(共17张PPT)
早在1671年，两个法国天文学家就测出了地球与月球之间的距离大约为385 400 km.他们是怎样测出两者之间距离的呢？
我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边角关系准确量化的表示呢？
在△ABC中，如果已知∠A所对的边BC长为a，∠B所对的边AC长为b，∠C所对的边AB长为c，下面我们来研究∠A，∠B，∠C，a，b，c之间有怎样的数量关系.
在Rt△ABC中：
sinA= ，sinB= ，sinC=1= ，
ac
bc
cc
从以上式子我们可以发现：
= = ．
a
sinA
b
sinB
c
sinC
A
C
B
a
c
b
你还记得直角三角形中的边角关系吗？
在锐角三角形中，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有：
CD=asinB，CD=bsinA，
所以 a sinB=b sinA，
得到
= ．
a
sinA
b
sinB
= ．
b
sinB
c
sinC
同理，设边BC上的高是AE，可以得到，
A
D
B
C
a
b
当△ABC是钝角三角形时，前面的等式仍然成立吗？
B
A
C
b
c
a
D
正弦定理（law of sines）：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
= = .
a
sinA
b
sinB
c
sinC
是否可以用其他方法证明正弦定理？
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形（solving triangles）．
（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，可以求出三角形其他的边和角．
运用正弦定理可解决两类三角形问题:
（1）已知三角形的任意两个角与一边，可以求出其他两边和另一角；
例1 在△ABC中，已知A=32.0°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形．
解：根据三角形内角和定理，
=180°-（32.0°+81.8°）
根据正弦定理，
b= = ≈80.1（cm）；
asinB
sinA
42.9sin81.8°
sin32.0°
c= = ≈74.1（cm）．
asinC
sinA
42.9sin66.2°
sin32.0°
C=180°-（A+B）
=66.2°.
解：根据正弦定理，
因为0°＜B＜180°，
sinB= = ≈0.8999 ．
bsinA
a
28sin40°
20
所以B≈64°，或B≈116°．
例2 在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）．
C=180°-（A+B）≈180°-（40°+64°）=76°．
20sin76°
sin40°
c= = ≈30（cm）．
asinC
sinA
（1）当B≈64°时，
C=180°-（A+B）≈180°-（40°+116°） =24°．
20sin24°
sin40°
c= = ≈13（cm）．
asinC
sinA
（2）当B≈116°时，
例2 在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）．
1. 在△ABC中，一定成立的等式是（ ）．
C
D
A. asinA=bsinB
B. acosA=bcosB
D. acosB=bcosA
C. asinB=bsinA
2. 在△ABC 中，若 = = ， 则△ABC是( ) ．
A
2
cos
a
B
2
cos
b
C
2
cos
c
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三有形
3. 在任一△ABC中，求证:
a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0
证明：由于正弦定理：令
代入左边得：
∴ 等式成立．
a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC
左边=k（sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-
sinBsinA+sinCsinA-sinCsinB)
=0
=右边
4.在△ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）．
（1）A=45°，C=30°，c=10cm；
（2）A=60°，B=45°，c=20cm;
（3）A=70°，C=30°，c=20cm;
（4）A=34°，B=56°，c=68cm．
a≈14cm，b≈19cm，B=105°
a≈18cm，b≈15cm，C=75°
a≈38cm，b≈39cm，B≈80°
a≈38cm，b≈56cm，C=90°
5.在△ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）．
（1）a=20cm，b=11cm，B=30°；
（2）c=54cm，b=39cm，C=115°;
（3）a=15cm，b=10cm，A=60°;
（4）b=40cm，c=20cm，C=25°．
A≈65°，C≈85°，c≈22cm；
或A≈115°，C≈35°，c≈13cm
A≈24°，B≈41°，a≈24cm
B≈35°，C≈85°，c≈17cm
A≈97°，B≈58°，a≈47cm；
或A≈33°，B≈122°，a≈26cm
在△ABC中，已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况：
当A为锐角时:
当A为直角或钝角时:
a＜bsinA 无解
a＝bsinA 一解（直角）
bsinA＜a＜b 二解（一锐、一钝）
a≥b 一解（锐角）
a≤b 无解
a＞b 一解（锐角）(共19张PPT)
在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41°，解三角形．
能直接用正弦定理来解吗
如果已知三角形的两边的长BC=a，AC=b，边BC和边AC所夹的角是C，我们要设法找出一个已知的a，b和C与第三条边c之间的一个关系式，或用已知的a，b和C表示第三条边c的一个公式．
=a2+b2-2abcosC ．
所以
c2=a2+b2-2abcosC．
同理可以证明：
a2=b2+c2-2bccosA；
b2=c2+a2-2cacosB．
如右下图，设CB=a，CA=b，AB=c，那么c=a-b，
| c | 2=c·c=（a-b）·（a-b）
=a·a+b·b-2a·b
A
C
B
a
c
b
c2=a2+b2-2abcosC
a2=b2+c2-2bccosA
b2=c2+a2-2cacosB
余弦定理（law of cosines）：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
A
B
C
a
b
c
是否可以用其他方法证明余弦定理？
如右下图，以C为原点，边CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设点B的坐标为（a，0），点A的坐标为（bcosC，bsinC）,根据两点间距离公式：
余弦定理还可以用坐标法证明：
AB=√(bcosC-a)2+(bsinC-0)2 ，
c2=b2cos2C-2abcosC+a2+b2sin2C
整理得：c2=a2+b2-2abcosC.
