数x，满足x2≥0；（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；
（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n；（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n × n；上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。
（三）、师生探究：命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。
全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。”存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。”
含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。
单称命题：其公式为“（这个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。
全称命题：其公式为“所有S是P”。例句：“所有产品都是一等品”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。”
特称命题：其公式为“有的S是P”。例句：“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。
问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？ （1）方程2x=5只有一解；（2）凡是质数都是奇数；（3）方程2x2＋1=0有实数根；（4）没有一个无理数不是实数；（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；（6）集合A∩B是集合A的子集；
分析：（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；
（四）、概括归纳
1．开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句。如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.
2．表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种：
(1) 全称量词：日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作、等，表示个体域里的所有个体。
(2) 存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作，等，表示个体域里有的个体。
3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。
全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:
存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:
注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。
（五）、巩固运用
例1判断以下命题的真假：（1） （2） （3） （4） 分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；
例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：第一步：设a=b，则有a2=ab 第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b
第五步：由a=b代人得，2b=b第六步：两边都除以b得，2=1
分析：第四步错：因a-b＝0，等式两边不能除以a-b第六步错：因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。心得：(a+b)(a-b)=b(a-b) a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。
例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。
（1）中国的所有江河都注入太平洋；（2）0不能作除数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；（4）每一个向量都有方向；
分析：（1）全称命题，河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋；（2）存在性命题，0∈R，0不能作除数；（3）全称命题， x∈R，；（4）全称命题，，有方向；
（六）、回顾反思：要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。
要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。
即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。
（七）、作业布置：1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）
A．所有奇数都是质数 B．
C．对每个无理数x，则x2也是无理数 D．每个函数都有反函数
2．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A．，都有 B．，都有
C．，都有 D．，都有
3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是
A． B．
C． D．
4．下列命题中的假命题是（ ）
A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ
5．对于下列语句（1）（2） （3）（4）其中正确的命题序号是 。（全部填上）
6．命题是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。
【参考答案：1．B； 2．A；3．D；4．B；5．（2）（3）
6．不是全称命题，补充条件：（答案不惟一）当时, ，
】
五、教后反思：
第十二课时 全称量词与存在量词（二）量词否定
一、教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.
二、教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；教学难点：隐蔽性否定命题的确定；
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
（二）、活动尝试
问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；（3）xR，x2-2x+1≥0
分析：（1），否定：存在一个矩形不是平行四边形；
（2），否定：存在一个素数不是奇数；
（3），否定：xR，x2-2x+1<0；
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.
（三）、师生探究
问题2：写出命题的否定（1）p： x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；
（3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；
分析：（1） xR，x2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；
（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：,
（四）、概括归纳
1.全称命题、存在性命题的否定：一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为： xM,有P（x）不成立。
用符号语言表示：P:M, p(x）否定为 P: M, P（x）P:M, p(x）否定为 P: M, P（x）在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.
2.关键量词的否定
词语 是 一定是 都是 大于 小于 且
词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或
词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立
词语的否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立
（五）、巩固运用
例1 写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：xR，x2＋x+1>0；
（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p： x∈R，x2－x+1＝0；
分析：（1） P：有的人不晨练；（2） x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）xR，x2－x+1≠0；
例2 写出下列命题的否定。（1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。 （3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4） 有些质数是奇数。
解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 （2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。 （3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。 解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。
例3 写出下列命题的否定。 （1） 若x2＞4 则x＞2.。 （2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。 （4） 被8整除的数能被4整除。 （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解（1）否定：存在实数，虽然满足＞4，但≤2。或者说：存在小于或等于2的数，满足＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）；（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个，使+ -m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0；（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)；（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）
例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。（1）p：若x＞y,则5x＞5y；（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。
解：（1） P：若 x＞y，则5x≤5y； 假命题； 否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题
（2） P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题； 否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。
（3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。
（4） P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。
否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。
评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。3． 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为 “若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。
（六）、回顾反思：在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
（七）、作业布置：1．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）
A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根；
B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
3．命题“xR，x2-x+3>0”的否定是
4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的
否定形式是
否命题是
5．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：m∈R，方程x2+x-m=0必有实根； （2）q：R，使得x2+x+1≤0；
6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：
（1）若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根．（2）平方和为0的两个实数都为0．
（3）若是锐角三角形， 则的任何一个内角是锐角．（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．
【参考答案：1． B；2．C；3． xR，x2-x+3≤0；4．否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除； 否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除；5．（1）p：m∈R，方程x2+x-m=0无实根；真命题。（2）q：R，使得x2+x+1>0；真命题。6． ⑴ 若m>1，则方程x2-2x+m=0无实数根，(真)；⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；⑶若是锐角三角形， 则的任何一个内角不都是锐角(假)；⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0(假)；⑸若(x-1)(x-2)=0，则 或，(真)．】
五、教后反思：
第十三课时 常用逻辑用语复习与小结
一、教学目标：整体理解逻辑用语，通过概念的整理和习题的讲解与练习，熟练逻辑用语的使用技巧。通过四种命题的相互关系，了解反证法的机理，能利用命题的等价关系转换角度、间接解决或证明一些问题。
二、教学重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”与含有量词的命题的否定。教学难点：对一些命题真假的判断。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：1.知识网络
2. 概念与规律总结
