1.1.2弧度制
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(共19张PPT)
度量长度的单位有哪些？
米
尺
码
度量重量的单位有哪些？
千克
斤
磅
角的度量单位是什么？
度，且1度等于周角的
360
1
还有度量角的单位吗？
1°=60′=3600″
弧度制：
把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian)的角．用符号rad表示，读作弧度．
当圆的半径增大时，圆心角会增大吗？
不会，增大半径只会使圆面积增大；
而角的大小只与弧长与半径的比值的大小有关．
360°
180°
0
-π
-2
2r
1
r
逆时针方向
2πr
逆时针方向
πr
∠AOB的度数
∠AOB的弧度数
OB旋转的方向
AB的长
⌒
如下图，半径为r的圆的圆心与原点重合，角α的始边与x轴的正半
轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B．请在右边的表格中填空.
x
O
y
α
A
B
逆时针方向
逆时针方向
逆时针方向
顺时针方向
顺时针方向
未旋转
πr
2πr
πr
0
2π
π
π
2π
180°
360°
57.3°
-114.6°
-180°
0°
你从表格里找到什么规律啦？
1．一般地，正角的弧度数是一个______数； 负角的弧度数是一个______数；零角的弧度数是_____.
正
负
0
2．如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|=________
l
r
3．角度制与弧度制的换算公式：
180°=π rad
1°= rad≈0.01745rad
π
180
1 rad=（ ）°≈57.30°=57°18′
180
π
例1：按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（2）利用计算器有
MODE
2
67
。 , ,,
30
SHIFT
DRG
1
=
1.178097425．
因此， 67°30′≈1.178 rad．
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
解：（1）因为67°30′=（ ）°，
135
2
所以67°30′= rad× = πrad
π
180
135
2
3
8
MODE
。 , ,,
例2：将3.14 rad换算成角度（用角度表示，精确
到0.001）.
解：利用计算器
MODE
MODE
1
3.14
SHIFT
DRG
2
=
179.9087477．
因此，3.14 rad≈179.909°．
1．今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，而只写该角所对应的弧度数．
如角α=2，表示α是2 rad的角．
2．角度制与弧度制可以自由互换，但在同一个代数式中不能同时使用两种制度：
×
注意
sin 就表示 rad的角的正弦，即
π
3
π
3
π
3
sin =sin60°=
√3
2
如30°+
π
4
1．填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：
60°
90°
180°
270°
-240 °
-108°
-15°
弧度
360°
150°
135°
120°
45°
30°
0°
度
π
2
π
3
π
3π
2
2π
5π
6
3π
4
2π
3
π
4
π
6
0
π
8
-
π
15
-
-3π
7π
4
-
弧度
-540°
-315°
-22.5°
-12°
度
4π
3
-
3π
5
-
π
12
-
角的集合与实数集之间的一一对应关系：
正角
零角
负角
正实数
零
负实数
实数集R
任意角的集合
2．用弧度制表示终边在坐标轴上的角的集合
__________________________________________.
解：终边在x轴上的角的集合是
终边在y轴上的角的集合是
所以，终边在坐标轴上的角的集合是
S1={β|β=kπ，k∈Z}．
S2={β|β=kπ+ ，k∈Z}．
π
2
S={β|β= ，k∈Z}．
kπ
2
例3：利用弧度证明下面关于扇形的公式：
S= lR= αR2．
1
2
1
2
其中R是半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S为扇形面积.
证明：由公式|α|= 可得：
l
r
l=αR．
α
O
R
l
l=
nπR
180
由于半径为R ，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是
S=
nπR2
360
将n°转化为弧度，得：
α=
nπ
180
于是：
1
2
S= αR2
将l=αR代入上式，可得：
1
2
S= lR
S= lR= αR2．
1
2
1
2
所以关于扇形的公式有：
α
O
R
l
3．已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．
∴
或
∴
解：设扇形中心角的弧度数为α（0<α<2π），弧长为l，半径为r，由题意：
l+2r =10
l · r =6
1
2
r2-5r+6=0
r =2
l =6
r =3
l =4
α= =3或
r
l
4
3
α
O
r
l
例4：CCTV每晚的新闻联播从开始到结束，时针与分针分别走了多少弧度？当新闻联播结束时，时针与分针此时所夹的劣弧所对的圆心角的弧度数是多少？
因此，在30分钟内时针走的弧度是 ，分针走的弧度是π．当新闻联播结束时，时针与分针此时所夹的劣弧所对的圆心角的弧度数是 ．
π
12
π
6
π
12
+ =
π
4
解： CCTV每晚的新闻联播是从7点开始播到7点半，一共30分钟．由于钟面被平均分成12大格，所以时针或分针每走一大格所对应的弧度是 ．
2π
12
中央1台每天的焦点访谈在每晚7点多播出，播出时时针与分针重合，你知道焦点访谈何时播出吗？
解：7点时，时针指向7，分针指向12，此时时针与分针的夹角为 ，当分针走到与时针重合时，分针要比时针多走 ．设焦点访谈在7点t分播出，则有
7π
6
7π
6
2πt
60
= ÷12+
2πt
60
7π
6
解得 t≈38
答：焦点访谈大约在7点38分播出．
度量长度的单位有哪些？
米
尺
码
度量重量的单位有哪些？
千克
斤
磅
角的度量单位是什么？
度，且1度等于周角的
360
1
还有度量角的单位吗？
1°=60′=3600″
弧度制：
把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian)的角．用符号rad表示，读作弧度．
当圆的半径增大时，圆心角会增大吗？
不会，增大半径只会使圆面积增大；
而角的大小只与弧长与半径的比值的大小有关．
360°
180°
0
-π
-2
2r
1
r
逆时针方向
2πr
逆时针方向
πr
∠AOB的度数
∠AOB的弧度数
OB旋转的方向
AB的长
⌒
如下图，半径为r的圆的圆心与原点重合，角α的始边与x轴的正半
轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B．请在右边的表格中填空.
