勾股定理期末复习讲义
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勾股定理期末复习讲义
提要：本节内容的重点是勾股定理及其应用．勾股定理是解几何中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大，它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用．
本节内容的难点是勾股定理的证明．勾股定理的证明方法有多种，课本是通过构造图形，利用面积相等来证明的这里还涉及到了解决几何问题的方法之一：面积法。割补（……陌生的名词么，但是我们用过）的思想也要值得我们去注意．
【知识结构】
1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．……由这句话你能联想到那些东西？
2．勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
……这个定理有什么用？
3．勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
……你记得几组勾股数？
显然，若(a，b，c)为一组基本勾股数，则(ka，kb，kc)也为勾股数，其中k为正整数．……如果熟练这个结论是不是能提高解题速度呢
4. 利用尺规画出长度是无理数的线段.……最简单的就是画了，知道画吧
5. 勾股定理及其逆定理的应用.……蚂蚁怎样走最近
【注意】
1.勾股定理的证明，是利用图形的割补变化，通过有关面积的数量关系进行证明的方法．
2．在应用勾股定理时，要注意在直角三角形的前提条件，分清直角三角形的直角边和斜边.
3. 在应用勾股定理逆定理时，先要确定最长边，再计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，最后确定三角形是不是直角三角形.
4. 本章关联的知识点：实数的运算，三角形，四边形，图形变换，解方程等
【基础训练A】
1.三角形三边之比分别为①1：2：3，②3：4：5；③1.5：2：2.5，④4：5：6，其中可以构成直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（ ）
A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13 D．4：6：7
3．下面四组数中是勾股数的有（ ）
（1）1.5，2.5，2 （2），，2
（3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4. △ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=______，b=_______．
5. 在△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=6，则另一边BC=________，面积为______， AB边上的高为________；
6. 如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．
7. 如图，已知CD=3m，AD=4m， ∠ADC=90°， AB=13m，BC=12m，
（1）求AC边的长。
（2）△ABC是什么样的三角形？为什么？
（3）求阴影部分的面积。
8. 如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积．
【综合训练B】
1. 一个直角三角形的三边从小到大依次为x，16，20，则x=_______；
2. 若一个矩形的长为5和12，则它的对角线长为_______．
3. 三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为______．
4. 已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______．
5. 若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为_______．
6. 测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是________．
7. 矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm．
8. 一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里
9. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是__________．
10. 等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______．
11. 有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是_________cm
12. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是_______．
13. 一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
14. 如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（ ）
A． B． C． D．
15. 如图所示，A、B、C均为正方形，B、C的面积分别为64、180，则A的面积为
16. 某农户有一块如图所示的土地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m。你能帮该农户计算这块土地的面积吗？
在△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=6，则另一边BC=________，面积为______， AB边上的高为________；
【想一想】小强家有一块三角形的菜地，量得两边长分别为13m，16m，第三边上的高为12m，请你计算这块菜地的面积。
17. 如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于
18. 如图所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？
19. 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
20.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
( http: / / )
21.如图，圆柱高为8cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从A点爬到B点吃食物，则蚂蚁的最短行程是（ ）（本题中的π取3）
A．20 B．10 C．14 D．无法确定
22.如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b.利用这个图试说明勾股定理
23.如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A、3：4 B、5：8 C、9：16 D、1：2
看看其他的面积怎么求？是不是还能联想到第三章旋转与平移，第五章位置的确定里面我们也有见过类似的东东？
【一刻钟自测】
1、 一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是 。
2、 三角形的两边长分别是6和8，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长可以是
3、 △ABC的三边之比是1∶1∶，则△ABC是 __________三角形
4、 已知一个直角三角形的两条直角边分别为5cm、12cm，那么这个直角三角形斜边上的高为____
5、 如图将一根长24cm的筷子，置于底面直径为8cm，高为15cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是h cm，则h的取值范围是________
6、 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在
BC边的点F处，如果AB=8cm， BC=10cm，求EC的长．
第6题图
第7题图
14题图
第16题图
第15题图
第19题图
第18题图
第17题图
C
第22题图
第21题图
第20题图
图4
图1
图2
图3
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勾股定理期末复习讲义
提要：本节内容的重点是勾股定理及其应用．勾股定理是解几何中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大，它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用．
本节内容的难点是勾股定理的证明．勾股定理的证明方法有多种，课本是通过构造图形，利用面积相等来证明的这里还涉及到了解决几何问题的方法之一：面积法。割补（……陌生的名词么，但是我们用过）的思想也要值得我们去注意．
【知识结构】
1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．……由这句话你能联想到那些东西？
2．勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
……这个定理有什么用？
3．勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
……你记得几组勾股数？
显然，若(a，b，c)为一组基本勾股数，则(ka，kb，kc)也为勾股数，其中k为正整数．……如果熟练这个结论是不是能提高解题速度呢
4. 利用尺规画出长度是无理数的线段.……最简单的就是画了，知道画吧
5. 勾股定理及其逆定理的应用.……蚂蚁怎样走最近
【注意】
1.勾股定理的证明，是利用图形的割补变化，通过有关面积的数量关系进行证明的方法．
2．在应用勾股定理时，要注意在直角三角形的前提条件，分清直角三角形的直角边和斜边.
