2.3.1-2 平面向量基本定理、正交分解及坐标表示
文档属性
| 名称 | 2.3.1-2 平面向量基本定理、正交分解及坐标表示 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 6.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-01-25 09:22:00 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
思考：给定平面内任意两个向量e1，e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2．
平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？
设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系．
e1
e2
a
C
a
A
e1
e1
e2
a
O
N
M
B
e2
N
M
即a=λ1e1+λ2e2．
由图可知，
OC=OM+ON=λ1OA+λ2OB
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使
a=λ1e1+λ2e2．
我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（base）．
不共线向量有不同方向，它们的位置关系可以用夹角来表示．关于向量的夹角，规定：
O
a
b
B
A
θ
当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b ．
已知两个非零向量a和b．如图，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角．
例1 已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2.
e1
e2
3e2
-2.5e1
O
A
B
C
2.作平行四边形AOBC．
作法:1.如图，任取一点O，作OA=-2.5e1，OB=3e2．
OC就是求作的向量．
M
O
C
N
a
（1）一组平面向量的基底有多少对？
（有无数对）
思考
E
F
A
N
B
M
a
O
C
M
E
N
M
O
C
N
a
E
F
（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1、λ2是否相同？
（可以不同，也可以相同）
A
B
OC=OF+OE
OC=2OA+OE
OC=2OB+ON
N
E
特别的，若a=0，则有且只有：
λ1=λ2=0
可使 0=λ1e1+λ2e2．
若λ1与λ2中只有一个为零，情况会是怎样？
特别的，若a与e1（e2）共线，则有λ2=0（λ1=0），使得：a=λ1e1+λ2e2．
如图，光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2．也就是说，重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2．G=F1+F2叫做把重力G分解．
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2．
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得
a=xi+yj．
①
O
x
y
i
j
a
a=（x，y），
②
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．
显然，i=（1，0），
j=（0，1），
0=（0，0）．
这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作
O
x
y
i
j
a
如图，在直角坐标平面中，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由向量a唯一确定．
O
x
y
i
j
a
a
x
y
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x，y）就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标（x，y）也就是向量OA的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示．
d
a
x
i
O
y
j
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-3
-4
-5
A
A1
A2
c
b
解：由图可知，
同理，
例2 如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标．
a=AA1+AA2=2i+3j，
∴ a=（2，3）．
b=-2i+3j=（-2，3）；
c=-2i-3j=（-2，-3）；
d=2i-3j=（2，-3）．
练习
请大家在图中确一组基底，将其它向量用这组基底表示出来．
A
N
M
C
D
B
已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC，M、N分别是DC，AB的中点．
A
N
M
C
D
B
解析：设AB=e1，AD=e2，则有：
DC= AB = e1
1
2
1
2
BC=BD+DC=(AD-AB)+DC=(e2-e1)+ e1=- e1+e2
1
2
1
2
MN=DN-DM=(AN-AD)- DC
1
2
= e1-e2- e1
1
2
1
4
= e1-e2
1
4
思考：给定平面内任意两个向量e1，e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2．
平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？
设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系．
e1
e2
a
C
a
A
e1
e1
e2
a
O
N
M
B
e2
N
M
即a=λ1e1+λ2e2．
由图可知，
OC=OM+ON=λ1OA+λ2OB
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使
a=λ1e1+λ2e2．
我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（base）．
不共线向量有不同方向，它们的位置关系可以用夹角来表示．关于向量的夹角，规定：
O
a
b
B
A
θ
当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b ．
已知两个非零向量a和b．如图，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角．
例1 已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2.
e1
e2
3e2
-2.5e1
O
A
B
C
2.作平行四边形AOBC．
作法:1.如图，任取一点O，作OA=-2.5e1，OB=3e2．
OC就是求作的向量．
M
O
C
N
a
（1）一组平面向量的基底有多少对？
（有无数对）
思考
E
F
A
N
B
M
a
O
C
M
E
N
M
O
C
N
a
E
F
（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1、λ2是否相同？
（可以不同，也可以相同）
A
B
OC=OF+OE
OC=2OA+OE
OC=2OB+ON
N
E
特别的，若a=0，则有且只有：
λ1=λ2=0
可使 0=λ1e1+λ2e2．
若λ1与λ2中只有一个为零，情况会是怎样？
特别的，若a与e1（e2）共线，则有λ2=0（λ1=0），使得：a=λ1e1+λ2e2．
如图，光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2．也就是说，重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2．G=F1+F2叫做把重力G分解．
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2．
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得
a=xi+yj．
①
O
x
y
i
j
a
a=（x，y），
②
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．
显然，i=（1，0），
j=（0，1），
0=（0，0）．
这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作
O
x
y
i
j
a
如图，在直角坐标平面中，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由向量a唯一确定．
O
x
y
i
j
a
a
x
y
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x，y）就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标（x，y）也就是向量OA的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示．
d
a
x
i
O
y
j
1
2
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-5
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-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-3
-4
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A
A1
A2
c
b
解：由图可知，
同理，
例2 如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标．
a=AA1+AA2=2i+3j，
∴ a=（2，3）．
b=-2i+3j=（-2，3）；
c=-2i-3j=（-2，-3）；
d=2i-3j=（2，-3）．
练习
请大家在图中确一组基底，将其它向量用这组基底表示出来．
A
N
M
C
D
B
已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC，M、N分别是DC，AB的中点．
A
N
M
C
D
B
解析：设AB=e1，AD=e2，则有：
DC= AB = e1
1
2
1
2
BC=BD+DC=(AD-AB)+DC=(e2-e1)+ e1=- e1+e2
1
2
1
2
MN=DN-DM=(AN-AD)- DC
1
2
= e1-e2- e1
1
2
1
4
= e1-e2
1
4