3.1.3概率的基本性质
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课件38张PPT。（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件，例如：
C1＝{出现1点}；C2＝{出现2点}；C3＝{出现3点}；
C4＝｛出现4点｝；C5=｛出现5点｝，；C6=｛出现6点｝；
D1=｛出现的点数不大于1｝； D2 =｛出现的点数大于3｝； D3=｛出现的点数小于5｝；
E=｛出现的点数小于7｝；F=｛出现的点数大于6｝；
G=｛出现的点数为偶数｝，H=｛出现的点数为奇数｝
…… 类比集合与集合的关系、运算，你能发现这些事件间
的关系与运算吗？ 1．包含关系一、事件的关系与运算例：掷一颗骰子的试验中，出现C1＝{出现1点}；
C2＝{出现2点}；M＝{出现1点或2点}，说出C1、
C2、M间的关系. 1．包含关系一、事件的关系与运算2．等价关系一、事件的关系与运算2．等价关系例：掷一颗骰子的试验中，出现E＝{出现的点数
小于7}； N＝{出现的点数大于等于1}，说出D1、
F间的关系.解：显然事件Ｄ1发生必有事件N发生，反过来事件N发生必有事件D1发生. 记为D1＝N.一、事件的关系与运算3．事件的并（或称事件的和）一、事件的关系与运算3．事件的并（或称事件的和）（2）抽查一批零件, 记事件A＝“都是合格品”，
B＝“恰有一件不合格品”，C＝“至多有一件不合
格品”.则事件C是事件A、 B的并，记作C=A∪B. 例：
（1）掷一颗骰子的试验中，出现C1={出现1点}，
C2={出现5点}，事件C1∪C2表示出现1点或5点这
个事件，即C1∪C2={出现1点或5点}.一、事件的关系与运算4．事件的交（或称事件的积） 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B
发生（即事件A与事件B都发生），则称此事件
为事件A 与事件B的交事件（或积事件），记为
A∩B（或AB）. A∩B一、事件的关系与运算4．事件的交（或称事件的积） 例：掷一颗骰子的试验中，出现Ｄ2={出现的点
数大于3}，D3={出现的点数小于5}，事件D2D3
表示出现的点数大于3小于5点这个事件，即=D1
｛出现4点｝= C4. 一、事件的关系与运算5．事件的互斥一、事件的关系与运算例：（2）抽查一批产品, 事件A＝“没有不合格品”，
事件B＝“有一件不合格品”，问这两个事件能
否在一次抽取中同时发生.一、事件的关系与运算5．事件的互斥6．对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件.其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且只有一个发生.一、事件的关系与运算6．对立事件例： （1）掷一颗骰子的试验中，出现G＝{出现
的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}，因为
G∩H为不可能事件，G∪H为必然事件，所以
G与H互为对立事件. （2）从某班级中随机抽查一名学生，测量
他的身高，记事件A＝“身高在1.70m 以上”，事
件B＝“身高不多于1. 7m ”，则事件A与B互为
对立事件.一、事件的关系与运算思考：你能说说互斥事件和对立事件的区别与
联系吗？小结：互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会
同时发生，其具体包括三种不同的情形：一、事件的关系与运算（1）事件A发生且事件B不发生；
（2）事件A不发生且事件B发；
（3）事件A与事件B同时不发生.思考：你能说说互斥事件和对立事件的区别与
联系吗？小结：互斥事件与对立事件的区别与联系：对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，
其包括两种情形：对立事件是互斥事件的特殊情形.一、事件的关系与运算（1）事件A发生且B不发生；
（2）事件B发生且事件A不发生.例： 一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些
是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将
两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不
可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互
斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一
个必发生.一、事件的关系与运算解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，
C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）.一、事件的关系与运算例： 一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些
是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.（1）任何事件的概率在0～1之间，即0≤P(A)≤1； 二、概率的几个基本性质 （2）必然事件概率为1，不可能事件概率为0 ；（3）当事件A与B互斥时，满足加法公式：
P(A∪B)= P(A)+ P(B) ；（4）若事件A与B互为对立事件，则A∪B为必然
事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是
有P(A)=1－P(B) ． 分析：抛掷骰子，事件“出现奇数点”和“出现偶数
点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C，答：出现奇数点或偶数点的概率为1. 则C=A∪B,因为A、B是互斥事件，解：（1）因为C=AB，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件．根据概率的加法公式得：解：（2）C与D也是互斥事件，又由于CD为必然
事件， 所以C与D互为对立事件，所以分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．例3：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿 或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？球，从中任取一球，得到红球的概率为 ，得到黑球解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑
球“、”摸到黄球“、”摸到绿球“为A、B、C、D，则
有例3：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿 或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？球，从中任取一球，得到红球的概率为 ，得到黑球解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑
球“、”摸到黄球“、”摸到绿球“为A、B、C、D，则
有练习： 填空:
1．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的100件数小于，
其中 是必然事件； 是不可能事件；
是随机事件.①、③④②练习： 填空:
2．有一种电子产品，它可以正常使用的概率为
0.992，则它不能正常使用的概率是 .