同理可以证明：
a2=b2+c2-2bccosA，
b2=a2+c2-2accosB．
A (bcosC，bsinC)
B
C
b
x
y
将余弦定理变形，可以得到它的推论：
b2+c2-a2
2bc
cosA=
c2+a2-b2
2ca
cosB=
a2+b2-c2
2ab
cosC=
应用余弦定理及其推论，并结合正弦定理，可以解决以下解三角形的问题：
（1）已知两边和它们的夹角解三角形；
（2）已知三角形的三边解三角形．
余弦定理与勾股定理有什么关系？
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系；
从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．
例1 在△ABC中，已知b=60cm， c=34cm， A=41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）．
解：根据余弦定理，
a2=b2+c2-2bccosA，
=602+342-2×60×34×cos41°
≈3600+1156-4080×0.7547
≈1676.82
a≈41（cm）
所以
例1 在△ABC中，已知b=60cm， c=34cm， A=41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）．
由正弦定理得，
sinC= ≈ ≈ ≈0.5440.
csinA
a
34sin41°
41
34×0.656
41
因为c不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用计算器可得
C≈33°，
B=180°-（A+C）≈180°-（41°+33°）=106°.
解：由余弦定理的推论，得：
b2+c2-a2
2bc
cosA=
87.82+161.72-134.62
2×87.8×161.7
=
≈0.5543
A≈56°20′
例2 在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，c=161.7cm ，解三角形（角度精确到1′）．
例2 在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，c=161.7cm ，解三角形（角度精确到1′）．
134.62+161.72-87.82
2×134.6×161.7
=
≈0.8398
B≈32°53′
c2+a2-b2
2ca
cosB=
C=180°-（A+B）≈180°-（56°20′+32°53′）
=90°47′
思考：应用正弦定理和余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？要求解三角形，是否必须已知三角形一边的长？
1．已知三角形的两边和其中一边所对的角时，应用正弦定理求出另一边所对的角，然后应用三角形内角和定理求第三个角，再用正弦定理求出第三条边；
2．已知三角形的两个角和其中一个角所对的边时，可应用三角形内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出另两条边；
由于已知三角形的三个角不能确定三角形的大小，所以要求解三角形，必须知道三角形一边的长．
3.已知三角形的两边和它们的夹角时，可应用余弦定理求出第三条边，并把问题转化到前面的类型；
4.已知三角形的三边时，可应用余弦定理的推论求出一个角，并把问题转化到前面的类型．
1．在△ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到0.1°，边长精确到0.1cm）．
（1）a=2.7cm，b=3.6cm，C=82.2°；
（2）b=12.9cm，c=15.4cm，A=42.3°;
A=39.6°，B=58.2°，c=4.2cm
B≈55.8°，C≈81.9°，a≈10.5cm
（3）a=7cm，b=10cm，c=6cm；
（4）a=9.4cm，b=15.9cm，c=21.1cm．
A≈43.5°，B≈100.3°，C≈36.2°
A≈24.7°，B≈44.9°，C≈110.4°
2．在△ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm ）．
（3）a=9cm，b=10cm，c=15cm;
（4）a=31cm，c=42cm，c=27cm ．
（1）a=49cm，b=26cm，C=107°;
（2）a=58cm，c=55cm，B=66°;
A≈49°，B≈24°，c≈62cm
A≈59°，C≈55°，c≈62cm
A≈36°，B≈40°，C≈104°
A≈48°，B≈93°，C≈39°
1.根据所给的条件，判断△ABC的形状．
（1）acosB=bcosA
（2）acosA=bcosB
解：
（1）∵ acosB=bcosA
∴ a·（ ）=b·（ ）
a2+c2-b2
2ac
b2+c2-a2
2bc
∴ a2+c2-b2=b2+c2-a2
∴ 2a2=2b2
∴ a=b
∴ △ABC为等腰三角形 ．
∴ a·（ ）=b·（ ）
b2+c2-a2
2bc
a2+c2-b2
2ac
∴ a2c2-a4-b2c2+b4=0
∴ （a2-b2）（c2-a2-b2）=0
∴ △ABC为等腰三角形 或直角三角形．
（2）∵ acosA=bcosB
∴ a2=b2或c2-a2-b2=0
1.根据所给的条件，判断△ABC的形状．
（1）acosB=bcosA
（2）acosA=bcosB
解：
在判断三角形形状时，主要通过三角形边或角之间关系进行判断，将已知条件利用正弦定理统一为角的关系，或用余弦定理统一为边的关系，有时也可以结合两者运用．
2. 在△ABC中，若 ，试判断△ABC的形状．
sinA=
sinB+sinC
cosB+cosC
解：
sinA=
sinB+sinC
cosB+cosC
∵
∴ cosB+cosC=
sinB+sinC
sinA
由正、余弦定理得：
a2+c2-b2
2ac
+ =
b+c
a
a2+b2-c2
2ab
整理得，（b+c）（a2-b2-c2）=0
所以 （a2-b2-c2）=0
