3.2.1古典概型
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课件42张PPT。问题１：考察两个试验：（1）抛掷一枚质地均匀的硬币的试验；
（2）掷一颗质地均匀的骰子的试验.在这两个试验中，可能的结果分别有哪些？（2）掷一枚质地均匀的骰子，结果只有6个，即
“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”.（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即
“正面朝上”或“反面朝上 它们都是随机事件，我们把这类随机事件称
为基本事件.问题2：基本事件有什么特点？ 基本概念：基本事件：在一个特定的随机试验中，每一个可
能出现的结果为一个基本事件.基本事件的特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成
基本事件的和. 练习：
把一枚骰子抛6次，设正面出现的点数为x，下列事件由哪些基本事件组成：
（1）x的取值为2的倍数（记为事件A）
（2）x的取值大于3（记为事件B）
（3）x的取值为不超过2（记为事件C）解：例1： 从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字
母的试验中，有哪些基本事件？解：所求的基本事件共有6个：A={a，b}， B={a，c}， C={a，d}， D={b，c}， E={b，d}， F={c，d}. abcdbcdcd分析：为了得到基本事件，我们可以按照某种顺
序，把所有可能的结果都列出来. （画树状图）古典概型的定义古典概型有两个特征：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
（有限性）;
（2）每个基本事件的出现的可能性相等（等可能
性）． 我们称具有这两个特征的概率模型称为古典
概率模型（classical models of probability）简称
古典概型.注意：在“等可能性”概念的基础上，很多实际问
题符合或近似符合这两个条件，可以作为古典概
型来看待.引出新知：问题1：在古典概型下，基本事件出现的概率是
多少？随机事件出现的概率如何计算？例2：掷两枚均匀硬币，求出现一个正面一个反
面的概率．解：掷甲、乙两枚均匀硬币，包含的基本事件有：
A{甲正乙正}、B{甲正乙反}、C{甲反乙正}、
D{甲反乙反}． 这里四个基本事件是等可能发生的，故属古
典概型．P(A)=P(B)= P(C)=P(D)， 又因为P(A)+P(B)+ P(C)+P(D)=P(必然事件)=1 解：利用概率的加法公式可得 问题２：上述概率公式的推导过程中基本事件有
什么特点？ 小结： P(“出现一个正面一个反面”) 例2：掷两枚均匀硬币，求出现一个正面一个反
面的概率．古典概率的计算公式古典概型中，任何事件A的概率为：练习：
（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该
点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这
是古典概型吗?为什么？
（2）某同学随机地向一靶心进行射
击，这一试验的结果只有有限个：命
中10环、命中9环……命中5环和不中
环。你认为这是古典概型吗？为什么？ 解：（1）不是古典概型，因为试验的所有可能
结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果
数是无限的；练习：
（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该
点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这
是古典概型吗?为什么？
（2）某同学随机地向一靶心进行射
击，这一试验的结果只有有限个：命
中10环、命中9环……命中5环和不中
环。你认为这是古典概型吗？为什么？ 解：（2）不是古典概型，因为试验的所有可能
结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5
环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古
典概型的第二个条件. 例3：单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从
A、B、C、D四个选项中选择一个正确案．如果考生
掌握了考察的内容，它可以选择唯一正确的答案．假
设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的
概率是多少？解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4
个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件只
有4个，考生随机的选择一个答案是选择A，B，C，
D的可能性是相等的.由古典概型的概率计算公式得：求古典概型的概率计算步骤：①列举基本事件（验证基本事件是否有限，所有
基本事件出现是否等可能）；②列举目标事件所包含的基本事件； ③利用公式进行计算. 思考：假设有20道单选题，如果有一个考生答对
了17道题，他是随机选择的可能性大，还是他掌
握了一定的知识的可能性大？（1）如果只要一个正确答案是对的，则有A，B，
C，D4种；（2）如果有两个答案是正确的，则正确答案可以
是（A、B），（A、C），（A、D），（B、
C），(B、D)， (C、D)6种；探究：在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题从A、B、C、D四个选项中选出所有正确
答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确
答案，多选题更难猜对，这是为什么？点拨：我们探讨正确答案的所有结果（四种情况）：探究：在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题从A、B、C、D四个选项中选出所有正确
答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确
答案，多选题更难猜对，这是为什么？点拨：我们探讨正确答案的所有结果（四种情况）：（3）如果有三个答案是正确的，则正确答案可以
是（A、B、C），（A、C、D），（A、B、
D），（B、C、D）4种．（4）所有四个都正确，则正确答案只有ABCD1种.