x
O
y
α
A
B
逆时针方向
逆时针方向
逆时针方向
顺时针方向
顺时针方向
未旋转
πr
2πr
πr
0
2π
π
π
2π
180°
360°
57.3°
-114.6°
-180°
0°
你从表格里找到什么规律啦？
1．一般地，正角的弧度数是一个______数； 负角的弧度数是一个______数；零角的弧度数是_____.
正
负
0
2．如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|=________
l
r
3．角度制与弧度制的换算公式：
180°=π rad
1°= rad≈0.01745rad
π
180
1 rad=（ ）°≈57.30°=57°18′
180
π
例1：按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（2）利用计算器有
MODE
2
67
。 , ,,
30
SHIFT
DRG
1
=
1.178097425．
因此， 67°30′≈1.178 rad．
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
解：（1）因为67°30′=（ ）°，
135
2
所以67°30′= rad× = πrad
π
180
135
2
3
8
MODE
。 , ,,
例2：将3.14 rad换算成角度（用角度表示，精确
到0.001）.
解：利用计算器
MODE
MODE
1
3.14
SHIFT
DRG
2
=
179.9087477．
因此，3.14 rad≈179.909°．
1．今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，而只写该角所对应的弧度数．
如角α=2，表示α是2 rad的角．
2．角度制与弧度制可以自由互换，但在同一个代数式中不能同时使用两种制度：
×
注意
sin 就表示 rad的角的正弦，即
π
3
π
3
π
3
sin =sin60°=
√3
2
如30°+
π
4
1．填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：
60°
90°
180°
270°
-240 °
-108°
-15°
弧度
360°
150°
135°
120°
45°
30°
0°
度
π
2
π
3
π
3π
2
2π
5π
6
3π
4
2π
3
π
4
π
6
0
π
8
-
π
15
-
-3π
7π
4
-
弧度
-540°
-315°
-22.5°
-12°
度
4π
3
-
3π
5
-
π
12
-
角的集合与实数集之间的一一对应关系：
正角
零角
负角
正实数
零
负实数
实数集R
任意角的集合
2．用弧度制表示终边在坐标轴上的角的集合
__________________________________________.
解：终边在x轴上的角的集合是
终边在y轴上的角的集合是
所以，终边在坐标轴上的角的集合是
S1={β|β=kπ，k∈Z}．
S2={β|β=kπ+ ，k∈Z}．
π
2
S={β|β= ，k∈Z}．
kπ
2
例3：利用弧度证明下面关于扇形的公式：
S= lR= αR2．
1
2
1
2
其中R是半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S为扇形面积.
证明：由公式|α|= 可得：
l
r
l=αR．
α
O
R
l
l=
nπR
180
由于半径为R ，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是
S=
nπR2
360
将n°转化为弧度，得：
α=
nπ
180
于是：
1
2
S= αR2
将l=αR代入上式，可得：
1
2
S= lR
S= lR= αR2．
1
2
1
2
所以关于扇形的公式有：
α
O
R
l
3．已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．
∴
或
∴
解：设扇形中心角的弧度数为α（0<α<2π），弧长为l，半径为r，由题意：
l+2r =10
l · r =6
1
2
r2-5r+6=0
r =2
l =6
r =3
l =4
α= =3或
r
l
4
3
α
O
r
l
例4：CCTV每晚的新闻联播从开始到结束，时针与分针分别走了多少弧度？当新闻联播结束时，时针与分针此时所夹的劣弧所对的圆心角的弧度数是多少？
因此，在30分钟内时针走的弧度是 ，分针走的弧度是π．当新闻联播结束时，时针与分针此时所夹的劣弧所对的圆心角的弧度数是 ．
π
12
π
6
π
12
+ =
π
4
解： CCTV每晚的新闻联播是从7点开始播到7点半，一共30分钟．由于钟面被平均分成12大格，所以时针或分针每走一大格所对应的弧度是 ．
2π
12
中央1台每天的焦点访谈在每晚7点多播出，播出时时针与分针重合，你知道焦点访谈何时播出吗？
解：7点时，时针指向7，分针指向12，此时时针与分针的夹角为 ，当分针走到与时针重合时，分针要比时针多走 ．设焦点访谈在7点t分播出，则有
7π
6
7π
6
2πt
60
= ÷12+
2πt
60
7π
6
解得 t≈38
答：焦点访谈大约在7点38分播出．