（1）命题的结构
命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题
构成复合命题的形式：p或q(记作p∨q)；p且q(记作p∧q)；非p(记作┑q)
（2）命题的四种形式与相互关系
原命题：若P则q；逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q； 逆否命题：若┑q则┑p
原命题与逆否命题互为逆否，同真假；逆命题与否命题互为逆否，同真假；
（3）命题的条件与结论间的属性
若pq，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件，即“推出人者为充分，被人推出者为必要”。
（4）“或”、“且”、“非”的真值判断；“非p”形式复合命题的真假与P的真假相反；
“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
注意：“p或q”，“p且q”，“非p”命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
（5）全称量词与存在量词
全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等；
存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；
全称命题P:M, p(x） 否定为 P: M, P（x）
存在性命题P:M, p(x） 否定为 P: M, P（x）
（6）反证法是间接证法的一种．若要证的命题是“”，反证法是假设为真，即不成立，并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理，得出矛盾．因为公理、定理、公式正确，推理过程也正确，产生矛盾的原因只能是“假设为真”，由此假设不成立，即“为真”．这里的“矛盾”可以是与条件矛盾，即推得“”，可以是和公理、定理或熟知的结论矛盾，也可以是和“假设为真”矛盾．
（二）、师生探究
例1．分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：
（１）p：平行四边形对角线相等 q：平行四边形对角线互相平分
解：p或q：平行四边形对角线相等或互相平分p且q：平行四边形对角线相等且互相平分
非p： 平行四边形对角线不一定相等
（２）p：10是自然数 q：10是偶数
解：p或q：10是自然数或是偶数 p且q：10是自然数且是偶数 非p： 10不是自然数
例2．分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题：
（１）x=2或x=3是方程x25x+6=0的根
解： p：x=2是方程x25x+6=0的根 q：x=3是方程x25x+6=0的根，是p或q的形式
（２）既大于3又是无理数
解： p：大于3 q：是无理数 是p且q的形式
（３）直角不等于90
解： p：直角等于90 是非p形式
（４）x+1≥x3
解： p：x+1>x3 q：x+1=x3 是p或q的形式
（５）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
解： p：垂直于弦的直径平分这条弦
q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 是p且q的形式
例3．分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题,并判断它们的真假：
（１）p：末位数字是0的自然数能被5整除 q：5{x|x2+3x10=0}
解：p或q：末位数字是0的自然数能被5整除或5{x|x2+3x10=0}
p且q：末位数字是0的自然数能被5整除且5{x|x2+3x10=0}
非p：末位数字是0的自然数不能被5整除
∵p真q假 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为假，“非p”为假。
（２）p：四边都相等的四边形是正方形 q：四个角都相等的四边形是正方形
解：p或q：四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形
p且q：四边都相等的四边形是正方形且四个角都相等的四边形是正方形
非p：四边都相等的四边形不是正方形
∵p假q假 ∴“p或q” 为假，“ p且q”为假，“非p”为真。
（３）p：0 q：{x|x23x5<0} R
解：p或q： 0或{x|x23x5<0} R p且q： 0且{x|x23x5<0} R
非p： 0 ∵p假q真 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为假，“非p”为真。
（４）p：不等式x2+2x8<0的解集是：{x|4 2}
解：p或q：不等式x2+2x8<0的解集是：{x|4 2}
p且q：不等式x2+2x8<0的解集是：{x|4 2}
非p：不等式x2+2x8<0的解集不是：{x|4∵p真 q假 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为假，“非p”为假。
例4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假：
（１）面积相等的两个三角形是全等三角形。
解：逆命题：两个全等三角形面积相等。（真命题）
否命题：面积不等的两个三角形不是全等三角形。（真命题）
逆否命题：不全等的两个三角形面积不相等。（假命题）
（２）若x=0则xy=0。
解：逆命题：若xy=0则x=0。（假命题）否命题：若x0则xy0。（假命题）
逆否命题：若xy0则x0。（真命题）
（３）当c<0时，若ac>bc则a解：逆命题：当c<0时，若abc。（真命题）
否命题：当c<0时，若ac≤bc则a≥b。（真命题）
逆否命题：当c<0时，若a≥b则ac≤bc。（真命题）
（４）若mn<0，则方程mx2x+n=0有两个不相等的实数根。
解：逆命题：若方程mx2x+n=0有两个不等实数根，则mn<0。（假命题）
否命题：若mn≥0，则方程mx2x+n=0没有两个不等实数根。（假命题）
逆否命题：若方程mx2x+n=0没有两个不等实数根，则mn≥0。（真命题）
例5．写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假：
（１）若x,y都是奇数，则x+y是偶数。
解：命题的否定：x,y都是奇数且x+y不是偶数。（假命题）
否命题：若x,y不都是奇数，则x+y不是偶数。（假命题）
（２）若xy=0则x=0或y=0
解：命题的否定：xy=0且x0又y0。（假命题）；否命题：若xy0则x0且y0。（真命题）
（三）、小结：本课要求从整体理解逻辑用语，通过概念的整理和习题的讲解与练习，熟练逻辑用语的使用技巧。理解和掌握四种命题的相互关系。
（四）、作业布置：本章复习题一A组2、3、5、7 B组1、2
五、教后反思：
第十四课时 常用逻辑用语复习与小结
一、教学目标：整体理解逻辑用语，通过概念的整理和习题的讲解与练习，熟练逻辑用语的使用技巧。通过四种命题的相互关系，了解反证法的机理，能利用命题的等价关系转换角度、间接解决或证明一些问题。
二、教学重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”与含有量词的命题的否定。教学难点：对一些命题真假的判断。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、概念与规律总结
（1）命题的结构：命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题
构成复合命题的形式：p或q(记作p∨q)；p且q(记作p∧q)；非p(记作┑q)
（2）命题的四种形式与相互关系
原命题：若P则q；逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q； 逆否命题：若┑q则┑p
原命题与逆否命题互为逆否，同真假；逆命题与否命题互为逆否，同真假；
（3）命题的条件与结论间的属性
若pq，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件，即“推出人者为充分，被人推出者为必要”。
（4）“或”、“且”、“非”的真值判断；“非p”形式复合命题的真假与P的真假相反；
“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
注意：“p或q”，“p且q”，“非p”命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
（5）全称量词与存在量词
全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等；
存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；
全称命题P:M, p(x） 否定为 P: M, P（x）
存在性命题P:M, p(x） 否定为 P: M, P（x）
（6）反证法是间接证法的一种．若要证的命题是“”，反证法是假设为真，即不成立，并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理，得出矛盾．因为公理、定理、公式正确，推理过程也正确，产生矛盾的原因只能是“假设为真”，由此假设不成立，即“为真”．这里的“矛盾”可以是与条件矛盾，即推得“”，可以是和公理、定理或熟知的结论矛盾，也可以是和“假设为真”矛盾．
（二）、师生探究
例1、判断下列命题的真假：
（１）(x2)(x+3)=0是(x2)2+(y+3)2=0的充要条件。解：是假命题。反例；若x=2, y3
（２）x2=4x+5是 x＝x2的必要条件。解：是假命题。{x| x2=4x+5}={1,5} {x| x＝x2}={0,5}
(3)内错角相等是两直线平行的充分条件。解：是真命题。
(4)ab<0是 |a+b|<|ab| 的必要而不充分条件。
解：是假命题。|ab|>|a+b|≥0 (ab)2>(a+b)2 a22ab+b2> a2+2ab+b2 4ab<0 ab<0 ∴(ab<0是 |a+b|<|ab| 的充要条件)
例2、判断下列命题是全称命题，还是存在性命题
（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等（2）负数的平方是正数（3）有些三角形不是等腰三角形（4）有些菱形是正方形
答案（1）全称命题 （2）全称命题 （3）存在性命题 （4）存在性命题
例3、用量词符号“”，“”表达下列问题
（１）凸n边形的外角和等于２π；（２）不等式的解集为A，则AR；（３）有的向量方向不定；
（４）至少有一个实数不能取对数；
答案（１）x∈{x是凸n边形}，x的外角和等于２π；（２）A∈{不等式的解集}，AR；
（３） 0∈{向量}，0的方向任意；（４） x∈R，x不能取对数；
例4、写出下列命题的否定：（1）对任意的正数x，>x-1；（2）不存在实数x，x2+1<2x；
（3）已知集合AB，如果对于任意的元素x∈A，那么x∈B；
（4）已知集合AB，存在至少一个元素x∈B，使得x∈A；
答案（1）存在正数x，x-1；（2）存在实数x，x2+1≥2x；（3）已知集合AB，如果存在一个元素，那么；（原对，否错）（4）已知集合AB，如果对于任意的元素x，那么x；（原错，否对）
例5、已知关于x的方程 (1a)x2+(a+2)x4=0 aR 求：1) 方程有两个正根的充要条件；2) 方程至少有一个正根的充要条件。
解：1) 方程(1a)x2+(a+2)x4=0有两个实根的充要条件是：
即：即： a≥10或a≤2且a1
设此时方程两根为x1，x2 ∴有两正根的充要条件是：
12) 从1)知1方程有一正、一负根的充要条件是： a<1
综上：方程(1a)x2+(a+2)x4=0至少有一正根的充要条件是a≤2或a≥10。
(三)、课堂练习：1、用反证法证明：若p+q=2，则p+q≤2
证明：当p+q＞2时，p+q=+≥＞×2=2
∴ p+q＞2，即p+q≠2∴ 逆否命题为真命题，即若p+q=2，则p+q≤2成立
2、把下列改写成“若p则q”的形式，并判断它们的真假：
（１）实数的平方是非负数。
解：若一个数是实数，则它的平方是非负数。（真命题）
（２）等底等高的两个三角形是全等三角形。
解：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形。（假命题）
（３）被6整除的数既被3整除又被2整除。
解：若一个数能被6整除，则它能被3整除又能被2整除。（真命题）
（４）弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧。
解：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧。 （真命题）
3、指出下列各组命题中p是q的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）：
（１）p：a2>b2 q：a>b 则p是q的 既不充分也不必要条件 。
（２）p：{x|x>2或x<3} q：{x|x2x6<0} 则p是q的 必要而不充分条件 。
（３）p：a与b都是奇数 q：a+b是偶数 则p是q的 充分不必要条件 。
（４）p：0五、教后反思：
常用逻辑用语
命题及其关系
简单的逻辑联结词
全称量词与存在量词
四种命题
充分条件与必要条件
量词
全称量词
存在量词
含有一个量词的否定
或
且
非或
并集
交集
补集
运算
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的
北师大版高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》全部教案
扶风县法门高中 姚连省
1.1命题及其关系
第一课时1.1.1 命题
一、教学目标：１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点：重点：命题的概念、命题的构成；难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
三、教学过程
（一）、复习回顾：初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？
（二）、探析新课
1、思考、分析：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？
（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．
2、讨论、判断：学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。
教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。
3、抽象、归纳：定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．
在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子． 教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
4、练习、深化：判断下列语句是否为命题？
（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？
（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）＝－２．（６）x＞１５．
让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。
引申：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出一些定理、推论的例子来看看？
