2.5.1 平面几何中的向量方法
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课件18张PPT。 因为有了运算，向量的力量无限，如果不能运算，向量只是示意方向的路标． 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题． 例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型．如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ 猜想：长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ 类比猜想：平行四边形有相似关系吗？ 分析：不妨设 则 解： 1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
3) 把运算结果“翻译”成几何元素．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：可简单的表述为：[形到向量] —— [向量的运算] —— [向量和数到形] 例2：如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？猜想：
AR＝RT＝TC解：第一步：[形到向量]第二步：[向量的运算]第三步：[向量和数到形]故AT＝RT＝TC．已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线；
求证：AD、BE、CF交于一点．证明：如图AD、BE相交于点G，联结DE．已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线；
求证：AD、BE、CF交于一点．因此C、G、F三点在同一直线上．所以，AD、BE、CF交于一点． 已知△ABC的三个顶点A(x1，y2)，B(x1，y2)， C(x1，y2)，则重心G的坐标为____________________．解：设原点为O，则用向量法证明：三角形三条高线交于一点．证明：设H是高线BE、CF的交点，所以，三角形三条高线交于一点．解：设P(x，y)，R(x1，y1) 所以，点P的轨迹方程为 y＝2x．即x1＝-2x+3，y1＝-2y代入直线l的方程得 y＝2x．(2) 证明A、O、E三点在同一直线上，且有参考答案：
四边形ABCD为矩形．
2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
3) 把运算结果“翻译”成几何元素．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：可简单的表述为：[形到向量] —— [向量的运算] —— [向量和数到形] 例2：如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？猜想：
AR＝RT＝TC解：第一步：[形到向量]第二步：[向量的运算]第三步：[向量和数到形]故AT＝RT＝TC．已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线；
求证：AD、BE、CF交于一点．证明：如图AD、BE相交于点G，联结DE．已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线；
求证：AD、BE、CF交于一点．因此C、G、F三点在同一直线上．所以，AD、BE、CF交于一点． 已知△ABC的三个顶点A(x1，y2)，B(x1，y2)， C(x1，y2)，则重心G的坐标为____________________．解：设原点为O，则用向量法证明：三角形三条高线交于一点．证明：设H是高线BE、CF的交点，所以，三角形三条高线交于一点．解：设P(x，y)，R(x1，y1) 所以，点P的轨迹方程为 y＝2x．即x1＝-2x+3，y1＝-2y代入直线l的方程得 y＝2x．(2) 证明A、O、E三点在同一直线上，且有参考答案：
四边形ABCD为矩形．