2.2.1用样本的频率分布估计总体分布

课件43张PPT。　　探究：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出. 某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费. 如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？ 为了确定一个较为合理的标准a，必须先了解
全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量
在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比
是多少？由于住户较多，可采用抽样调查的方式，
通过分析样本数据一来估计全市居民用水量的分布
情况. 假设通过抽样，我们获得了100位居民某年的
月均用水量（单位：t）：思考：上面这些数字能告诉我们什么呢？分析：最容易发现的是一个居民月均用水量的最
小值是0.2t，最大值为4.3t，其他在0.2与4.3之
间. 除此之外，很难发现其他信息了. 很难从随
意记录下来的数据中直接看出规律. 为此要对数
据进行整理与分析。 分析数据的一种基本方法是用图将它们画现
来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式. 作
图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，
二是利用图形传递信息. 表格则是通过改变数据
的构成形式，为我们提供解释数据的新方式. 画频率分布表与频率分布直方图的步骤：
（频率分布：是样本数据在各个小组内所占比例
的大小.）（1）求极差（2）确定组距与组数 （3）将数据分组 （4）列频率分布表 （5）画频率分布直方图极差：一组数据中最大值与最小值的差.
4.3-0.2=4.1
这说明样本数据的变化范围是
　　　4.1t (0≤t≤1). 将数据分成互不相交的组，把区间取为左闭
右开区间，最后一组为闭区间.
以组距为0.5将数据分组时，可以分成9组：
[0，0.5），[0.5，1），……，[4，4.5].[问题] 样本在区间[1，2）上的频率为多少？探究：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵
轴的单位不同，得到的图的形状也会不同，不同
的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响
我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作
图，然后谈谈你对图的印象.思考：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的
用水量不超出标准，根据频率分布表和频率分布直
方图，你能对制定月用水量标准提出建议吗？ 分析：月用水量在3 t以上的居民所占的比例为6%
+4%+2%=12%，即大约有12%的居民月用水量在3t以
上，88%的居民月用水量在3t以下. 因此，居民月
用水量标准定为3t是一个可以考虑的标准.想一想：你认为3t这个标准一定能够保证85％以
上的居民用水不超标吗？如果不一定，那么哪些
环节可能会导致结论的差别？频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长
方形上端的中点.思考：（1）上例的样本容量为100，如果增至
1000，其频率分布直方图的情况会有什么变化？
假如增至10000呢？分析：样本容量越大，这种估计越精确。但随
着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，
组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于
一条光滑曲线. 当样本容量无限增大，组距无
限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于
一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体
密度曲线。（图中阴影部分的面积，表示总体在某个区间
(a， b) 内取值的百分比）总体密度曲线
说明：（1）总体密度曲线反映了总体在各个范围
内取值的百分比，精确地反映了总体的分布规律，
是研究总体分布的工具.
（2）用样本分布直方图去估计相应的总体
分布时，一般样本容量越大，频率分布直方图就会
无限接近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的
分布规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取
值百分比. 思考：可以由样本的频率分布折线图得到准确的总
体密度曲线吗？ 茎叶图
某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始
记录如下：
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，
14，28，39；
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，
15，37，25，36，39.用茎叶图列出甲、乙两名运动员的分数：分析：茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁
边生长出来的数。中间的数字表示得分的十位
数，旁边的数字分别表示两个人得分的个位数。
乙运动员的得分基本上是对称的，叶的分布是
“单峰”的，有的叶集中在茎2，3，4上，中位数
是36；甲运动员的得分除一个特殊得分（51分）
外，也大致对称，叶的分布也是“单峰”的，的叶
集中在茎1，2，3上，中位数是26。由此可看出，
乙运动员的成绩更好。另外，从叶在茎上的分布
情况看，乙运动员的得分集中于峰值附近，这说
明乙运动员的发挥更稳定.茎叶图的特征
1.用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图
上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可
以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随
时记录，随时添加，方便记录与表示。
2.茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且
茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据
虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观、
清晰。例1. 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在100～400h以内的在总体中占
的比例；（4）估计电子元件寿命在400 h以上的在总体中占
的比例.解：（1）样本频率分布表如下：（2）频率分布直方图如下：（3）元件寿命在100h～400h以内的在总体中占的
比例为0.10+0.15+0.40=0.65.
（4）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占
的比例为1-0.65=0.35.[变式] 同学们在你画出的频率分布直方图中，若
从左到右各小正方形的面积之比为2 :3 :8 :4 :3，
第二小组频数为60.
问：（1）第二小组的频率是多少，样本容量是多
少？
（2）若寿命在300h以上（含300h）为合格，
估计合格率为多少？例2. 在育才中学举行的电脑知识竞赛中，将高
一两个班参赛学生的成绩（得分的整数）进行整
理后分成五组，绘制出如下的频率分布图直方图，
已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小
组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，第二
小组的频率为40.
（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直
方图；
（2）求这两个班参赛的学生人数.
分析：根据图中所有长方形的面积之和为1，可求
得第二小组的频率，从而可求出第二小组的“频率
/组距”，从而补全直方图.解：（1）因为各小组的频率之和为1.00，第一、
三、四、五组的频率分别是0.30，0.15，0.10，
0.05，所以第二小组的频率为1.00-（0.30+0.15
+0.10+0.05）=0.40 .
因为第二小组的频率为0.40，所以落在59.5
～69.5的第二组的小长方形的高=频率/组距=0.4
/10=0.04 ，由此可补全直方图(如图中阴影部分). （2）设高一两个班参赛的学生人数为x 人，
因为第二小组的频数为40，频率为0.40，所以40/
x=0.40，得x=100人. 例3. 某中学高一（2） 班甲、乙两名同学自高中
以来每场数学考试成绩情况如下：
甲的得分：95，81，75，91，86，89，71，65，76，
88，94，110，107；
乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，
98，79，101．
画出两人数学成绩的茎叶图，请根据茎叶图对
两人的成绩进行比较．分析：用中间的数字表示两位同学得分的十位数和
百位数．两边的数字分别表示两人每场数学考试成
绩的个位数.解：甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图． 从这个茎叶图上可以看出 乙同学的得分情况是大
致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况除一个特殊
得分（110分）外. 也大致对称，中位数是88．因此乙
同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好. 1202. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了
50名学生.得到他们在某一天各自课外阅读所用时间
的数据．结果用下面的条形图表示.根据条形图可得
这50名这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）
A. 0.6小时 B. 0.9小时 C. 1.0小时 D. 1.5小时B0.125解答题：
5. 从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成
绩的分组及各组的频数如下：
[40，50），2:[50，60），3:[60，70），10:[70,
80），15:[80，90），12:[90，100]，8.
（1）列出样本的频率分布表（含累计频率）；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计成绩在[60，90]分的学生比例；
（4）估计成绩在85分以下的学生比例．解：（1）样本频率分布表如下.（2）频率分布直方图如下.（3）估计成绩在[60，90]分的学生比例为0.20+
0.30+0.24=0.74.（4）估计成绩在80分以下的学生比例为0.04+0.06
+0.20+0.30=0.60. 为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三
女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：（1）求出表中m、n、M、N所表示的数分别是多少？
（2）画频率分布直方图.