3.1.1 两角差的余弦公式

(共15张PPT)
　　请思考：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上．如图所示，小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°．求这座电视发射塔的高度．
A
B
C
D
30
67
45°
α
　　探究：如何用任意角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢？
　　你认为公式会是cos(α-β)=cosα-cosβ吗？
怎样联系单位圆上的三角函数线来探索公式？
怎样联系向量的数量积去探索公式？
对于任意角α、β都有
cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ
(C(α－β) )
　　此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α－β的余弦值之间的关系．称为差角的余弦公式．记作：C(α－β) ．
分析：怎样把15°表示成两个特殊角的差？
变式：求sin75°的值.
例1：利用差角余弦公式求cos15°的值．
解：cos15°=cos(45°-30°)
=cos45°cos30°+sin45°sin30°
√
3
2
1
2
√
6
4
√
2
+
√
2
2
=　 ×　　+　 ×　=
√
2
2
　　分析：由C(α-β)和本题的条件，要计算cos(α-β)，还应求什么？
cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ
已知
已知
应求
应求
例2：已知sinα＝ ，α∈( ， )，cosβ= - , β是第三象限角，求cos(α-β)的值．
5
4
2

13
5
例2：已知sinα＝ ，α∈( ， )，cosβ= - , β是第三象限角，求cos(α-β)的值．
5
4
2

13
5
解：由sinα＝ ，α∈( ， )，得
5
4
2

√
cosα=- 1-sin2α=-　1-(　)2 =-
5
4
5
3
√
又由cosβ=- ，β是第三象限的角，得
13
5
√
sinβ=- 1-cos2β=-　1-(　)2 =-
√
13
5
13
12
所以cos(α-β)= cosβcosα+sinβsinα
=(-　)×(-　)+　×(-　) = -
5
4
5
4
13
5
13
5
65
33
　
　　思考：如果去掉这个条件，对结果和求解过程会有什么影响？
1．利用公式C(α-β)证明：
(2) cos(2 -α)=cosα．
(1) cos(　-α)=sinα;
2

证明：(1)左边=cos　 cosα + sin　sinα
2

2

=0× cosα +1×sinα
=sinα=右边
(2)左边=cos2 cosα + sin2 sinα
=1× cosα +0×sinα
=cosα=右边
　　2．已知cosα=- ，α∈( ， )，求cos(　-α)的值．
5
3
2

4

4

4

原式=cos　 cosα + sin　sinα
√
sinα= 1-cos2α=　1-(-　)2 =
5
3
5
4
√
解：由cosα=- ，α∈( ， )，得
5
3
2

4
5
√
2
2
=　 ×(-　)+　 ×　=
√
2
2
5
3
√
2
10
　　3．已知sinθ=　 ，θ是第二象限角，求cos(θ-　)的值．
17
15
3

3

3

原式=cosθ cos　 + sinθsin　
解：由sinθ=　 ，θ是第二象限角，得
17
15
√
cosθ=- 1-sin2θ=-　1-(　 )2 =-
√
17
15
17
8
√
3
2
1
2
34
√
3
-8+15
=- 　×　+　 ×　 =
17
8
17
15
原式=cosβcosα + sinβsinα
　　4．已知sinα=-　 ，α∈( ，　)，cosβ=　 ， β∈(　 ，2 )，求cos(β-α)的值．
3
2
2
3
4
3
2
3
解：由sinα=-　 ，α∈( ，　)，得
3
2
2
3
√
cosα=- 1-sin2α=-　1-(-　)2 =-
3
2
√
√
5
3
　　由cosβ=　 ， β∈(　 ，2 )，得
4
3
2
3
√
sinβ=- 1-cos2β=-　1-(　)2 =-
4
3
√
√
7
4
12
=　×(-　 )+(-　 )×(-　)=
√
5
3
4
3
√
7
4
3
2
√
5
√
7
-3　 +2
　　思考题：已知α，β均为锐角，且α<β，cosα=　，cos(α-β)=　 　，求cosβ的值．
5
3
√
3 10
10
＝cosαcos(α-β)+ sinαsin(α-β)
cosβ＝cos[α- (α-β)]．
解：cosα=　，sin(α-β)＝　　．
√
10
10
5
4
√
10
50
13
＝