1.6.1 三角函数模型的简单应用

课件21张PPT。　　如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述．　　自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化．　　而生活中的很多事情都具有周期性，这节我们将通过生活中的具体实例，说明三角函数模型的简单应用．　　例1　如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．　　（1）求这一天6~14时的最大温差；　　（2）写出这段曲线的函数解析式．解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是20℃．　　（2）从图中可以看出，从6~14时的图象是函数y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期的图象，所以综上，所求解析式为　　例2　如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．　　如果在北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？　　分析：根据图可知，太阳高度角θ、楼高h0于此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：　　根据地理知识，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长．因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况．h0=h tanθ．　　解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点．要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为-23°26′，依题意两楼的间距应补小于MC．　　根据太阳高度角的定义，有∠C=90°-|40°-(-23°26′)|= 26°34′，所以　　所以在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距．　　例3　海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：　　（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001）．　　分析：观察问题中所给出的数据可知，水深的变化具有周期性．根据表中的数据作出散点图如左图．从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画，其中x是时间，y是水深．根据数据可以具体确定的值．　　解：以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图．根据图象，可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：A=2.5，h=5，T=12，φ=0；　　所以这个港口的水深与时间的关系可用　　（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？　　解：货船需要的安全水深为4+1.5=5.5（米），所以当y≥5.5时就可以进港．令通过计算器计算可得解得　　xA≈0.3848，　　xB≈5.6152．　　因此，货船可以再0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．由函数的周期性易得：　xC≈12+0.3848=12.3848，xD≈12+5.6152=17. 6152．　　（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？　　解：设在时刻x货船的安全水深为y，那么y=5.5-0.3（x-2）（x≥2）．在同一坐标系内作出这两个函数的图象．　　由图可以看出，在6~7时之间两个函数图象有一个交点．　　6.5时的水深约为4.2米，此时货船的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而货船的安全水深约为约为4米．因此为了安全，货船最好在6.5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．　　在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；　　解：乙点的位置将移至它关于x轴的对称点乙2处．乙2　　2．电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一周播出一次．请查阅当地的电视节目预告，统计不同栏目的播出周期．　　1．我们知道，以原点为圆心，r为半径的圆的方程是x2+y2=r2 ．那么表示什么曲线？(其中r是正常数，θ在 [0，2π]内变化)　　2．在直角坐标系中，表示什么曲线？(其中a、b、r是常数，且r为正数，θ在 [0，2π]内变化)