通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题．
过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部分构成）。紧接着提出问题：命题是否也是由条件和结论两部分构成呢？
5、命题的构成――条件和结论：定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者 “如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．
6、练习、深化：指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．
（１）若整数a能被２整除，则a是偶数．（２）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直平分．
（３）若a＞0，b＞0，则a+b＞0．（４）若a＞0，b＞0，则a+b＜0．（５）垂直于同一条直线的两个平面平行．
此题中的（１）（２）（３）（４），较容易，估计学生较容易找出命题中的条件p和结论q，并能判断命题的真假。其中设置命题（３）与（４）的目的在于：通过这两个例子的比较，学更深刻地理解命题的定义——能判断真假的陈述句，不管判断的结果是对的还是错的。
此例中的命题（５），不是“若P，则q”的形式，估计学生会有困难，此时，教师引导学生一起分析：已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”．解略。
过渡：从例２中，我们可以看到命题的两种情况，即有些命题的结论是正确的，而有些命题的结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题．
7、命题的分类――真命题、假命题的定义．
真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．
假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．
强调：(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．
(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。
8、怎样判断一个数学命题的真假？(１)数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．(２)要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
9、练习、深化：例３：把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题：
（1） 面积相等的两个三角形全等。
（2） 负数的立方是负数。
（3） 对顶角相等。
分析：要把一个命题写成“若P，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”即“若P，则q”的形式．解略。
（三）、课堂练习：Ｐ４ ２、３
（四）、课堂总结 师生共同回忆本节的学习内容．
1．什么叫命题？真命题？假命题？ 2．命题是由哪两部分构成的？
3．怎样将命题写成“若P，则q”的形式． 4．如何判断真假命题．
教师提示应注意的问题：1．命题与真、假命题的关系．2．抓住命题的两个构成部分，判断一些语句是否为命题．３．判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，要经过证明．
（五）、作业：P9：习题1．１Ａ组第1题
五、教后反思：
第二课时 1.1.2四种命题 1.1.3四种命题的相互关系
一、教学目标：1、知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假． 2、过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3、情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
二、教学重点与难点
重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．
难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习引入：初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？
（二）、探析新课
1、思考、分析：问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
2、归纳总结：问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
3、抽象概括：定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子。定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．让学生举一些互否命题的例子。定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．让学生举一些互为逆否命题的例子。
小结：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题；（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
4、四种命题的形式：让学生结合所举例子，思考：若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？
学生通过思考、分析、比较，总结如下：原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．
否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．
5、练习巩固：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：
（1） 若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
（2） 若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；
（3） 若x2=1,则x=1；
（4） 若整数a是素数，则是a奇数。
6、思考、分析：结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？
通过此问，学生将发现：①原命题为真，它的逆命题不一定为真。②原命题为真，它的否命题不一定为真。③原命题为真，它的逆否命题一定为真。
原命题为假时类似。结合以上练习完成下列表格：
原 命 题 逆 命 题 否 命 题 逆 否 命 题
真 真
假 真
假 真
假 假
由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．
由此会引起我们的思考：一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．
学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：
7、总结归纳
若P，则q． 若q，则P．
原命题 互 逆 逆命题
互否 互 为 否逆 互否
为 互 逆 否
否命题 逆否命题
互 逆
若￢P，则￢q． 若￢q，则￢P．
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
（三）、例题分析：例4： 证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
将“若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．
证明：若p ＋ q ＞2，则
p2 ＋ q2 ＝［（p －q）2＋（p ＋q）2］≥（p ＋q）2＞×２２＝２
所以p2 ＋ q2≠2．这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。
练习巩固：证明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．
（四）、课堂总结：（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；（４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．
（五）、作业 P9：习题1．１Ａ组第２、３、４题
五、教后反思：
第三课时 1．2.1充分条件与必要条件
一、教学目标:1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力． ３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
二、教学重点与难点
重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)
难点：判断命题的充分条件、必要条件
关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、创设情境
当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.
（二）、活动尝试
问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？
（1）若x＝y，则x2＝y2（2）若ab = 0，则a = 0（3）若x2>1，则x>1（4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0
推断符号“”的含义： “若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq.
简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；“若p则q”为假，记作pq（或qp）.
（三）、师生探究
命题(1)、 (4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq.”
说明： “pq”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q成立，即表示“p蕴含q”。
（四）、归纳概括
1.什么是充分条件？什么是必要条件？
一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知pq，且qp，那么就说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知pq，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件；
回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系.
命题(1)中因x＝y x2＝y2，所以“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件，“x2＝y2”是“x＝y”的必要条件；x2＝y2x＝y，所以“x2＝y2”不是“x＝y”的充分条件，“x＝y”不是“x2＝y2”的必要条件；
命题(2)中因a = 0 ab = 0，，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0”的必要条件. ab = 0 a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分条件，“a = 0”不是“ab = 02”的必要条件；
命题(3)中，因“x>1x2>1”，所以“x>1”是x2>1的充分条件，“x2>1”是“x>1”的必要条件. x2>1 x>1，所以“x2>1”不是“x>1”的充分条件，“x>1”不是“x2>1”的必要条件.
命题4)中，因x＝1或x＝2 x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要分条件.
由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即pq，而q p.(2)必要不充分条件，即：p q，而qp.
(3)既充分又必要条件，即pq，又有qp.(4)既不充分又不必要条件，即p q，又有q p.
2.充分条件与必要条件的判断：（1）直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）（2）利用等价命题关系判断：“pq”的等价命题是“qp”。即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。
（五）、巩固运用
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
（1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. （2） p：两条直线平行；q：内错角相等.
（3） p：a>b；q：a2>b2 （4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形.
分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.
解：⑴由pq，即x-1=0(x-1)(x+2)=0，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.
⑵由pq，即两条直线平行内错角相等，知p是q的充要条件，q是p的充要条件；
⑶由pq，即a>b a2>b2，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；qp，即a2>b2a>b，知q不是p的充分条件，p不是q的必要条件.综述：p是q的既不充分条件又不必要条件。
⑷由q p，即四边形是正四边形四边形的四条边相等，知q是p的充分条件，p是q的必要条件. 由pq，即四边形的四条边相等四边形是正四边形，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；综述：p是q的必要不充分条件。
以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.
例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：
⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.
⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.
解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵如图2⑴，∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”. ∵“B不为绿色 A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.
先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式.
再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q┐p）的形式.
总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.
例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.
