1.2.1(1)任意角的三角函数(一)

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名称 1.2.1(1)任意角的三角函数(一)
格式 rar
文件大小 5.2MB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2011-01-24 13:48:00

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文档简介

(共21张PPT)
看图填空
  你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗
α
b
a
sinα=_________
cosα=_________
tanα=_________
a2+b2

b
a2+b2

a
ba
  想一想:对于确定的α,这三个比值会随P点在α的终边上的位置的改变而比值改变吗?
b
r
a
r
b
a
x
O
y
M
P(a,b)
α
r
sinα=________;
cosα=________;
tanα=________.

  设锐角α与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,且在它的终边上任取一点P(a,b)(除原点),则点P与原点的距离r = a2+b2>0.
  取r=1,得到用直角坐标系内点的坐标表示的三角函数:
x
O
y
M
P(a,b)
α
1
sinα=________;
cosα=________;
tanα=________;
b
a
b
a
  在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆(unit circle).
  当α为任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么
注意:当α的终边在y轴上时,正切函数有意义吗?
  (1)y叫做α的正弦(sine),记作sinα,即sinα=y;
  (2)x叫做α的余弦(cosine),记作cosα,即cosα=x;
  (3) 叫做α的正切(tangent),
记作tanα,即tanα= (x≠0).
y
x
y
x
x
O
y
A(1,0)
P(x,y)
α
例1:求  的正弦、余弦和正切值.

3
sin =

3
√3
2
-
cos =

3
1
2
tan =-√3

3
  解:在直角坐标系中,作∠AOB= (如下图).易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为( , ).所以,

3
√3
2
-
1
2

3
x
O
y
A
B
0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
弧度
sin
cos
tan
填表
0
π
6
π
3
π
4
π
2

3

6

4

2
π

0
0
1
√3
2
√3
1
2
1
2
√2
2
√3
2
1
0
0
0
0
0
0
√3
2
√2
2
1
2
-1
√2
2
√3
3
1
2
-
√2
2
-
√3
2
-
-1
1
1
√3
-
不存在
不存在
-1
√3
3
-
  例2:已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.
  分析:如下图,由△OMP∽△OM0P0,可求出相应的三角函数值.
x
O
y
M
P(x,y)
M0
P0 (-3,-4)
解:由已知可得:
OP0=√(-3)2+(-4)2=5
  如图,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、P0做x轴的垂线MP、M0P0,则
你从这里发现了什么?
也可用角终边上任意一点的坐标来定义三角函数.
|M0P0|=4,|MP|=-y,
|OM0|=3,|OM|=-x ,
△OMP∽△OM0P0
于是,
sinα= y = = = =-
y
1
-|MP|
|OP|
|M0P0|
|OP0|
4
5
-
cosα= x= = = =-
x
1
-|OM|
|OP|
|OM0|
|OP0|
3
5
-
tanα= = =
y
x
sinα
cosα
4
3
可以用终边上任意一点的坐标来求三角函值,
  1.已知角 的终边经过P(-3a, 4a),(a 0)
求2sin +cos -tan 的值.
解:依题意得:x=4a,y=-3a,
(1)当a>0时,角α是第四象限角,则
∴ r=√x2+y2=√(4a)2+(-3a)2=5|a|
sinα= = =
y
r
4a
5a
4
5
cosα= = -
x
r
3
5
tanα= = -
y
x
4
3
∴ 2sinα+cosα-tanα=
7
3
(2)当a<0时,角α是第二象限角,则
  1.已知角 的终边经过P(-3a, 4a),(a 0)
求2sin +cos -tan 的值.
sinα= =- =-
y
r
4a
5a
4
5
cosα= =
x
r
3
5
tanα= = -
y
x
4
3
∴ 2sinα+cosα-tanα=
7
3
解:依题意得:x=4a,y=-3a,
∴ r=√x2+y2=√(4a)2+(-3a)2=5|a|
  将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表.
三角函数 定义域
sinα
cosα
tanα
π
2
{x|x∈R,且x≠kπ+ ,k∈Z}
R
R
  将正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号填入下图中.
O
x
y
sinα
+
( )
( )
( )
O
x
y
cosα
( )
( )
( )
( )
O
x
y
tanα
( )
( )
( )
( )
-
+
-
-
-
+
-
+
+
-
+
  根据sinα、cosα、tanα在四个象限的值为正的情况,我们把它简记为:全STC.
x
O
y
  在第一象限,三种函数的值全都为正
  在第二象限,只有sinα的值为正
  在第三象限,只有tanα的值为正
  在第四象限,只有cosα的值为正
  例3:求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三象限角.
sinθ<0, ①
tanθ>0. ②
  证明:我们证明如果①②式都成立,那么θ为第三象限角.
  因为①式sinθ<0成立,所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合;
  又因为②式tanθ>0成立,所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.
  例3:求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三象限角.
  因为①、②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限,于是角θ为第三象限角.
  你能自己试着证明反过来的情形吗?
sinθ<0, ①
tanθ>0. ②
  你知道吗,三角函数有“周而复始”的变化规律.
  作用:把求任意角的三角函数值转化为求0到2π角的三角函数值.
公式一说明终边相同的角的同一三角函数的值相等.
sin(α+k·2π)=sinα;
cos(α+k·2π)=cosα;
tan(α+k·2π)=tanα;
其中k∈Z.
公式一:
  例4:确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
(1)cos250°;
(2)sin( );
-
π
4
(3)tan(-672°);
(4)tan3π.
解:
(1)因为250°是第三象限角,所以
cos250°<0
  分析:要判断三角函数值的符号,只需看它是第几象限角.
  (3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以
tan(-672°)>0
  (4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ,而π的终边在x轴上,所以
tan3π=0
sin( )<0
-
π
4
(2)因为 是第四象限角,所以
-
π
4
请同学们自己完成用计算器验证的过程.
已知( )sin2θ <1,则θ为第几象限角?
1
2
由 ( )sin2θ <1,有sin2θ>0.
1
2
故 2kπ<2θ<2kπ+π (k∈Z).
解:
所以θ为第一象限或第三象限角.
即 kπ<θπ
2