1.2.1(1)任意角的三角函数（一）

(共21张PPT)
看图填空
　　你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗
α
b
a
sinα＝_________
cosα＝_________
tanα＝_________
a2＋b2
√
b
a2＋b2
√
a
ba
　　想一想：对于确定的α，这三个比值会随P点在α的终边上的位置的改变而比值改变吗？
b
r
a
r
b
a
x
O
y
M
P(a,b)
α
r
sinα=________;
cosα=________;
tanα=________．
√
　　设锐角α与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，且在它的终边上任取一点P(a，b)（除原点），则点P与原点的距离r =　a2+b2＞0．
　　取r=1，得到用直角坐标系内点的坐标表示的三角函数：
x
O
y
M
P(a,b)
α
1
sinα=________;
cosα=________;
tanα=________;
b
a
b
a
　　在直角坐标系中，我们称以原点Ｏ为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆（unit circle）．
　　当α为任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么
注意：当α的终边在y轴上时，正切函数有意义吗？
　　（1）y叫做α的正弦（sine），记作sinα，即sinα=y；
　　（2）x叫做α的余弦（cosine），记作cosα，即cosα=x；
　　（3） 叫做α的正切(tangent)，
记作tanα，即tanα= （x≠0）．
y
x
y
x
x
O
y
A(1,0)
P(x,y)
α
例1：求　 的正弦、余弦和正切值．
5π
3
sin =
5π
3
√3
2
-
cos =
5π
3
1
2
tan =-√3
5π
3
　　解：在直角坐标系中，作∠AOB= （如下图）．易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为（ ， ）．所以，
5π
3
√3
2
-
1
2
5π
3
x
O
y
A
B
0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
弧度
sin
cos
tan
填表
0
π
6
π
3
π
4
π
2
2π
3
5π
6
3π
4
3π
2
π
2π
0
0
1
√3
2
√3
1
2
1
2
√2
2
√3
2
1
0
0
0
0
0
0
√3
2
√2
2
1
2
-1
√2
2
√3
3
1
2
-
√2
2
-
√3
2
-
-1
1
1
√3
-
不存在
不存在
-1
√3
3
-
　　例2：已知角α的终边经过点P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值．
　　分析：如下图，由△OMP∽△OM0P0，可求出相应的三角函数值．
x
O
y
M
P(x,y)
M0
P0 (-3,-4)
解：由已知可得：
OP0=√（-3）2+（-4）2=5
　　如图，设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）．分别过点P、P0做x轴的垂线MP、M0P0，则
你从这里发现了什么？
也可用角终边上任意一点的坐标来定义三角函数．
|M0P0|=4，|MP|=-y，
|OM0|=3，|OM|=-x ，
△OMP∽△OM0P0
于是，
sinα= y = = = =-
y
1
-|MP|
|OP|
|M0P0|
|OP0|
4
5
-
cosα= x= = = =-
x
1
-|OM|
|OP|
|OM0|
|OP0|
3
5
-
tanα= = =
y
x
sinα
cosα
4
3
可以用终边上任意一点的坐标来求三角函值，
　　1．已知角 的终边经过P(-3a， 4a)，(a 0)
求2sin +cos -tan 的值.
解：依题意得：x=4a，y=-3a，
（1）当a>0时，角α是第四象限角，则
∴ r=√x2+y2=√（4a）2+（-3a）2=5|a|
sinα= = =
y
r
4a
5a
4
5
cosα= = -
x
r
3
5
tanα= = -
y
x
4
3
∴ 2sinα+cosα-tanα=
7
3
（2）当a<0时，角α是第二象限角，则
　　1．已知角 的终边经过P(-3a， 4a)，(a 0)
求2sin +cos -tan 的值.
sinα= =- =-
y
r
4a
5a
4
5
cosα= =
x
r
3
5
tanα= = -
y
x
4
3
∴ 2sinα+cosα-tanα=
7
3
解：依题意得：x=4a，y=-3a，
∴ r=√x2+y2=√（4a）2+（-3a）2=5|a|
　　将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表．
三角函数 定义域
sinα
cosα
tanα
π
2
{x|x∈R，且x≠kπ+ ，k∈Z}
R
R
　　将正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号填入下图中．
O
x
y
sinα
+
（ ）
（ ）
（ ）
O
x
y
cosα
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
O
x
y
tanα
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
-
+
-
-
-
+
-
+
+
-
+
　　根据sinα、cosα、tanα在四个象限的值为正的情况，我们把它简记为：全STC．
x
O
y
　　在第一象限，三种函数的值全都为正
　　在第二象限，只有sinα的值为正
　　在第三象限，只有tanα的值为正
　　在第四象限，只有cosα的值为正
　　例3：求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角．
sinθ＜0， ①
tanθ＞0． ②
　　证明：我们证明如果①②式都成立，那么θ为第三象限角．
　　因为①式sinθ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合；
　　又因为②式tanθ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．
　　例3：求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角．
　　因为①、②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限，于是角θ为第三象限角．
　　你能自己试着证明反过来的情形吗？
sinθ＜0， ①
tanθ＞0． ②
　　你知道吗，三角函数有“周而复始”的变化规律．
　　作用：把求任意角的三角函数值转化为求0到2π角的三角函数值.
公式一说明终边相同的角的同一三角函数的值相等.
sin(α+k·2π)=sinα；
cos(α+k·2π)=cosα；
tan(α+k·2π)=tanα；
其中k∈Z．
公式一：
　　例4：确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：
（1）cos250°；
（2）sin（ ）；
-
π
4
（3）tan（-672°）；
（4）tan3π．
解：
（1）因为250°是第三象限角，所以
cos250°＜0
　　分析：要判断三角函数值的符号，只需看它是第几象限角．
　　（3）因为tan（-672°）=tan（48°-2×360°）=tan48°，而48°是第一象限角，所以
tan（-672°）＞0
　　（4）因为tan3π=tan（π+2π）=tanπ，而π的终边在x轴上，所以
tan3π=0
sin（ ）＜0
-
π
4
（2）因为 是第四象限角，所以
-
π
4
请同学们自己完成用计算器验证的过程．
已知(　)sin2θ <1，则θ为第几象限角？
1
2
由 (　)sin2θ <1，有sin2θ>0．
1
2
故 2kπ<2θ<2kπ+π (k∈Z)．
解：
所以θ为第一象限或第三象限角．
即 kπ<θπ
2