给定两个条件p ,q，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A={x |x满足条件q},B={x |x满足条件p}①AB,则p为q的充分条件，q为p的必要条件；②BA, 则p为q的充要条件，q为p的充要条件；
（六）、回顾反思
本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.（1）若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件.（2）条件是相互的；（3）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；
③ p是q的充要条件； ④ p是q的既不充分也不必要条件。
（七）、练习巩固：P12 练习 第1、2、3、4题
（八）、作业： P14：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题
注：（1）条件是相互的；（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；③ p是q的充要条件；④ p是q的既不充分也不必要条件．
五、教后反思：
第四课时 1.2.2充要条件
一、教学目标
1.知识与技能目标：（1）、正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（2）、正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.（3）、通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．
2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．
3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
二、教学重点与难点
重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题
难点：正确区分充要条件．
三、教学过程
（一）、复习提问
1.什么叫充分条件？什么叫必要条件？说出“”的含义
2.指出下列各组命题中，“pq”及“qp”是否成立
（1）p：内错角相等 q：两直线平行
（2）p：三角形三边相等 q：三角形三个角相等
（二）、探析新课
1、（通过复习提问直接引入课题）充要条件定义：
一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：pq。
这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件
点明思路：判断p是q的什么条件，不仅要考查pq是否成立，即若p则q形式命题是否正确，还得考察qp是否成立，即若q则p形式命题是否正确。
2、辨析题：（学生讨论并解答，教师引导并归纳）
思考：下列各组命题中，p是q的什么条件：
1) p： x是6的倍数。 q：x是2的倍数
2) p： x是2的倍数。 q：x是6的倍数
3) p： x是2的倍数，也是3的倍数。q：x是6的倍数
4) p： x是4的倍数 q：x是6的倍数
总结：1) pq 且q≠> p 则 p是q的充分而不必要条件
2) qp 且p≠>q 则p 是q 的必要而不充分条件
3) pq 且qp 则q 是p的充要条件
4) p≠>q 且q≠>p则 p是 q的既不充分也不必要条件
强调：判断p是q的什么条件，不仅要考虑pq是否成立，同时还要考虑qp是否成立。
且p是q的什么条件，以上四种情况必具其一.
3、巩固强化
例题：指出下列各命题中，p是q的什么条件：
1) p：x>1 q：x>2
2) p：x>5 q：x>-1
3) p：(x-2)(x-3)=0 q：x-2=0
4) p：x=3 q：=9
5) p：x=±1 q：x-1=0
解：1） ∵x>1≠> x>2 但x>2x>1 ∴ p是q的必要而不充分条件
2) ∵x>5x>-1 但x>-1≠> x>5 ∴p是q的充分而不必要条件
3) ∵(x-2)(x-3)=0 ≠>x-2=0但 x-2=0(x-2)（x-3）=0
∴p是q的必要而不充分条件
4) ∵x=3x=9 但x=9 ≠>x=3 ∴ p是q的充分而不必要条件
5) ∵x= ±1x-1=0 且x=1x=±1 ∴p是q的充要条件
通过例题引导同学观察归纳：当p、q分别从集A、B合出现时若AB但B不包含于A，即A 是B的真子集，则p是q的充分而不必要条件；若AB 但A不包含于B， 即B是A的真子集，则p是q的必要而不充分条件；若AB且BA 即A=B 则p是q的充要条件；若A不包含于B，且B不包含于A，则p是q的既不充分也不必要条件
总结判断p是q的什么条件：方法1：考察pq 及qp 是否成立。即：判断若p则q形式命题及若q则p形式命题真假.方法2：集合观点
4、拓展联系：1）请举例说明：p是q的充分而不必要条件；p是q的必要而不充分条件
p是q的既不充分也不必要条件；p是q的充要条件
2）从 “充分而不必要条件” “必要而不充分条件” “充要条件” “既不充分也不必要条件”中选出适当一种填空： ①“aN”是“aZ”的
②“a≠0”是“ab≠0”的
③“x=3x+4”是“x=”的
④“四边相等”是“四边形是正方形”的
3）判断下列命题的真假： ①“a>b”是“a>b”的充分条件；②“a>b”是“a>b”的必要条件；③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件；④“a>b”是“ac>bc”的充分条件
（点题：举反例在说明p≠>q或q≠>p时应用）
（三）、巩固提高：（学生讨论，师生共同完成）
1、若甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件,丁是丙的必要而不充分条件，问丁是甲的什么条件？
2、求证：关于X的方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个符号相反且不为零的实根充要条件是ac<0
3、已知 P： ≤ 2 ，q：x-2x+1-m≤0 (m>0)且p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围。
（点题：依据：若p则q命题与其逆否命题若q则p同真假，由qp且p≠>q，知pq且q≠>p）
（四）、小结 （学生回顾所学内容并小结,教师补充完善）
（1) 充要条件：若pq 且qp则p是q的充要条件
（2） 判断p是q 的什么条件，不仅要考察pq是否成立，还要考察qp是否成立
（3） 判断pq是否成立，
思路1： 判断若p则q形式命题真假 ；思路2： 若p则q形式命题真假难判断时 判断其逆否命题真假；思路3： 集合的观点
（五）、作业：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题
五、教后反思：
1.3简单的逻辑联结词
第五课时1.3.1 且与或
一、教学目标：1.知识与技能目标：（1）掌握逻辑联结词“或、且”的含义；（2）正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题；（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题。2．过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．3.情感态度价值观目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
二、教学重点与难点
重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。难点：1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”.
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、引入：在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．
在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别）
（二）、探析新课
1、思考、分析：问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？
（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。
（2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。
学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。
问题2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否举一些例子？
例如：命题p：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。
命题q：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。
2、归纳定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q读作“p且q”。
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。
命题“p∧q”与命题“p∨q”即，命题“p且q”与命题“p或q”中的“且”字与“或” 字与下面两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义相同吗？
（1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。（2）若 x∈A或x∈B，则x∈A∪B。
定义中的“且”字与“或” 字与两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义是类似。但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前后两者同时兼有，同时满足, 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能.
说明：符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。
注意：“p或q”，“p且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
3、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的规定
你能确定命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假吗？命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假和命题p，q的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p，q以及命题p∧q的真假性，概括出这三个命题的真假之间的关系的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，①②都是真命题，所以命题③是真命题。
第（2）组命题中，①是假命题，②是真命题，但命题③是真命题。
p q p∧q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
p q p∨q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
（即一假则假） （即一真则真）
一般地，我们规定：
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。
（三）、例题
例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式，并判断它们的真假。
（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等。
（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
解：（1）p∧q：平行四边形的对角线互相平分且平行四边形的对角线相等.也可简写成平行四边形的对角线互相平分且相等.
p∨q: 平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等. 也可简写成平行四边形的对角线互相平分或相等.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（2）p∧q：菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分. 也可简写成菱形的对角线互相垂直且平分.
p∨q: 菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分. 也可简写成菱形的对角线互相垂直或平分.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（3）p∧q：35是15的倍数且35是7的倍数. 也可简写成35是15的倍数且是7的倍数.
p∨q: 35是15的倍数或35是7的倍数. 也可简写成35是15的倍数或是7的倍数.
由于p是假命题, q是真命题,所以p∧q是假命题, p∨q是真命题．
说明，在用＂且＂或＂或＂联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的意思不变．
例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。
（1）1既是奇数，又是素数；（2）2是素数且3是素数；（3）2≤2．
解略．
例3、判断下列命题的真假；（1）6是自然数且是偶数；（2）是A的子集且是A的真子集；（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．
解略．
（四）、练习：Ｐ2０ 练习第1 ， 2题
（五）、课堂总结：（1）掌握逻辑联结词“或、且”的含义；（2）正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题；（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题
p q P∧q P∨q
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 假 真
假 假 假 假
（六）、作业：P20：习题１.３Ａ组第1、2题
五、教后反思：
第六课时 1.3.2 非
一、教学目标
1.知识与技能目标：（1）掌握逻辑联结词“非”的含义；（2）正确应用逻辑联结词“非”解决问题；（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题
2．过程与方法目标：观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维能力中严密性品质的培养．
3.情感态度价值目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
二、教学重点与难点
重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.
难点： 1、正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题 “￢P”.