所以正确答案的所有可能结果有4＋6＋4＋1
＝15种，从这15种答案中任选一种的可能性
只有1/15，因此更难猜对. 例4 ：同时掷两枚骰子,计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？ 解（1）掷一个骰子的结果有6种。我们把两个骰子标上记
号1，2以便区分，由于1号骰子的每一个结果都可与2号
骰子的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一
个结果，因此同时掷两个骰子的结果共有36种. 例4 ：同时掷两枚骰子,计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？ 解 （2）在上面的所有结果中，向上的点数之和为5的结果
有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），
其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示
2号骰子的结果． 例4 ：同时掷两枚骰子,计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？ 解探究：为什么要把两个骰子标上记号？如果不标
记号会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？ 想一想：两个答案都是利用古典概型的概率计算
公式得到的，但是怎么出现了不同结果呢？ 小结：利用古典概型的计算公式前一定要先验证
所构造的基本事件出现的可能性是否相等. 问题3：把例4和例1作比较，你能找出它们的联
系和区别吗？分析：例4中列举基本事件时是有序的、数字可
以重复出现的，而例1是无序的、字母不可能重
复出现的． 例5：假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数
字可以是0，1，2…，9十个数字中的任意一个。
假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他
到自动提款机上随机试一次密码就能取到钱的概
率是多少？ 解：这个人随机试一个密码，相当做1次随机试
验，试验的基本事件（所有可能的结果）共有
10 000种，它们分别是0000，0001，0002，…，
9998，9999.由于是随机地试密码，相当于试验
的每一个结果试等可能的．所以 P(“试一次密码就能取到钱”) ＝1/10000 答：随机试一次密码就能取到钱概率是0.0001． ＝0.0001 例6：某种饮料每箱装6，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽取2听，检测出不合格产
品的概率有多大 ？ 解：我们把每听饮料标上号码，合格的4听分别记作：1，
2，3，4，不合格的2听分别记为a，b，只要检测的2听中
有1听不合格，就表示查出了不合格产品. 从而P(A)= P(A1)+P(A2)+ P(A12) 因为A1中的基本事件的个数为8，A2中的基本事件的个数为8，A12中的基本事件的个数为2，全部基本事件的总数为30， 解法2：可以看作不放回2次无顺序抽样，则（x，y）与
（y，x）表示相同的基本事件.
在6听饮料中随机抽取2听，可能发生的基本事件共有：
15种. 由于是随机抽取，所以抽到的任何基本事件的概率
相等.其中抽出不合格产品有两种情况:1听不合格：合格产品从4听中选1听，不合格产品从2听
中选1听，包含的基本事件数为8. 2听都不合格：包含的基本事件数为1.
所以检测出不合格产品这个事件包含的基本事件数为8＋
1＝9，答：检测出不合格产品的概率是0.6. 探究：随着检测听数的增加，查出不合格产品的
概率怎样变化？为什么质检人员都采用抽查的方
法而不采用逐个检查的方法？点拨：
检测的听数和查出不合格产品的概率如下表： 练习：
1．一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率.解法1：设A表示“出现点数之和为奇数”，用（i，j）记“
第一颗骰子出现i点，第二颗骰子出现j点”，i= 1，2，3，
4，5，6．显然出现的36个基本事件是等概率的，其中A
包含的基本事件个数为18个，故 练习：
1．一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率.解法2：若把一次试验的所有可能结果取为：(奇，奇)，
(奇，偶)， (偶，奇)， (偶，偶)，则它们也是等概率的，
基本事件总数为４，Ａ包含的基本事件((奇，偶)， (偶，
奇))个数 为２. 故 练习：
1．一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率.解法2：若把一次试验的所有可能结果取为：{点数和为奇
数}，{点数和为偶数}，则它们也是等概率的，基本事件总
数为２，Ａ所含基本事件数为1. 故 练习：2. 在夏令营的7名成员中，有3名同学已去过北京.从这7名同学中任选2名同学，选出的这2名同学恰是已去过北京的概率是多少？解：可以看作不放回2次无顺序抽样．在7名同学
中任选2名同学，共有21种可能，同理可得其中选
到的2名同学都去过北京共有3 种可能．由于是随
机抽取，所以抽到的任何基本事件的概率相等.
