1.4.3 正切函数的性质与图象

(共14张PPT)
　　你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象及性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？
根据诱导公式填空：
所以，正切函数是周期函数，且周期是______．
所以，正切函数是_______函数．
奇
　 1．tan（π+x）=______，x∈R，x≠ +kπ，k∈Z．
π
2
tanx
π
　 2．tan（-x）=______，x∈R，x≠ +kπ，k∈Z．
π
2
-tanx
　　例　求函数y=tan（ x+　 ）的定义域、周期和单调区间．
π
2
π
3
解：函数的自变量x应满足
π
2
π
3
x+ ≠kπ+ ，k∈Z，
π
2
即
x≠2k+ ，k∈Z．
1
3
所以，函数的定义域是{x| }．
x≠2k+ ，k∈Z
1
3
因此函数的周期为2．
由于
　　f（x）=tan（ x+　 ）=tan（ x+ +π）
π
2
π
3
π
2
π
3
=tan[ （x+2）+ ]=f（x+2），
π
2
π
3
归纳：
形如函数y=Atan（ωx+ψ）的周期为 ．
π
|ω|
由
π
2
- +kπ＜ x+ ＜ +kπ，k∈Z解得
π
2
π
3
π
2
5
3
- +2k＜x＜ +2k，k∈Z．
1
3
因此，函数的单调递增区间是
5
3
（- +2k， +2k），k∈Z．
1
3
　　1．观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围：
（1）tanx＞0；
（2）tanx=0；
（3）tanx＜0．
π
2
π
1
y
O
x
-1
3π
2
π
2
-
-π
3π
2
-
-2π
5π
2
-
π
2
π
1
y
O
x
-1
3π
2
π
2
-
-π
3π
2
-
-2π
5π
2
-
解：根据图象可知：
（1）tanx＞0时，{x|kπ＜x＜ +kπ，k∈Z};
π
2
（2）tanx=0时，{x|x=kπ，k∈Z};
π
2
（3）tanx＜0时，{x|- +kπ＜x＜kπ，k∈Z}．
　　2．设函数 f（x）（x∈R）是以2为最小正周期的周期函数，且x∈[0，2]时f（x）=（x-1）2．求f（3），
f（ ）的值．
7
2
　　解：由于f（x）以2为最小正周期，所以对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）．于是：
f（3）=f（1+2）=f（1）=（1-1）2 =0．
f（ ）=f（ +2）=f（ ）=（ -1）2 = ．
7
2
3
2
3
2
3
2
1
4
(1)函数y=tanx是增函数. （ ）
(2)能使tanx=0的x值是x=kπ，k∈Z．（ ）
3．判断：
　　 错，正切函数在定义域上不具有单调性，只在
　　　　　　　　　　　 的每一个单调区间上是增函数．
(- +kπ， +kπ)，k∈Z
π
2
π
2
×
√
　　对，因为正切函数的周期是π，而tanπ=0，所以能使tanx=0的x值是x=kπ，k∈Z．
(3)tan（ ）＞tan（ ）．（　 ）
13π
4
-
17π
5
-
√
　　对，利用诱导公式可将两个角转到同一单调区间上，从而可判断它们的正切值的大小．
4．填空
使y＞1成立的x的集合是____________________________．
R
π
2
单调区间是_____________________________，
图象的对称中心是________________，
图象被直线____________________所隔开，
使y=1的x的取值集合是______________________，
　　函数 的定义域是_________________________，值域是___，周期是___．
y=-tan（2x- ）
3π
4
x∈R，x≠ + ，k∈Z
kπ2
π
8
( + ， + )，k∈Z
kπ2
π
8
kπ2
5π
8
（ + ，0）
kπ2
3π
8
x= + ，k∈Z
kπ2
π
8
{x|x= + ，k∈Z}
π
4
kπ2
kπ2
{x| + ＜x＜ + ，k∈Z}
π
4
kπ2
5π8
　　2．当x∈（-π，π）时，原函数图象与直线y=4至少有2008个交点，求ω的取值范围．
已知函数 y=2tan(ωx+ )， (ω≠0) ．
π
6
1．当ω=- 时，求函数的单调区间；
π
3
参考答案：
(1) 函数的单调区间是(-1+3k，2+3k)，k∈Z；
(2) ω的取值范围是ω≥1004．
　　足球比赛时，有一种战术 “底传中”．即由边路球员带球从底线突破再把球传给中路球员．请你说说这种战术的优点．