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
三、教学过程：
（一）、思考、分析
问题1：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？
（1） ①35能被5整除； ②35不能被5整除；
（2） ①方程x2+x+1=0有实数根。 ②方程x2+x+1=0无实数根。
学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。
（二）、归纳定义
1、定义：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p；读作“非p”或“p的否定”。
2、命题“￢p”与命题p的真假间的关系
命题“￢p”与命题p的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p与命题￢p的真假性，概括出这两个命题的真假之间的关系的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，命题①是真命题，而命题②是假命题。
第（2）组命题中，命题①是假命题，而命题②是真命题。
由此可以看出，既然命题￢P是命题P的否定，那么￢P与P不能同时为真命题，也不能同时为假命题，也就是说，
若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；
p ￢P
真 假
假 真
3、命题的否定与否命题的区别：让学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什么区别？
命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，因此在解题时应分请命题的条件和结论。
例：如果命题p:5是15的约数，那么命题￢p：5不是15的约数；
p的否命题：若一个数不是5，则这个数不是15的约数。
显然，命题p为真命题，而命题p的否定￢p与否命题均为假命题。
（三）、例题分析
例1 写出下表中各给定语的否定语。
若给定语为 等于 大于 是 都是 至多有一个 至少有一个
其否定语分别为
分析：“等于”的否定语是“不等于”；“大于”的否定语是“小于或者等于”；“是”的否定语是“不是”； “都是”的否定语是“不都是”；“至多有一个”的否定语是“至少有两个”；“至少有一个”的否定语是“一个都没有”。
例2：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假
（1）p：y ＝ sinx 是周期函数；
（2）p：3＜2；
（3）p：空集是集合A的子集。
解析：（1）￢P：y ＝ sinx不是周期函数；假命题；（2）￢P：3≥2；真命题；（3）￢P：空集不是集合A的子集；假命题。
（四）、练习巩固：P20 练习第3题
（五）、小结（１）正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定．（２）简洁、准确地表述命题 “￢P”.
（六）、作业 P20：习题１.３Ａ组第3题
五、教后反思：
第七课时 简单的逻辑联结词（一）或且非
一、教学目标：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解复合命题的结构.
二、教学重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义及复合命题的构成。
教学难点：对“或”的含义的理解；
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框架。本节内容，我们将学习一些简单命题的组合，并学会判断这些命题的真假。
问题1：下列语句是命题吗？如果不是，请你将它改为命题的形式
①11>5 ②3是15的约数吗？ ③0.7是整数 ④x>8
（二）、活动尝试
①是命题，且为真；②不是陈述句，不是命题，改为③是3是15的约数，则为真；
③是假命题 ④是陈述句的形式，但不能判断正确与否。改为x2≥0，则为真；
例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）。我们不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，只要能从正面的例子了解命题的概念就可以了。
（三）、师生探究
问题2：（1）6可以被2或3整除；（2）6是2的倍数且6是3的倍数；（3）不是有理数；
上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别？比前面的命题复杂了，且（1）和（2）明显是由两个简单的命题组合成的新的比较复杂的命题。
命题（1）中的“或”与集合中并集的定义：A∪B={x|x∈A或x∈B}的“或”意义相同.
命题（2）中的“且”与集合中交集的定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}的“且”意义相同.
命题（3）中的“非”显然是否定的意思，即“不是有理数”是对命题是有理数”进行否定而得出的新命题.
（四）、抽象概括
1. 逻辑连接词：命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词
2. 复合命题的构成：简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题
复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题
3.复合命题构成形式的表示：常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示简单命题.
复合命题的构成形式是：p或q；p且q；非p.
即：p或q 记作 pq p且q 记作 pq 非p (命题的否定) 记作 p
释义：“p或q”是指p,q中的任何一个或两者.例如，“xA或xB”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即xA∪B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.
“p且q”是指p,q中的两者.例如，“xA且xB”，是指x属于A，同时x也属于B（即xAB）.
“非p”是指p的否定，即不是p. 例如，p是“xA”，则“非p”表示x不是集合A的元素（即x）.
（五）、巩固运用：例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：
（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；（3）平行线不相交
解：（1）中的命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数；q：24是6的倍数.
（2）的命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员；q：李强是跳高运动员.
（3）命题是非p的形式，其中p：平行线相交。
例2: 分别指出下列复合命题的形式（1）8≥7；（2）2是偶数且2是质数；（3）不是整数；
解：（1）是“”形式，：，：8=7；（2）是“”形式，：2是偶数，：2是质数；（3）是“”形式，：是整数；
例3：写出下列命题的非命题：（1）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0；（2）q：存在一个实数x，使得x2－9=0（3）“AB∥CD”且“AB=CD”；（4）“△ABC是直角三角形或等腰三角形”．
解：（1）存在一个实数x，使得x2－2x+1＜0；（2）不存在一个实数x，使得x2－9=0；
（3）AB不平行于CD或AB≠CD；（4）原命题是“p或q”形式的复合命题，它的否定形式是：△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形．
复合命题的构成要注意：（1）“p或q”、“p且q”的两种复合命题中的p和q可以是毫无关系的两个简单命题（2）“非p”这种复合命题又叫命题的否定；是对原命题的关键词进行否定。
下面给出一些关键词的否定：
正面语词 或 等于 大于 小于 是 都是 至少一个 至多一个
否定 且 不等于 不大于（小于等于） 不小于（大于等于） 不是 不都是 一个也没有 至少两个
（六）、回顾反思：本节课讨论了简单命题与复合命题的构成，以及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。需要注意的是否命题的关键词的否定是问题的核心。
（七）、作业布置：1．命题“方程x2＝2的解是x＝±是( )
A．简单命题 B．含“或”的复合命题C．含“且”的复合命题D．含“非”的复合命题
2．用“或”“且”“非”填空，使命题成为真命题：
（1）x∈A∪B，则x∈A__________x∈B；（2）x∈A∩B，则x∈A__________x∈B；
（3）a、b∈R，a＞0__________b＞0，则ab＞0．
3．把下列写法改写成复合命题“p或q”“p且q”或“非p”的形式：
（1）（a－2）（a+2）=0；（2）；（3）a＞b≥0．
4．已知命题p：a∈A，q：a∈B，试写出命题“p或q”“p且q”“┐p”的形式．
5．用否定形式填空：
(1)a＞0或b≤0； (2)三条直线两两相交
(3)A是B的子集.___________________ (4)a，b都是正数.___________________
(5)x是自然数.___________________(在Z内考虑)
6．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p１是“第一次射击中飞机”，命题p２是“第二次射击中飞机”试用p１、p２以及逻辑联结词或、且、非(∨，∧，┐)表示下列命题：
命题S：两次都击中飞机；命题r：两次都没击中飞机；?命题t：恰有一次击中了飞机；
命题u：至少有一次击中了飞机.?