3 ．一枚五分硬币连掷三次，事件A为“三次反面
向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为
“至少二次正面向上” 写出一个事件A、B、C的
概率P(A)、P(B)、P(C)之间的正确关系式是____
__________________. 0.008 P(A)+P(B)+P(C)=1练习： 选择:
4．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒n球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸
出白球的概率是0.28，那么摸出?虻母怕适?
（ ）
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7
5．设为A、B两个事件，且P(A)=0.3，则当（ ）
时一定有P(B)=0.7.
A．A与B与互斥 B． A与B与对立
C．A í B D．A不包含BBC练习： 解答:
7．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；解：从一堆产品中任取2件的情况包括：2件次品、1件次
品与1件正品、2件正品.依据互斥事件的定义，即事件A
与事件B在一次试验中不会同时发生知：练习： 解答:
7．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；解：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，
因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，
所以它们不是对立事件；练习： 解答:
7．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；解：（2）至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，也不
是对立事件；练习： 解答:
7．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；解：（3）至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，
也不是对立事件；练习： 解答:
7．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；解：（4）至少有1件次品和全是正品既是互斥事件也是对
立事件. 练习： 解答:
8．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率.解：（1）该射手射中10环或9环的概率是射中10环的
概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44.（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、
7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而
射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件互为对立
事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03.练习： 解：解：记“排队等候游玩的人数为0、1、2、3、4、5人及以上
”的事件分别为A、B、C、D、E、F，则由题设得
P(A)=0.11，P(B)=0.15，P(C)=0.3，P(D)=0.28，P(E)=0.1
P(F)=0.06.练习： 解：（1）事件“至多2人排队等候”是互斥事件A、B、C的
和，即A+B+C，其概率为
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.11+0.15+0.3=0.56.所以，至多2人排队等候的概率为0.56.练习： 解：（2）“至少2人排队等候”的对立事件是“至多1人排队
等候”，而“至多1人排队”为互斥事件A、B的和，即
A∪B，其概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=0.11+0.15=0.26.
1－ P(A+B)＝1－0.26＝0.74
所以至少2人排队等候的概率为0.74．
C1＝{出现1点}；C2＝{出现2点}；C3＝{出现3点}；
C4＝｛出现4点｝；C5=｛出现5点｝，；C6=｛出现6点｝；
D1=｛出现的点数不大于1｝； D2 =｛出现的点数大于3｝； D3=｛出现的点数小于5｝；
E=｛出现的点数小于7｝；F=｛出现的点数大于6｝；
G=｛出现的点数为偶数｝，H=｛出现的点数为奇数｝
…… 类比集合与集合的关系、运算，你能发现这些事件间
的关系与运算吗？ 1．包含关系一、事件的关系与运算例：掷一颗骰子的试验中，出现C1＝{出现1点}；
C2＝{出现2点}；M＝{出现1点或2点}，说出C1、
C2、M间的关系. 1．包含关系一、事件的关系与运算2．等价关系一、事件的关系与运算2．等价关系例：掷一颗骰子的试验中，出现E＝{出现的点数
小于7}； N＝{出现的点数大于等于1}，说出D1、
F间的关系.解：显然事件Ｄ1发生必有事件N发生，反过来事件N发生必有事件D1发生. 记为D1＝N.一、事件的关系与运算3．事件的并（或称事件的和）一、事件的关系与运算3．事件的并（或称事件的和）（2）抽查一批零件, 记事件A＝“都是合格品”，
B＝“恰有一件不合格品”，C＝“至多有一件不合
格品”.则事件C是事件A、 B的并，记作C=A∪B. 例：
（1）掷一颗骰子的试验中，出现C1={出现1点}，
C2={出现5点}，事件C1∪C2表示出现1点或5点这
个事件，即C1∪C2={出现1点或5点}.一、事件的关系与运算4．事件的交（或称事件的积） 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B
发生（即事件A与事件B都发生），则称此事件
为事件A 与事件B的交事件（或积事件），记为
A∩B（或AB）. A∩B一、事件的关系与运算4．事件的交（或称事件的积） 例：掷一颗骰子的试验中，出现Ｄ2={出现的点
数大于3}，D3={出现的点数小于5}，事件D2D3
表示出现的点数大于3小于5点这个事件，即=D1
｛出现4点｝= C4. 一、事件的关系与运算5．事件的互斥一、事件的关系与运算例：（2）抽查一批产品, 事件A＝“没有不合格品”，
事件B＝“有一件不合格品”，问这两个事件能
否在一次抽取中同时发生.一、事件的关系与运算5．事件的互斥6．对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件.其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且只有一个发生.一、事件的关系与运算6．对立事件例： （1）掷一颗骰子的试验中，出现G＝{出现
的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}，因为
G∩H为不可能事件，G∪H为必然事件，所以
G与H互为对立事件. （2）从某班级中随机抽查一名学生，测量
他的身高，记事件A＝“身高在1.70m 以上”，事
件B＝“身高不多于1. 7m ”，则事件A与B互为
对立事件.一、事件的关系与运算思考：你能说说互斥事件和对立事件的区别与
联系吗？小结：互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会
同时发生，其具体包括三种不同的情形：一、事件的关系与运算（1）事件A发生且事件B不发生；
（2）事件A不发生且事件B发；
（3）事件A与事件B同时不发生.思考：你能说说互斥事件和对立事件的区别与
联系吗？小结：互斥事件与对立事件的区别与联系：对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，
其包括两种情形：对立事件是互斥事件的特殊情形.一、事件的关系与运算（1）事件A发生且B不发生；
