3.2.1(2) 简单的三角恒等变换（二）

(共16张PPT)
　　求函数y=2sin(3x+　 )的周期，最大值及单调区间.
4

　　解：T＝　 ＝　
ω
2
3
2
由A＝2 ，所以ymax=2．
　　函数y=2sin(3x+　 )在区间[-　+　　,　+ 　]上是增函数，在区间[　+　　，　+　　]上是减函数．
4

3
2k
4

3
2k
12

12

3
2k
12
5
3
2k
　　例3：求函数 y =sinx +　 cosx 的周期，最大值和最小值．
√
3
　　分析：利用三角函数恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.
　　解：y=sinx+　 cosx
√
3
2
1
√
3
2
=2(　sinx+　 cosx )
3
π
=2(sinx cos　+cosx sin　)
3
π
3
π
=2sin(x+　)
所以，所求周期为2π，最大值为2，最小值为-2.
求此函数的单调区间.
　　例3：求函数 y =sinx +　 cosx 的周期，最大值和最小值．
√
3
　　分析：利用三角函数恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.
　　解：y=sinx+　 cosx
√
3
2
1
√
3
2
=2(　sinx+　 cosx )
3
π
=2(sinx cos　+cosx sin　)
3
π
3
π
=2sin(x+　)
　　当x∈[0，　]时，求此函数的最大值和最小值.
2
π
所以，所求周期为2π，最大值为2，最小值为-2.
　　1．求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的周期，最大值和最小值．
　　解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x-1+1
=sin2x+cos2x+2
√
2
=　 (　 sin2x+　 cos2x)+2
√
2
2
√
2
2
√
2
=　 sin(2x+　 )+2
4

所以周期为π，最大值为2+　 ，最小值为2-　 ．
√
2
√
2
　　2．函数y=3sinx-4cosx，则函数y的最大值是______，最小值为_______．
5
-5
则y=3sinx-4cosx
解：
32+42
√
=5
=5(　sinx-　 cosx)
5
4
5
3
设sinω=　 ，cosω=
5
4
5
3
所以y=5sin(x-ω)
　　抓住角度之间的联系，通过拆角、凑角等途径，进行角度之间的转换
　　3．设函数y=acosx+b(a，b是常数)的最大值为1，最小值为-7，则acosx+bsinx的最小值为_____．
-5
　　解：a=4，b=-3．
则acosx+bsinx=4cosx-3sinx
=5(　cosx-　 sinx)
5
4
5
3
设sinω=　 ，cosω=
5
3
5
4
所以原式=5sin(x-ω)
　　4．函数f (x)=3sinxcosx-4cos2x的最大值是____．
0.5
　　解：f (x)=3sinxcosx-4cos2x
=1.5(2sinxcosx)-2(2cos2x-1)-2
=1.5sin2x-2cos2x-2
=2.5sin(2x-ω)-2
其中sinω=　 ，cosω=
5
3
5
4
　　5．函数y=asinx+bcosx (a，b∈R，a2+b2≠0)，则函数y的最大值是________，最小值为_________．
a2+b2
√
a2+b2
√
-
解：
y=acosx+bsinx
所以 y=　　　sin(x＋ω)
a2+b2
√
=　　　(　　　 cosx+　 　　 sinx)
a2+b2
√
a
a2+b2
√
b
a2+b2
√
设sinω=　 　　 ，cosω=
b
a2+b2
√
a
a2+b2
√
　　6．求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值：
　　(1) y=sin2xcos2x；
　　(2) y=2cos2　+1；
2
x
　　(3) y=　3 cos4x+sin4x；
√
解：
(1) y =　sin4x，所以最小正周期为　，
2
1
2
π
最大值为　．
2
1
递增区间为[-　＋　 ，　＋　 ] (k∈Z)；
8
π
2
kπ
2
kπ
8
π
　　6．求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值：
　　(1) y=sin2xcos2x；
　　(2) y=2cos2　+1；
2
x
　　(3) y=　3 cos4x+sin4x；
√
解：
递增区间为[π＋2kπ，2π＋2kπ] (k∈Z)；
(2) y =cosx+2，所以最小正周期为2π，
最大值为3．
　　6．求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值：
　　(1) y=sin2xcos2x；
　　(2) y=2cos2　+1；
2
x
　　(3) y=　3 cos4x+sin4x；
√
解：
最大值为2．
递增区间为[-　 ＋　 ，　 ＋　 ] (k∈Z)；
24
5π
2
kπ
2
kπ
24
π
(3) y =2sin(4x+　)，所以最小正周期为　，
2
π
3
π
　　四边形ABCD是一个边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，其余部分都是平地，P是弧TS上一点，现有一位开发商在平地上建造一个两边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR．求长方形停车场PQCR面积的
最大值与最小值．
A
B
C
D
M
T
P
Q
R
S
解：PM=APsinα，AM=APcosα．
所以 S=(100-90sinα)(100-90cosα)
=10000-9000(sinα+cosα) +8100sinαcosα)
令sinα+cosα=t，则sinαcosα=(t2-1)÷2
S=10000-9000t +4050t2 -4050
由于0°≤α≤90°，
=4050(t -　 )2＋950
9
10
当t =　 时，S有小值950；
9
10
所以1≤t≤　2
√
√
当t =　2 时，S有大值(14050-9000　2 )；
√
　　所以长方形面积S的最大值(14050-9000　2 )，最小值950．
√
　　如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积S最大值？
D
A
B
O
C
　　解：当A，D两点与O的距离都是　 a时，可以使矩形ABCD的面积S最大值．
√
2
2