【参考答案：1．B；2．（1）或 （2）且 （3）且；3．（1）p：a－2=0或q：a+2=0；（2）p：x=1且q: y=2 ；（3）p：a＞b且q：b≥0；4．命题“p或q”：a∈A或a∈B．“p且q”：a∈A且a∈B．“┐p”：aA；5．(1)a≤0且b＞0(2)三条直线中至少有两条不相交(3)A不是B的子集
(4)a，b不都是正数(5)x是负整数．6．（1） （2）（3）（4）
五、教后反思：
第八课时 简单的逻辑联结词（二）复合命题
一、教学目标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假；
二、教学重点：判断复合命题真假的方法；教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：1．什么叫做命题？（可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题）2．逻辑联结词是什么？（“或”的符号是“∨”、“且”的符号是“∧”、“非”的符号是“┑”，这些词叫做逻辑联结词）3．什么叫做简单命题和复合命题？（不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题）4．复合命题的构成形式是什么？p或q(记作“p∨q” )； p且q(记作“p∨q” )；非p(记作“┑q” )
（二）、活动尝试
问题1: 判断下列复合命题的真假：（1）8≥7；（2）2是偶数且2是质数；（3）不是整数；
解：（1）真；（2）真；（3）真；
命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？
（三）、师生探究
1．“非p”形式的复合命题真假：
例1：写出下列命题的非，并判断真假：（1）p：方程x2+1=0有实数根；（2）p：存在一个实数x，使得x2－9=0．（3）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0；（4）p：等腰三角形两底角相等
显然，当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真．
2．“p且q”形式的复合命题真假：
例2：判断下列命题的真假：（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形；（2）5是10的约数且是15的约数（3）5是10的约数且是8的约数（4）x2-5x=0的根是自然数
所以得：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。
3．“p或q”形式的复合命题真假：
例3：判断下列命题的真假：（1）5是10的约数或是15的约数；（2）5是12的约数或是8的约数；（3）5是12的约数或是15的约数；（4）方程x2－3x-4=0的判别式大于或等于零
当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。
（四）、概括归纳
1．“非p”形式的复合命题真假：当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真．
p 非p
真 假
假 真
（真假相反）
2．“p且q”形式的复合命题真假：
当p、q为真时，p且q为真； 当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。
p q p且q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
（一假必假）
3．“p或q”形式的复合命题真假：
当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。
p q P或q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
（一真必真）
注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；
2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；
3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的
复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。如：p表示“圆周率π是无理数”，q表示“△ABC是直角三角形”，尽管p与q的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断其命题p或q 的真假。
4°介绍“或门电路”“与门电路”。
或门电路（或） 与门电路（且）
（五）、巩固运用
例4：判断下列命题的真假：
（1）4≥3 （2）4≥4 （3）4≥5 （4）对一切实数
分析：（4）为例：第一步：把命题写成“对一切实数或”是p或q形式；第二步：其中p是“对一切实数”为真命题；q是“对一切实数”是假命题。第三步：因为p真q假，由真值表得：“对一切实数”是真命题。
例5：分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假：
（1）p：2+2=5； q：3>2
（2）p：9是质数； q：8是12的约数；
（3）p：1∈{1，2}； q：{1}{1，2}
（4）p：{0}； q：{0}
解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+25.
∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.
②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.
∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.
③p或q：1∈{1，2}或{1}{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}{1，2}；非p：1{1，2}.
∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.
④p或q：φ{0}或φ={0}；p且q：φ{0}且φ={0} ；非p：φ{0}.
∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.
（六）、回顾反思：1．判断复合命题真假的步骤：（1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；（2）判断简单命题的真假；（3）根据真值表判断复合命题的真假。
2．注意数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别：“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个，但不是两者.日常生活中有时采用这一解释.例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能.二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者.例如“xA或xB”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即xA∩B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”.“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的.
（七）、作业布置：1．（1）如果命题“p或q”和“非p”都是真命题，则命题q的真假是_________。
（2）如果命题“p且q”和“非p”都是假命题，则命题q的真假是_________。
2．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假.
(1)5和7是30的约数.(2)菱形的对角线互相垂直平分.(3)8x－5＜2无自然数解.
3．判断下列命题真假：（1）10≤8； （2）π为无理数且为实数；
（3）2+2=5或3＞2． （4）若A∩B=，则A=或B=．
4．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。
【参考答案： 1．（1）真；（2）假；2．(1)是“p或q”的形式.其中p：5是30的约数；q：7是30的约数，为真命题．(2) “p且q”．其中p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分；为真命题．(3)是“┐p”的形式.其中p：8x－5＜2有自然数解.∵p：8x－5＜2有自然数解．如x＝0，则为真命题．故“┐p”为假命题．3．（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题．（4）真命题．4．由p命题可解得m＞2，由q命题可解得1＜m＜3；由命题p或q为真，p且q为假，所以命题p或q中有一个是真，另一个是假（1）若命题p真而q为假则有（2）若命题p真而q为假，则有所以m≥3或1＜m≤2。
五、教后反思：
1．4全称量词与存在量词
第九课时 1.4.1全称量词1.4.2存在量词
一、教学目标
1.知识与技能目标：（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．
2.过程与方法目标：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
3.情感态度价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
二、教学重点与难点
重点:理解全称量词与存在量词的意义；难点: 全称命题和特称命题真假的判定.
三、教学过程
（一）思考、分析
下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？
（1）2x＋１是整数；(2) x＞３；(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。
（二）、推理、判断
（让学生自己表述）
（1）、（2）不能判断真假，不是命题。（3）、(4)是命题且是真命题。
（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。
注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。
（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；
命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．
命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．
（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）
命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．
（三）、发现、归纳
命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。命题（5）－（8）都是全称命题。
通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示。那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：xM, p（x），读做“对任意x属于M，有p（x）成立”。
刚才在判断命题（5）－（8）的真假的时候，我们还得出这样一些命题：
（5），存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；
（6），存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．
（7）， 存在一个（个别、某些）实数x（如x＝2），使x≤３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）
（8），不存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数．
这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）命题（5），－（8），都是特称命题（存在命题）．
特称命题：“存在M中一个x，使p（x）成立”可以用符号简记为：。读做“存在一个x属于M,使p（x）成立”．
全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“ 至多有一个”等.
（四）、练习、感悟
（1）下列全称命题中，真命题是：
A. 所有的素数是奇数； B. ；
C. D.
（2）下列特称命题中，假命题是：
A. B.至少有一个能被2和3整除
C. 存在两个相交平面垂直于同一直线 D.x2是有理数．
（3）已知：对恒成立，则a的取值范围是 ；
变式：已知：对恒成立，则a的取值范围是 ；
（4）求函数的值域；
变式：已知：对方程有解，求a的取值范围．
（五）、作业、探究
（1）作业：P29习题1.4A组1、2题：
判断下列全称命题的真假：
①末位是o的整数，可以被5整除；
②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
③负数的平方是正数；
④梯形的对角线相等。
（2）判断下列特称命题的真假：
①有些实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有些菱形是正方形。
（3）探究：
①请课后探究命题（5），－（8），跟命题（5）－（8）分别有什么关系？
②请你自己写出几个全称命题，并试着写出它们的否命题．写出几个特称命题，并试着写出它们的否命题。
五、教后反思：
第十课时 1．4．3含有一个量词的命题的否定
一、教学目标
1.知识与技能目标
（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．
（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．过程与方法目标
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
3.情感态度价值观
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
二、教学重点与难点
教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．
教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、回顾
我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p ，如何得到命题p 的否定（或非p ），它们的真假性之间有何联系？
（二）、探析新课
1、思考、分析：判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）x∈R, x2－2x＋1≥0。
（4）有些实数的绝对值是正数；
（5）某些平行四边形是菱形；
（6） x∈R, x2＋1＜0。
2、推理、判断
你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
（让学生自己表述）
前三个命题都是全称命题，即具有形式“”。
其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，
也就是说，存在一个矩形不都是平行四边形；
命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”，
也就是说，存在一个素数不是奇数；
命题（3）的否定是“并非x∈R, x2－2x＋1≥0”，
也就是说，x∈R, x2－2x＋1＜0；
后三个命题都是特称命题，即具有形式“”。
其中命题（4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，
也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；
命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，
也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；
命题（6）的否定是“不存在x∈R, x2＋1＜0”，
也就是说，x∈R, x2＋1≥0；
3、发现、归纳
从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定都变成了全称命题。
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题P：
它的否定￢P
特称命题P：
它的否定￢P：
x∈M，￢P(x)
全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。
4、练习、感悟
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：
（1） p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（2） p：每一个四边形的四个顶点共圆；
（3） p：对x∈Z，x2个位数字不等于3；
（4） p： x∈R, x2＋2x＋2≤0；
（5） p：有的三角形是等边三角形；
（6） p：有一个素数含三个正因数。
（三）、小结与作业
（1）小结：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？
（2）作业：P29习题1.4A组第3题：B组（1）（2）（3）（4）
五、教后反思：
第十一课时 全称量词与存在量词（一）量词
一、教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。
二、教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别；教学难点：正确使用全称命题、存在性命题；
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。
问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词①一 纸；②一 牛；③一 狗；④一 马；⑤一 人家；⑥一 小船 ①张②头③条④匹⑤户⑥叶
什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。
（二）、活动尝试：所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。
问题2：下列命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数x，都有x2≥0；（2）存在实数x，满足x2≥0；（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；
（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n；（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n × n；上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。
（三）、师生探究：命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。
全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。”存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。”
含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。
单称命题：其公式为“（这个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。
全称命题：其公式为“所有S是P”。例句：“所有产品都是一等品”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。”
特称命题：其公式为“有的S是P”。例句：“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。
问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？ （1）方程2x=5只有一解；（2）凡是质数都是奇数；（3）方程2x2＋1=0有实数根；（4）没有一个无理数不是实数；（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；（6）集合A∩B是集合A的子集；
分析：（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；
（四）、概括归纳
1．开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句。如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.
