3.3.1几何概型
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课件21张PPT。问题1．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断．求剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？问题２．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．
从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金
色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径
为，靶心直径为．运动员在外射箭．假设射箭都
能射中靶面内任何一点都是等可能的．求射中黄
心的概率为多少？ 在概率论发展的早期，人们就已经注意到只
考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不
够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况 对于问题1，从每一个位置剪断都是一个基
本事件，剪断位置可以是长度为的绳子上的任意
一点．问题2中，射中靶面上每一点都是一个基
本事件，这一点可以是靶面直径为的大圆内的任
意一点．在这两个问题中，基本事件有无限多个，
虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是显然不
能用古典概型的方法求解． 几何概型的概念： 几何概型的基本特点：（1）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无
限多个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等．思考：如何计算几何概型的概率？ 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区
域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率
模型为几何概率模型，简称为几何概型．问题3．图中有两个转盘．甲乙两人玩转盘游戏．
规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．
在下面两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?问题3．图中有两个转盘．甲乙两人玩转盘游戏．
规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．
在下面两种情况下分别求甲获胜的概率是多少? 事实上，甲获胜的概率与字母B所在扇形区
域的圆弧的长度有关，而与字母B所在区域的位
置无关．因为转转盘时，指针指向圆弧上哪一点
都是等可能的．不管这些区域是相邻，还是不相
邻，甲获胜的概率是不变的．所以问题3符合几
何概型的条件． 问题3．图中有两个转盘．甲乙两人玩转盘游戏．
规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．
在下面两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?几何概型的概率公式：例1．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．分析：假设他在0～60分钟之间任何一
个时刻打开收音机是等可能的，但在0
～60分钟之间有无穷多个时刻，不能用
古典概型公式计算随机事件发生的概率．
我们可以通过随机模拟的方法得到随机
事件发生的概率的近似值，也可以通过几何概型的求
概率公式得到事件发生的概率．因为电台每隔1小时
报时一次，他在0～60分钟之间任何一个时刻打开收
音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机
的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位
置无关，这符合几何概型的条件． 例1．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．解：设A={等待的时间不多于10分钟}，
我们所关心的事件A恰好是打开收音机
的时刻位于[50，60]这一时间段内，因
此由几何概型的概率公式，得小结：在本例中，打开收音机的时刻X是随机的，可
以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的．我们
称X服从[0，60]上的均匀分布，X为[0，60]上的均匀
随机数． 练习1：某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求
任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定
车到来后每人都能上）．解： 可以认为人在任一时刻到站是等可能的．设上一班车离站时刻为a，则某人到站的一切可能时刻为 Ω= (a， a+5)，记A={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g = (a+2， a+5)中的任一时刻，故例2．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任
取一点M，求AM小于AC的概率． P(AM＜AC) 练习2：在半径为1的圆上随机地取两点，连成一
条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率
是多少？例3：某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由
转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，
就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止时，
指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获
得100元、50元、20元的购物券(转盘等分成20份) ．（1）甲顾客购物120元，他获得
购物券的概率是多少？
（2）他得到100元、50元、20元
的购物券的概率分别是多少？ 解：甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可
以获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了20
份，其中1份红色、2份黄色、4份绿色，因此对于
顾客来说：练习3．一张方桌的图案如图所示．将一颗豆子随
机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列
事件的概率：
（1）豆子落在红色区域；
（2）豆子落在黄色区域；
（3）豆子落在绿色区域；
（4）豆子落在红色或绿
色区域；
（5）豆子落在黄色或绿
色区域 ． 解：设方桌的面积为9，则每个小方形色块的面积均为1． （4）P(“豆子落在红色或绿色区域”) （5）P(“豆子落在黄色或绿色区域”) ＝P(“豆子落在红色区域”)
＋P(“豆子落在绿色区域”) ＝P(“豆子落在黄色区域”)
＋P(“豆子落在绿色区域”) 练习4．有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一
个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这
个细菌的概率．分析：细菌在这1升水中的分
布可以看作是随机的，取得
的0.1升水可视作构成事件的
区域，1升水可视作试验的所
有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．解：取得的0.1升水，其中“含有细菌”这一事件记
为A，则练习5．在1万平方千米的海域中有40平方千米的
大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，
钻到油层面的概率是多少？ 分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可
以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的
区域面积，有几何概型公式可以求得概率 ．解：记“钻到油层面”为事件A，则 “抛阶砖”是游乐场的典型游戏之一．参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为 ）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为a的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖．玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用“金币”来参加游戏． 那么要问：参加者获奖的概率有多大？