3. 在应用勾股定理逆定理时，先要确定最长边，再计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，最后确定三角形是不是直角三角形.
4. 本章关联的知识点：实数的运算，三角形，四边形，图形变换，解方程等
【基础训练A】
1.三角形三边之比分别为①1：2：3，②3：4：5；③1.5：2：2.5，④4：5：6，其中可以构成直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（ ）
A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13 D．4：6：7
3．下面四组数中是勾股数的有（ ）
（1）1.5，2.5，2 （2），，2
（3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4. △ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=______，b=_______．
5. 在△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=6，则另一边BC=________，面积为______， AB边上的高为________；
6. 如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．
7. 如图，已知CD=3m，AD=4m， ∠ADC=90°， AB=13m，BC=12m，
（1）求AC边的长。
（2）△ABC是什么样的三角形？为什么？
（3）求阴影部分的面积。
8. 如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积．
【综合训练B】
1. 一个直角三角形的三边从小到大依次为x，16，20，则x=_______；
2. 若一个矩形的长为5和12，则它的对角线长为_______．
3. 三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为______．
4. 已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______．
5. 若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为_______．
6. 测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是________．
7. 矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm．
8. 一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里
9. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是__________．
10. 等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______．
11. 有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是_________cm
12. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是_______．
13. 一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
14. 如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（ ）
A． B． C． D．
15. 如图所示，A、B、C均为正方形，B、C的面积分别为64、180，则A的面积为
16. 某农户有一块如图所示的土地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m。你能帮该农户计算这块土地的面积吗？
在△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=6，则另一边BC=________，面积为______， AB边上的高为________；
【想一想】小强家有一块三角形的菜地，量得两边长分别为13m，16m，第三边上的高为12m，请你计算这块菜地的面积。
17. 如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于
18. 如图所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？
19. 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
20.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
( http: / / )
21.如图，圆柱高为8cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从A点爬到B点吃食物，则蚂蚁的最短行程是（ ）（本题中的π取3）
A．20 B．10 C．14 D．无法确定
22.如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b.利用这个图试说明勾股定理
23.如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A、3：4 B、5：8 C、9：16 D、1：2
看看其他的面积怎么求？是不是还能联想到第三章旋转与平移，第五章位置的确定里面我们也有见过类似的东东？
【一刻钟自测】
1、 一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是 。
2、 三角形的两边长分别是6和8，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长可以是
3、 △ABC的三边之比是1∶1∶，则△ABC是 __________三角形
4、 已知一个直角三角形的两条直角边分别为5cm、12cm，那么这个直角三角形斜边上的高为____
5、 如图将一根长24cm的筷子，置于底面直径为8cm，高为15cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是h cm，则h的取值范围是________
6、 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在
BC边的点F处，如果AB=8cm， BC=10cm，求EC的长．
第6题图
第7题图
14题图
第16题图
第15题图
第19题图
第18题图
第17题图
C
第22题图
第21题图
第20题图
图4
图1
图2
图3
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