2．表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种：
(1) 全称量词：日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作、等，表示个体域里的所有个体。
(2) 存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作，等，表示个体域里有的个体。
3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。
全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:
存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:
注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。
（五）、巩固运用
例1判断以下命题的真假：（1） （2） （3） （4） 分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；
例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：第一步：设a=b，则有a2=ab 第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b
第五步：由a=b代人得，2b=b第六步：两边都除以b得，2=1
分析：第四步错：因a-b＝0，等式两边不能除以a-b第六步错：因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。心得：(a+b)(a-b)=b(a-b) a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。
例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。
（1）中国的所有江河都注入太平洋；（2）0不能作除数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；（4）每一个向量都有方向；
分析：（1）全称命题，河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋；（2）存在性命题，0∈R，0不能作除数；（3）全称命题， x∈R，；（4）全称命题，，有方向；
（六）、回顾反思：要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。
要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。
即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。
（七）、作业布置：1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）
A．所有奇数都是质数 B．
C．对每个无理数x，则x2也是无理数 D．每个函数都有反函数
2．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A．，都有 B．，都有
C．，都有 D．，都有
3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是
A． B．
C． D．
4．下列命题中的假命题是（ ）
A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ
5．对于下列语句（1）（2） （3）（4）其中正确的命题序号是 。（全部填上）
6．命题是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。
【参考答案：1．B； 2．A；3．D；4．B；5．（2）（3）
6．不是全称命题，补充条件：（答案不惟一）当时, ，
】
五、教后反思：
第十二课时 全称量词与存在量词（二）量词否定
一、教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.
二、教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；教学难点：隐蔽性否定命题的确定；
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
（二）、活动尝试
问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；（3）xR，x2-2x+1≥0
分析：（1），否定：存在一个矩形不是平行四边形；
（2），否定：存在一个素数不是奇数；
（3），否定：xR，x2-2x+1<0；
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.
（三）、师生探究
问题2：写出命题的否定（1）p： x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；
（3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；
分析：（1） xR，x2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；
（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：,
（四）、概括归纳
1.全称命题、存在性命题的否定：一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为： xM,有P（x）不成立。
用符号语言表示：P:M, p(x）否定为 P: M, P（x）P:M, p(x）否定为 P: M, P（x）在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.
2.关键量词的否定
词语 是 一定是 都是 大于 小于 且
词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或
词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立
词语的否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立
（五）、巩固运用
例1 写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：xR，x2＋x+1>0；
（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p： x∈R，x2－x+1＝0；
分析：（1） P：有的人不晨练；（2） x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）xR，x2－x+1≠0；
例2 写出下列命题的否定。（1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。 （3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4） 有些质数是奇数。
解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 （2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。 （3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。 解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。
例3 写出下列命题的否定。 （1） 若x2＞4 则x＞2.。 （2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。 （4） 被8整除的数能被4整除。 （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解（1）否定：存在实数，虽然满足＞4，但≤2。或者说：存在小于或等于2的数，满足＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）；（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个，使+ -m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0；（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)；（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）
例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。（1）p：若x＞y,则5x＞5y；（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。
解：（1） P：若 x＞y，则5x≤5y； 假命题； 否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题
（2） P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题； 否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。
（3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。
（4） P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。
否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。
评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。3． 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为 “若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。
（六）、回顾反思：在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
（七）、作业布置：1．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）
A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根；
B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
3．命题“xR，x2-x+3>0”的否定是
4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的
否定形式是
否命题是
5．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：m∈R，方程x2+x-m=0必有实根； （2）q：R，使得x2+x+1≤0；
6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：
（1）若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根．（2）平方和为0的两个实数都为0．
（3）若是锐角三角形， 则的任何一个内角是锐角．（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．
【参考答案：1． B；2．C；3． xR，x2-x+3≤0；4．否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除； 否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除；5．（1）p：m∈R，方程x2+x-m=0无实根；真命题。（2）q：R，使得x2+x+1>0；真命题。6． ⑴ 若m>1，则方程x2-2x+m=0无实数根，(真)；⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；⑶若是锐角三角形， 则的任何一个内角不都是锐角(假)；⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0(假)；⑸若(x-1)(x-2)=0，则 或，(真)．】
五、教后反思：
第十三课时 常用逻辑用语复习与小结
一、教学目标：整体理解逻辑用语，通过概念的整理和习题的讲解与练习，熟练逻辑用语的使用技巧。通过四种命题的相互关系，了解反证法的机理，能利用命题的等价关系转换角度、间接解决或证明一些问题。
二、教学重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”与含有量词的命题的否定。教学难点：对一些命题真假的判断。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：1.知识网络