从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金
色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径
为，靶心直径为．运动员在外射箭．假设射箭都
能射中靶面内任何一点都是等可能的．求射中黄
心的概率为多少？ 在概率论发展的早期，人们就已经注意到只
考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不
够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况 对于问题1，从每一个位置剪断都是一个基
本事件，剪断位置可以是长度为的绳子上的任意
一点．问题2中，射中靶面上每一点都是一个基
本事件，这一点可以是靶面直径为的大圆内的任
意一点．在这两个问题中，基本事件有无限多个，
虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是显然不
能用古典概型的方法求解． 几何概型的概念： 几何概型的基本特点：（1）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无
限多个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等．思考：如何计算几何概型的概率？ 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区
域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率
模型为几何概率模型，简称为几何概型．问题3．图中有两个转盘．甲乙两人玩转盘游戏．
规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．
在下面两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?问题3．图中有两个转盘．甲乙两人玩转盘游戏．
规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．
在下面两种情况下分别求甲获胜的概率是多少? 事实上，甲获胜的概率与字母B所在扇形区
域的圆弧的长度有关，而与字母B所在区域的位
置无关．因为转转盘时，指针指向圆弧上哪一点
都是等可能的．不管这些区域是相邻，还是不相
邻，甲获胜的概率是不变的．所以问题3符合几
何概型的条件． 问题3．图中有两个转盘．甲乙两人玩转盘游戏．
规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．
在下面两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?几何概型的概率公式：例1．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．分析：假设他在0～60分钟之间任何一
个时刻打开收音机是等可能的，但在0
～60分钟之间有无穷多个时刻，不能用
古典概型公式计算随机事件发生的概率．
我们可以通过随机模拟的方法得到随机
事件发生的概率的近似值，也可以通过几何概型的求
概率公式得到事件发生的概率．因为电台每隔1小时
报时一次，他在0～60分钟之间任何一个时刻打开收
音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机
的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位
置无关，这符合几何概型的条件． 例1．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．解：设A={等待的时间不多于10分钟}，
我们所关心的事件A恰好是打开收音机
的时刻位于[50，60]这一时间段内，因
此由几何概型的概率公式，得小结：在本例中，打开收音机的时刻X是随机的，可
以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的．我们
称X服从[0，60]上的均匀分布，X为[0，60]上的均匀
随机数． 练习1：某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求
任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定
车到来后每人都能上）．解： 可以认为人在任一时刻到站是等可能的．设上一班车离站时刻为a，则某人到站的一切可能时刻为 Ω= (a， a+5)，记A={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g = (a+2， a+5)中的任一时刻，故例2．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任
取一点M，求AM小于AC的概率． P(AM＜AC) 练习2：在半径为1的圆上随机地取两点，连成一
条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率
是多少？例3：某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由
转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，
就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止时，
指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获
得100元、50元、20元的购物券(转盘等分成20份) ．（1）甲顾客购物120元，他获得
购物券的概率是多少？
（2）他得到100元、50元、20元
的购物券的概率分别是多少？ 解：甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可
以获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了20
份，其中1份红色、2份黄色、4份绿色，因此对于
顾客来说：练习3．一张方桌的图案如图所示．将一颗豆子随
机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列
事件的概率：
（1）豆子落在红色区域；
（2）豆子落在黄色区域；
（3）豆子落在绿色区域；
（4）豆子落在红色或绿
色区域；
（5）豆子落在黄色或绿
色区域 ． 解：设方桌的面积为9，则每个小方形色块的面积均为1． （4）P(“豆子落在红色或绿色区域”) （5）P(“豆子落在黄色或绿色区域”) ＝P(“豆子落在红色区域”)
＋P(“豆子落在绿色区域”) ＝P(“豆子落在黄色区域”)
＋P(“豆子落在绿色区域”) 练习4．有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一
个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这
个细菌的概率．分析：细菌在这1升水中的分
布可以看作是随机的，取得
的0.1升水可视作构成事件的
区域，1升水可视作试验的所
有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．解：取得的0.1升水，其中“含有细菌”这一事件记
为A，则练习5．在1万平方千米的海域中有40平方千米的
大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，
钻到油层面的概率是多少？ 分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可
以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的
区域面积，有几何概型公式可以求得概率 ．解：记“钻到油层面”为事件A，则 “抛阶砖”是游乐场的典型游戏之一．参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为 ）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为a的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖．玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用“金币”来参加游戏． 那么要问：参加者获奖的概率有多大？