所以， 练习：解：所有可能的基本事件共有27个，如图所示. 练习：解： 练习：4． 甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)，求：
（1）平局的概率；
（2）甲赢的概率；
（3）乙赢的概率.例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且
乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况.乙赢的含义是乙出
锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况. 练习：4． 甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)，求：
（1）平局的概率；
（2）甲赢的概率；
（3）乙赢的概率.解：设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.容易
得到：（1）平局含3个基本事件(图中的△)；（2）甲赢含3个基本事件(图中的⊙)；5．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次
任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两
件产品中恰有一件次品的概率.如果将“每次取出后不放回
”这一条件换成“每次取出后放回”呢? 5．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次
任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两
件产品中恰有一件次品的概率.如果将“每次取出后不放回
”这一条件换成“每次取出后放回”呢? 下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，
从袋中无放回地取球，分别计算甲获胜的概率，
哪个游戏是公平的？
（2）掷一颗质地均匀的骰子的试验.在这两个试验中，可能的结果分别有哪些？（2）掷一枚质地均匀的骰子，结果只有6个，即
“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”.（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即
“正面朝上”或“反面朝上 它们都是随机事件，我们把这类随机事件称
为基本事件.问题2：基本事件有什么特点？ 基本概念：基本事件：在一个特定的随机试验中，每一个可
能出现的结果为一个基本事件.基本事件的特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成
基本事件的和. 练习：
把一枚骰子抛6次，设正面出现的点数为x，下列事件由哪些基本事件组成：
（1）x的取值为2的倍数（记为事件A）
（2）x的取值大于3（记为事件B）
（3）x的取值为不超过2（记为事件C）解：例1： 从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字
母的试验中，有哪些基本事件？解：所求的基本事件共有6个：A={a，b}， B={a，c}， C={a，d}， D={b，c}， E={b，d}， F={c，d}. abcdbcdcd分析：为了得到基本事件，我们可以按照某种顺
序，把所有可能的结果都列出来. （画树状图）古典概型的定义古典概型有两个特征：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
（有限性）;
（2）每个基本事件的出现的可能性相等（等可能
性）． 我们称具有这两个特征的概率模型称为古典
概率模型（classical models of probability）简称
古典概型.注意：在“等可能性”概念的基础上，很多实际问
题符合或近似符合这两个条件，可以作为古典概
型来看待.引出新知：问题1：在古典概型下，基本事件出现的概率是
多少？随机事件出现的概率如何计算？例2：掷两枚均匀硬币，求出现一个正面一个反
面的概率．解：掷甲、乙两枚均匀硬币，包含的基本事件有：
A{甲正乙正}、B{甲正乙反}、C{甲反乙正}、
D{甲反乙反}． 这里四个基本事件是等可能发生的，故属古
典概型．P(A)=P(B)= P(C)=P(D)， 又因为P(A)+P(B)+ P(C)+P(D)=P(必然事件)=1 解：利用概率的加法公式可得 问题２：上述概率公式的推导过程中基本事件有
什么特点？ 小结： P(“出现一个正面一个反面”) 例2：掷两枚均匀硬币，求出现一个正面一个反
面的概率．古典概率的计算公式古典概型中，任何事件A的概率为：练习：
（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该
点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这
是古典概型吗?为什么？
（2）某同学随机地向一靶心进行射
击，这一试验的结果只有有限个：命
中10环、命中9环……命中5环和不中
环。你认为这是古典概型吗？为什么？ 解：（1）不是古典概型，因为试验的所有可能
结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果
数是无限的；练习：
（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该
点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这
是古典概型吗?为什么？
（2）某同学随机地向一靶心进行射
击，这一试验的结果只有有限个：命
中10环、命中9环……命中5环和不中
环。你认为这是古典概型吗？为什么？ 解：（2）不是古典概型，因为试验的所有可能
结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5
环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古
典概型的第二个条件. 例3：单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从
A、B、C、D四个选项中选择一个正确案．如果考生
掌握了考察的内容，它可以选择唯一正确的答案．假
设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的
概率是多少？解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4
个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件只
有4个，考生随机的选择一个答案是选择A，B，C，
D的可能性是相等的.由古典概型的概率计算公式得：求古典概型的概率计算步骤：①列举基本事件（验证基本事件是否有限，所有
基本事件出现是否等可能）；②列举目标事件所包含的基本事件； ③利用公式进行计算. 思考：假设有20道单选题，如果有一个考生答对
了17道题，他是随机选择的可能性大，还是他掌
握了一定的知识的可能性大？（1）如果只要一个正确答案是对的，则有A，B，
C，D4种；（2）如果有两个答案是正确的，则正确答案可以
是（A、B），（A、C），（A、D），（B、
C），(B、D)， (C、D)6种；探究：在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题从A、B、C、D四个选项中选出所有正确
答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确
答案，多选题更难猜对，这是为什么？点拨：我们探讨正确答案的所有结果（四种情况）：探究：在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题从A、B、C、D四个选项中选出所有正确
答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确
答案，多选题更难猜对，这是为什么？点拨：我们探讨正确答案的所有结果（四种情况）：（3）如果有三个答案是正确的，则正确答案可以
是（A、B、C），（A、C、D），（A、B、
D），（B、C、D）4种．（4）所有四个都正确，则正确答案只有ABCD1种.