（2）事件B发生且事件A不发生.例： 一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些
是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将
两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不
可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互
斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一
个必发生.一、事件的关系与运算解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，
C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）.一、事件的关系与运算例： 一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些
是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.（1）任何事件的概率在0～1之间，即0≤P(A)≤1； 二、概率的几个基本性质 （2）必然事件概率为1，不可能事件概率为0 ；（3）当事件A与B互斥时，满足加法公式：
P(A∪B)= P(A)+ P(B) ；（4）若事件A与B互为对立事件，则A∪B为必然
事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是
有P(A)=1－P(B) ． 分析：抛掷骰子，事件“出现奇数点”和“出现偶数
点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C，答：出现奇数点或偶数点的概率为1. 则C=A∪B,因为A、B是互斥事件，解：（1）因为C=AB，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件．根据概率的加法公式得：解：（2）C与D也是互斥事件，又由于CD为必然
事件， 所以C与D互为对立事件，所以分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．例3：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿 或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？球，从中任取一球，得到红球的概率为 ，得到黑球解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑
球“、”摸到黄球“、”摸到绿球“为A、B、C、D，则
有例3：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿 或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？球，从中任取一球，得到红球的概率为 ，得到黑球解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑
球“、”摸到黄球“、”摸到绿球“为A、B、C、D，则
有练习： 填空:
1．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的100件数小于，
其中 是必然事件； 是不可能事件；
是随机事件.①、③④②练习： 填空:
2．有一种电子产品，它可以正常使用的概率为
0.992，则它不能正常使用的概率是 .
3 ．一枚五分硬币连掷三次，事件A为“三次反面
向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为
“至少二次正面向上” 写出一个事件A、B、C的
概率P(A)、P(B)、P(C)之间的正确关系式是____
__________________. 0.008 P(A)+P(B)+P(C)=1练习： 选择:
4．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒n球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸
出白球的概率是0.28，那么摸出?虻母怕适?
（ ）
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7
5．设为A、B两个事件，且P(A)=0.3，则当（ ）
时一定有P(B)=0.7.
A．A与B与互斥 B． A与B与对立
C．A í B D．A不包含BBC练习： 解答:
7．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；解：从一堆产品中任取2件的情况包括：2件次品、1件次
品与1件正品、2件正品.依据互斥事件的定义，即事件A
与事件B在一次试验中不会同时发生知：练习： 解答:
7．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；解：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，
因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，
所以它们不是对立事件；练习： 解答:
7．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；解：（2）至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，也不
是对立事件；练习： 解答:
7．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；解：（3）至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，
也不是对立事件；练习： 解答:
7．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；解：（4）至少有1件次品和全是正品既是互斥事件也是对
立事件. 练习： 解答:
8．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率.解：（1）该射手射中10环或9环的概率是射中10环的
概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44.（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、
7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而
射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件互为对立
事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03.练习： 解：解：记“排队等候游玩的人数为0、1、2、3、4、5人及以上
”的事件分别为A、B、C、D、E、F，则由题设得
P(A)=0.11，P(B)=0.15，P(C)=0.3，P(D)=0.28，P(E)=0.1
P(F)=0.06.练习： 解：（1）事件“至多2人排队等候”是互斥事件A、B、C的
和，即A+B+C，其概率为
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.11+0.15+0.3=0.56.所以，至多2人排队等候的概率为0.56.练习： 解：（2）“至少2人排队等候”的对立事件是“至多1人排队
等候”，而“至多1人排队”为互斥事件A、B的和，即
A∪B，其概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=0.11+0.15=0.26.
1－ P(A+B)＝1－0.26＝0.74
所以至少2人排队等候的概率为0.74．