3.2.1(1) 简单的三角恒等变换（一）

(共19张PPT)
三角函数的和（差）公式
sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ
tanα+tanβ
1　tanαtanβ
tan(α+β)=
-
tanα-tanβ
1　tanαtanβ
tan(α-β)=
+
cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ
sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ
三角函数的倍角公式
sin2α=2 sinαcosα
cos2α= cos2α-sin2α
2tanα
1-tan2α
tan2α=
= 2cos2α-1
= 1-2sin2α
　　 α与　 有什么样的关系？
2
α
　　例1：试以cosα表示sin2　，cos2　，tan2　．
2
α
2
α
2
α
sin2　＝
2
α
1-cosα
2
sin　＝±
2
α
√
1-cosα
2
cos2　＝
2
α
1+cosα
2
tan2　＝
2
α
1-cosα
1+cosα
cos　＝±
2
α
√
1-cosα
2
tan　＝±
2
α
√
1-cosα
2
　　以上右边的公式都叫做半角公式．符号由　所在象限决定．
2
α
　　思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
　　代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
　　例2：求证：
(1) sinαcosβ=　[sin(α+β)+sin(α-β)]．
2
1
2
θ+ψ
(2) sinθ+sinψ= 2sin　　　sin　　　．
2
θ-ψ
　　例2：求证：
(1) sinαcosβ=　[sin(α+β)+sin(α-β)]．
2
1
思考：在本题的证明中用到哪些数学思想？
　　本题证明中用到换元思想和方程思想，(1)式是积化和差的形式，(2)式是和差化积的形式．
如果记　sinαcosβ = x，sinαcosβ = y．
则有　x+y=sin(α+β) ，x-y=sin(α-β)．
只要解上述方程组，就可以求出x，y．
2
θ+ψ
(2) sinθ+sinψ= 2sin　　　sin　　　．
2
θ-ψ
1．求证：tan　＝　　　　＝　　　　．
2
α
sinα
1＋cosα
1－cosα
sinα
sinα
1＋cosα
1－cosα
sinα
证明：由于sinα=2sin　cos　，
2
α
2
α
=
2
α
tan
=
=
2
α
2
α
2sin　 cos
2
α
2cos2　 －1
1＋
2
α
cos
sin
2
α
=
2
α
tan
=
=
2
α
cos
sin
2
α
2
α
2
α
2sin　 cos
1-2sin2
2
α
1－( 　　　　)
　　所以有tan　＝　　　　＝　　　　．
2
α
sinα
1＋cosα
1－cosα
sinα
2
α
2
α
　cos=2cos2　－1＝1-2sin2　．
2．求证：
(1) cosαsinβ=　[sin(α+β)-sin(α-β)]．
2
1
(2) cosαcosβ=　[cos(α+β)+cos(α-β)]．
2
1
(3) sinαsinβ=　[cos(α+β)-cos(α-β)]．
2
1
sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ
证明：
得　sin(α+β) -sin(α-β)= 2cosαsinβ
所以有
　 cosαsinβ=　[sin(α+β)-sin(α-β)]．
2
1
(1)由三角函数的和(差)公式
2．求证：
(1) cosαsinβ=　[sin(α+β)-sin(α-β)]．
2
1
(2) cosαcosβ=　[cos(α+β)+cos(α-β)]．
2
1
(3) sinαsinβ=　[cos(α+β)-cos(α-β)]．
2
1
证明：
得　cos(α+β) +cos(α-β)= 2cosαcosβ
所以有
(2)由三角函数的和(差)公式
cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ
　 cosαcosβ=　[cos(α+β)+cos(α-β)]．
2
1
2．求证：
(1) cosαsinβ=　[sin(α+β)-sin(α-β)]．
2
1
(2) cosαcosβ=　[cos(α+β)+cos(α-β)]．
2
1
(3) sinαsinβ=　[cos(α+β)-cos(α-β)]．
2
1
证明：
得　cos(α+β) -cos(α-β)= 2sinαsinβ
所以有
(3)由三角函数的和(差)公式
cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ
　 sinαsinβ=　[cos(α+β)-cos(α-β)]．
2
1
3．求证：
2
θ+ψ
(1) sinθ-sinψ= 2cos　　　sin　　　．
2
θ-ψ
2
θ+ψ
(3) cosθ-cosψ= -2sin　　　sin　　　．
2
θ-ψ
2
θ+ψ
(2) cosθ+cosψ= 2cos　　　cos　　　．
2
θ-ψ
证明：
(1)由三角函数的和(差)公式可得
sin(α+β) -sin(α-β)= 2cosαsinβ
设α+β=θ，α-β=ψ
则θ=　　　，ψ =
2
θ+ψ
2
θ-ψ
所以
2
θ+ψ
　 sinθ-sinψ= 2cos　　　sin　　　．
2
θ-ψ
3．求证：
2
θ+ψ
(1) sinθ-sinψ= 2cos　　　sin　　　．
2
θ-ψ
2
θ+ψ
(3) cosθ-cosψ= -2sin　　　sin　　　．
2
θ-ψ
2
θ+ψ
(2) cosθ+cosψ= 2cos　　　cos　　　．
2
θ-ψ
证明：
(2)由三角函数的和(差)公式可得
设α+β=θ，α-β=ψ
则θ=　　　，ψ =
2
θ+ψ
2
θ-ψ
所以
cos(α+β) +cos(α-β)= 2cosαcosβ
2
θ+ψ
　 cosθ+cosψ= 2cos　　　cos　　　．
2
θ-ψ
3．求证：
2
θ+ψ
(1) sinθ-sinψ= 2cos　　　sin　　　．
2
θ-ψ
2
θ+ψ
(3) cosθ-cosψ= -2sin　　　sin　　　．
2
θ-ψ
2
θ+ψ
(2) cosθ+cosψ= 2cos　　　cos　　　．
2
θ-ψ
证明：
(3)由三角函数的和(差)公式可得
设α+β=θ，α-β=ψ
则θ=　　　，ψ =
2
θ+ψ
2
θ-ψ
所以
2
θ+ψ
　 cosθ-cosψ= -2sin　　　sin　　　．
2
θ-ψ
cos(α+β) -cos(α-β)= 2sinαsinβ
4．求证：3+cos4α- 4cos2α=8sin4α.
左边=3+2cos2 2α-1- 4cos2α
=2cos2 2α- 4cos2α+2
=2(cos 2α-1) 2
=2(1-2sin2α-1) 2
=8sin4α=右边
证明：
5．化简: 2sinx(sinx+cosx).
解：原式 = 2sin2x+2sinxcosx
= sin2x-(1-2sin2x )+1
= sin2x-cos2x+1
=　 sin2xcos45°-cos2xsin45°+1
√
2
=　 sin(2x-45°)+1
√
2
=　 sin2x·　　-cos2x·　　+1
√
2
2
√
2
√
2
2
数学名言
　　中国是建立早期数学科学的先驱者．——史密斯
　　我们目前虽然有了一些值得称道的成绩，但总的说来，同世界先进水平相比，还有较大的差距，我们应该不懈地努力．——苏步青
　　我们的希望是在二十一世纪看到中国成为数学大国．——陈省身
　　数学是科学的大门合钥匙．——陈省身