2. 概念与规律总结
（1）命题的结构
命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题
构成复合命题的形式：p或q(记作p∨q)；p且q(记作p∧q)；非p(记作┑q)
（2）命题的四种形式与相互关系
原命题：若P则q；逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q； 逆否命题：若┑q则┑p
原命题与逆否命题互为逆否，同真假；逆命题与否命题互为逆否，同真假；
（3）命题的条件与结论间的属性
若pq，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件，即“推出人者为充分，被人推出者为必要”。
（4）“或”、“且”、“非”的真值判断；“非p”形式复合命题的真假与P的真假相反；
“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
注意：“p或q”，“p且q”，“非p”命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
（5）全称量词与存在量词
全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等；
存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；
全称命题P:M, p(x） 否定为 P: M, P（x）
存在性命题P:M, p(x） 否定为 P: M, P（x）
（6）反证法是间接证法的一种．若要证的命题是“”，反证法是假设为真，即不成立，并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理，得出矛盾．因为公理、定理、公式正确，推理过程也正确，产生矛盾的原因只能是“假设为真”，由此假设不成立，即“为真”．这里的“矛盾”可以是与条件矛盾，即推得“”，可以是和公理、定理或熟知的结论矛盾，也可以是和“假设为真”矛盾．
（二）、师生探究
例1．分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：
（１）p：平行四边形对角线相等 q：平行四边形对角线互相平分
解：p或q：平行四边形对角线相等或互相平分p且q：平行四边形对角线相等且互相平分
非p： 平行四边形对角线不一定相等
（２）p：10是自然数 q：10是偶数
解：p或q：10是自然数或是偶数 p且q：10是自然数且是偶数 非p： 10不是自然数
例2．分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题：
（１）x=2或x=3是方程x25x+6=0的根
解： p：x=2是方程x25x+6=0的根 q：x=3是方程x25x+6=0的根，是p或q的形式
（２）既大于3又是无理数
解： p：大于3 q：是无理数 是p且q的形式
（３）直角不等于90
解： p：直角等于90 是非p形式
（４）x+1≥x3
解： p：x+1>x3 q：x+1=x3 是p或q的形式
（５）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
解： p：垂直于弦的直径平分这条弦
q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 是p且q的形式
例3．分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题,并判断它们的真假：
（１）p：末位数字是0的自然数能被5整除 q：5{x|x2+3x10=0}
解：p或q：末位数字是0的自然数能被5整除或5{x|x2+3x10=0}
p且q：末位数字是0的自然数能被5整除且5{x|x2+3x10=0}
非p：末位数字是0的自然数不能被5整除
∵p真q假 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为假，“非p”为假。
（２）p：四边都相等的四边形是正方形 q：四个角都相等的四边形是正方形
解：p或q：四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形
p且q：四边都相等的四边形是正方形且四个角都相等的四边形是正方形
非p：四边都相等的四边形不是正方形
∵p假q假 ∴“p或q” 为假，“ p且q”为假，“非p”为真。
（３）p：0 q：{x|x23x5<0} R
解：p或q： 0或{x|x23x5<0} R p且q： 0且{x|x23x5<0} R
非p： 0 ∵p假q真 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为假，“非p”为真。
（４）p：不等式x2+2x8<0的解集是：{x|4
解：p或q：不等式x2+2x8<0的解集是：{x|4
p且q：不等式x2+2x8<0的解集是：{x|4
非p：不等式x2+2x8<0的解集不是：{x|4
例4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假：
（１）面积相等的两个三角形是全等三角形。
解：逆命题：两个全等三角形面积相等。（真命题）
否命题：面积不等的两个三角形不是全等三角形。（真命题）
逆否命题：不全等的两个三角形面积不相等。（假命题）
（２）若x=0则xy=0。
解：逆命题：若xy=0则x=0。（假命题）否命题：若x0则xy0。（假命题）
逆否命题：若xy0则x0。（真命题）
（３）当c<0时，若ac>bc则a
否命题：当c<0时，若ac≤bc则a≥b。（真命题）
逆否命题：当c<0时，若a≥b则ac≤bc。（真命题）
（４）若mn<0，则方程mx2x+n=0有两个不相等的实数根。
解：逆命题：若方程mx2x+n=0有两个不等实数根，则mn<0。（假命题）
否命题：若mn≥0，则方程mx2x+n=0没有两个不等实数根。（假命题）
逆否命题：若方程mx2x+n=0没有两个不等实数根，则mn≥0。（真命题）
例5．写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假：
（１）若x,y都是奇数，则x+y是偶数。
解：命题的否定：x,y都是奇数且x+y不是偶数。（假命题）
否命题：若x,y不都是奇数，则x+y不是偶数。（假命题）
（２）若xy=0则x=0或y=0
解：命题的否定：xy=0且x0又y0。（假命题）；否命题：若xy0则x0且y0。（真命题）
（三）、小结：本课要求从整体理解逻辑用语，通过概念的整理和习题的讲解与练习，熟练逻辑用语的使用技巧。理解和掌握四种命题的相互关系。
（四）、作业布置：本章复习题一A组2、3、5、7 B组1、2
五、教后反思：
第十四课时 常用逻辑用语复习与小结
一、教学目标：整体理解逻辑用语，通过概念的整理和习题的讲解与练习，熟练逻辑用语的使用技巧。通过四种命题的相互关系，了解反证法的机理，能利用命题的等价关系转换角度、间接解决或证明一些问题。
二、教学重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”与含有量词的命题的否定。教学难点：对一些命题真假的判断。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、概念与规律总结
（1）命题的结构：命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题
构成复合命题的形式：p或q(记作p∨q)；p且q(记作p∧q)；非p(记作┑q)
（2）命题的四种形式与相互关系
原命题：若P则q；逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q； 逆否命题：若┑q则┑p
原命题与逆否命题互为逆否，同真假；逆命题与否命题互为逆否，同真假；
（3）命题的条件与结论间的属性
若pq，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件，即“推出人者为充分，被人推出者为必要”。
（4）“或”、“且”、“非”的真值判断；“非p”形式复合命题的真假与P的真假相反；
“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
注意：“p或q”，“p且q”，“非p”命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
（5）全称量词与存在量词
全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等；
存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；
全称命题P:M, p(x） 否定为 P: M, P（x）
存在性命题P:M, p(x） 否定为 P: M, P（x）
（6）反证法是间接证法的一种．若要证的命题是“”，反证法是假设为真，即不成立，并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理，得出矛盾．因为公理、定理、公式正确，推理过程也正确，产生矛盾的原因只能是“假设为真”，由此假设不成立，即“为真”．这里的“矛盾”可以是与条件矛盾，即推得“”，可以是和公理、定理或熟知的结论矛盾，也可以是和“假设为真”矛盾．
（二）、师生探究
例1、判断下列命题的真假：
（１）(x2)(x+3)=0是(x2)2+(y+3)2=0的充要条件。解：是假命题。反例；若x=2, y3
（２）x2=4x+5是 x＝x2的必要条件。解：是假命题。{x| x2=4x+5}={1,5} {x| x＝x2}={0,5}
(3)内错角相等是两直线平行的充分条件。解：是真命题。
(4)ab<0是 |a+b|<|ab| 的必要而不充分条件。
解：是假命题。|ab|>|a+b|≥0 (ab)2>(a+b)2 a22ab+b2> a2+2ab+b2 4ab<0 ab<0 ∴(ab<0是 |a+b|<|ab| 的充要条件)
例2、判断下列命题是全称命题，还是存在性命题
（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等（2）负数的平方是正数（3）有些三角形不是等腰三角形（4）有些菱形是正方形
答案（1）全称命题 （2）全称命题 （3）存在性命题 （4）存在性命题
例3、用量词符号“”，“”表达下列问题
（１）凸n边形的外角和等于２π；（２）不等式的解集为A，则AR；（３）有的向量方向不定；
（４）至少有一个实数不能取对数；
答案（１）x∈{x是凸n边形}，x的外角和等于２π；（２）A∈{不等式的解集}，AR；
（３） 0∈{向量}，0的方向任意；（４） x∈R，x不能取对数；
例4、写出下列命题的否定：（1）对任意的正数x，>x-1；（2）不存在实数x，x2+1<2x；
（3）已知集合AB，如果对于任意的元素x∈A，那么x∈B；
（4）已知集合AB，存在至少一个元素x∈B，使得x∈A；
答案（1）存在正数x，x-1；（2）存在实数x，x2+1≥2x；（3）已知集合AB，如果存在一个元素，那么；（原对，否错）（4）已知集合AB，如果对于任意的元素x，那么x；（原错，否对）
例5、已知关于x的方程 (1a)x2+(a+2)x4=0 aR 求：1) 方程有两个正根的充要条件；2) 方程至少有一个正根的充要条件。
解：1) 方程(1a)x2+(a+2)x4=0有两个实根的充要条件是：
即：即： a≥10或a≤2且a1
设此时方程两根为x1，x2 ∴有两正根的充要条件是：
1
综上：方程(1a)x2+(a+2)x4=0至少有一正根的充要条件是a≤2或a≥10。
(三)、课堂练习：1、用反证法证明：若p+q=2，则p+q≤2
证明：当p+q＞2时，p+q=+≥＞×2=2
∴ p+q＞2，即p+q≠2∴ 逆否命题为真命题，即若p+q=2，则p+q≤2成立
2、把下列改写成“若p则q”的形式，并判断它们的真假：
（１）实数的平方是非负数。
解：若一个数是实数，则它的平方是非负数。（真命题）
（２）等底等高的两个三角形是全等三角形。
解：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形。（假命题）
（３）被6整除的数既被3整除又被2整除。
解：若一个数能被6整除，则它能被3整除又能被2整除。（真命题）
（４）弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧。
解：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧。 （真命题）
3、指出下列各组命题中p是q的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）：
（１）p：a2>b2 q：a>b 则p是q的 既不充分也不必要条件 。
（２）p：{x|x>2或x<3} q：{x|x2x6<0} 则p是q的 必要而不充分条件 。
（３）p：a与b都是奇数 q：a+b是偶数 则p是q的 充分不必要条件 。
（４）p：0
常用逻辑用语
命题及其关系
简单的逻辑联结词
全称量词与存在量词
四种命题
充分条件与必要条件
量词
全称量词
存在量词
含有一个量词的否定
或
且
非或
并集
交集
补集
运算
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的
同课章节目录