3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

课件21张PPT。对于任意角α、β都有cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ　　思考：由公式C(α-β)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？　　比较cos(α-β)与cos(α+β)，并注意到α+β与α-β之间的联系：α+β= α-(-β)cos(α+β)= cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=cosαcosβ-sinαsinβ于是我们得到了两角和的余弦公式，简记为C(α+β)由公式C(α-β)，有　　因此，两角和与差有如下的余弦公式，简记作C(α+β)、C(α-β) ．cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ(C(α+β) )(C(α-β) )(1) 同名积(2) 符号相反(3) 角的顺序：αβ αβ两角和与差的余弦公式特征：　　探究：我们得到了两角和与差的余弦公式，我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的转化．你能根据C(α+β)、C(α-β)及诱导公式五（或六） ，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值来表示sin(α-β)与sin(α+β)的公式吗？sin(α-β)=sin(α+β)=sinαcosβ-cosαsinβsinαcosβ+cosαsinβ　　因此，两角和与差有如下的正弦公式，简记作S(α+β)、S(α-β) ．(1) 异名积(2) 符号相同(3) 角的顺序：αβ αβ两角和与差的正弦公式特征：sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ(S(α+β) )(S(α-β) )　　探究：你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从C(α±β)、S(α±β)出发 ，推导出用任意角α，β的正切值来表示tan(α-β)与tan(α+β)的公式吗？(T(α+β) ) (T(α-β) )S(α+β)，C(α+β)，T(α+β) 叫做和角公式；S(α-β)，C(α-β) ，T(α-β)叫做差角公式．　　这六个三角函数公式具有紧密的逻辑关系，其联系如下图框图所示：S(α+β)C(α+β) T(α+β)C(α-β) S(α-β)T(α-β)相除相除于是有　　例4：利用和(差)角公式计算下列各式的值：　　分析：和角与差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，我们就可以将上述三角函数式化简．(1) sin72°cos42°-cos72°sin42°；(2) cos20°cos70°-sin20°sin70°；　　例4：利用和(差)角公式计算下列各式的值：(1) sin72°cos42°-cos72°sin42°；(2) cos20°cos70°-sin20°sin70°； sin72°cos42°-cos72°sin42°解：(1) 由公式S(α-β)，可得=sin(72°-42°)=sin30°=0.5　　例4：利用和(差)角公式计算下列各式的值：(1) sin72°cos42°-cos72°sin42°；(2) cos20°cos70°-sin20°sin70°；解： cos20°cos70°-sin20°sin70°(2) 由公式C(α+β)，可得=cos(20°+70°)=cos90°=0　　例4：利用和(差)角公式计算下列各式的值：(1) sin72°cos42°-cos72°sin42°；(2) cos20°cos70°-sin20°sin70°；解：(3) 由公式T(α+β)及tan45°=1，可得　　1：利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1) sin15°；(2) cos75°；(3)sin75°；(4) tan15°．解：(1) sin15°=sin(45°-30°)= sin45°cos30°-cos45°sin30°(2) cos75°=cos(45°+30°)= cos45°cos30°-sin45°sin30°　　1：利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1) sin15°；(2) cos75°；(3)sin75°；(4) tan15°．解：(3) sin75°=sin(45°+30°)= sin45°cos30°+cos45°sin30°(4) tan15°=tan(45°-30°)解：＝-2解：f (x)= 2asin(2x+β)(2) a=1；