所以正确答案的所有可能结果有4＋6＋4＋1
＝15种，从这15种答案中任选一种的可能性
只有1/15，因此更难猜对. 例4 ：同时掷两枚骰子,计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？ 解（1）掷一个骰子的结果有6种。我们把两个骰子标上记
号1，2以便区分，由于1号骰子的每一个结果都可与2号
骰子的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一
个结果，因此同时掷两个骰子的结果共有36种. 例4 ：同时掷两枚骰子,计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？ 解 （2）在上面的所有结果中，向上的点数之和为5的结果
有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），
其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示
2号骰子的结果． 例4 ：同时掷两枚骰子,计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？ 解探究：为什么要把两个骰子标上记号？如果不标
记号会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？ 想一想：两个答案都是利用古典概型的概率计算
公式得到的，但是怎么出现了不同结果呢？ 小结：利用古典概型的计算公式前一定要先验证
所构造的基本事件出现的可能性是否相等. 问题3：把例4和例1作比较，你能找出它们的联
系和区别吗？分析：例4中列举基本事件时是有序的、数字可
以重复出现的，而例1是无序的、字母不可能重
复出现的． 例5：假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数
字可以是0，1，2…，9十个数字中的任意一个。
假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他
到自动提款机上随机试一次密码就能取到钱的概
率是多少？ 解：这个人随机试一个密码，相当做1次随机试
验，试验的基本事件（所有可能的结果）共有
10 000种，它们分别是0000，0001，0002，…，
9998，9999.由于是随机地试密码，相当于试验
的每一个结果试等可能的．所以 P(“试一次密码就能取到钱”) ＝1/10000 答：随机试一次密码就能取到钱概率是0.0001． ＝0.0001 例6：某种饮料每箱装6，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽取2听，检测出不合格产
品的概率有多大 ？ 解：我们把每听饮料标上号码，合格的4听分别记作：1，
2，3，4，不合格的2听分别记为a，b，只要检测的2听中
有1听不合格，就表示查出了不合格产品. 从而P(A)= P(A1)+P(A2)+ P(A12) 因为A1中的基本事件的个数为8，A2中的基本事件的个数为8，A12中的基本事件的个数为2，全部基本事件的总数为30， 解法2：可以看作不放回2次无顺序抽样，则（x，y）与
（y，x）表示相同的基本事件.
在6听饮料中随机抽取2听，可能发生的基本事件共有：
15种. 由于是随机抽取，所以抽到的任何基本事件的概率
相等.其中抽出不合格产品有两种情况:1听不合格：合格产品从4听中选1听，不合格产品从2听
中选1听，包含的基本事件数为8. 2听都不合格：包含的基本事件数为1.
所以检测出不合格产品这个事件包含的基本事件数为8＋
1＝9，答：检测出不合格产品的概率是0.6. 探究：随着检测听数的增加，查出不合格产品的
概率怎样变化？为什么质检人员都采用抽查的方
法而不采用逐个检查的方法？点拨：
检测的听数和查出不合格产品的概率如下表： 练习：
1．一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率.解法1：设A表示“出现点数之和为奇数”，用（i，j）记“
第一颗骰子出现i点，第二颗骰子出现j点”，i= 1，2，3，
4，5，6．显然出现的36个基本事件是等概率的，其中A
包含的基本事件个数为18个，故 练习：
1．一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率.解法2：若把一次试验的所有可能结果取为：(奇，奇)，
(奇，偶)， (偶，奇)， (偶，偶)，则它们也是等概率的，
基本事件总数为４，Ａ包含的基本事件((奇，偶)， (偶，
奇))个数 为２. 故 练习：
1．一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率.解法2：若把一次试验的所有可能结果取为：{点数和为奇
数}，{点数和为偶数}，则它们也是等概率的，基本事件总
数为２，Ａ所含基本事件数为1. 故 练习：2. 在夏令营的7名成员中，有3名同学已去过北京.从这7名同学中任选2名同学，选出的这2名同学恰是已去过北京的概率是多少？解：可以看作不放回2次无顺序抽样．在7名同学
中任选2名同学，共有21种可能，同理可得其中选
到的2名同学都去过北京共有3 种可能．由于是随
机抽取，所以抽到的任何基本事件的概率相等.
所以， 练习：解：所有可能的基本事件共有27个，如图所示. 练习：解： 练习：4． 甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)，求：
（1）平局的概率；
（2）甲赢的概率；
（3）乙赢的概率.例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且
乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况.乙赢的含义是乙出
锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况. 练习：4． 甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)，求：
（1）平局的概率；
（2）甲赢的概率；
（3）乙赢的概率.解：设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.容易
得到：（1）平局含3个基本事件(图中的△)；（2）甲赢含3个基本事件(图中的⊙)；5．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次
任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两
件产品中恰有一件次品的概率.如果将“每次取出后不放回
”这一条件换成“每次取出后放回”呢? 5．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次
任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两
件产品中恰有一件次品的概率.如果将“每次取出后不放回
”这一条件换成“每次取出后放回”呢? 下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，
从袋中无放回地取球，分别计算甲获胜的概率，
哪个游戏是公平的？