∴ △ABC为直角三角形．(共17张PPT)
在浩瀚无垠的海面上，要确保轮船不迷失方向，必须要能测出轮船的航速和航向，你能利用三角形的正弦定理和余弦定理进行测量吗？
例1 如下图，一艘轮船从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少的距离？（角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile）
分析：根据已知条件，可以先求出∠ABC，再用余弦定理算出AC，然后根据正弦定理可以算出∠CAB．
解：在△ABC中，
根据余弦定理，
AC=√AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC
=√67.52+54.02-2×67.5×54.0×cos137°
≈113.15
∠ABC=180°- 75°+ 32°=137°
根据正弦定理，
BC
sin∠CAB
=
AC
sin∠ABC
sin∠CAB=
BCsin∠ABC
AC
54.0sin137°
113.15
=
≈0.3255
所以
∠CAB=19.0°
75°-∠CAB=56.0°
答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile．
例2 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求的大小和建筑物AE的高．
√3
解：由已知可得，在△ACD中，
因为 sin4θ=2sin2θcos2θ
√3
AC=BC=30，AD=DC=10 ，∠ADC =180°-4θ
根据正弦定理，
=
30
sin（180°-4θ）
10√3
sin2θ
所以 30sin2θ=10 ×2sin2θcos2θ
√3
cos2θ=
√3
2
得 2θ=30° θ=15°
在Rt△ADE中，AE=ADsin60°= × =15
10√3
√3
2
答：所求角θ为15°，建筑物高度为15m．
例3 我舰在敌岛A南偏西50°相距12 海里的B处，发现敌舰正由岛北偏西10°的方向以10海里的速度航行．问我舰需以多大速度，沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？
解：如图，在△ABC中由余弦定理得：
A
B
C
50°
10°
BC2=AC2+AB2-2·AB·AC·cos∠BAC
=202+122-2×12×20×cos120°
=784
BC=28
28÷2=14（海里/小时）
在△ABC中，由正弦定理得：
=
AC
sinB
BC
sinA
sinB= =
ACsinA
BC
5√3
14
B≈38.21°
50°-38.21°=11.79°
答：我舰的追击速度为14 海里/小时，舰行的方向为北偏东大约11.79° ．
A
B
C
50°
10°
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
在分析解决具体问题的过程中，关键要分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题．
在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程图可表示为：
数学模型的解
画图形
解三角形
检验（答）
数学模型
实际问题的解
实际问题
1. 如图，3.5m长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2m的地面上，另一端在沿堤上2.8m的地方．求堤对地面的倾斜角α．
α
A
B
C
解：如右图，题目转化为已知△ABC的三条边，求α.
由余弦定理的推论，可得
2.82+1.22-3.52
2×2.8×1.2
=
≈-0.442
∠ACB ≈116.23°
AC2+BC2-AB2
2AC×BC
cos∠ACB=
α =180°-∠ACB≈180°-116.23°≈63.77°
2 . 同步通讯卫星在赤道上空35800 km的轨道上，它每24小时绕地球一周，所以它定位于赤道上某一点的上空．如果此点与北京在同一条子午线上，北京的纬度是北纬39°54′，求在北京观察此卫星的仰角（取地球半径是6400km）？
分析：根据题意，可以画出如下图形
B
C
A
解：在△ABC中，根据余弦定理
B
C
A
AC=√AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC
=√422002+64002-2×42200×6400×cos39°54′
＝37515.44（km）
64002+37515.442-422002
2×6400×37515.44
=
≈-0.6924
∠BAC ≈133.82°
AB2+AC2-BC2
2AB×AC
cos∠BAC=
∠BAC-90°≈43.82°
某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南θ(cosθ= )方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭时间有多少小时？
√2
10
解：设经过t小时台风中心移动到Q点时，台风边沿恰经过O城，
由题意可得：OP=300，PQ=20t，OQ=r(t)=60+10t
√2
10
∵cosθ= ，α=θ-45°，
∴sinθ= ，cosα=
7√2
10
4
5
由余弦定理可得：
OQ2=OP2+PQ2-2·OP·PQ·cosα
∴ t2-36t+288=0，解得t1=12，t2=24，t2-t1=12
答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭时间有12小时．(共18张PPT)
解三角形的知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在数学发展历史上，受到天文测量，航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展，并被应用于解决许多测量问题．今天我们就来研究如何测量不可到达的两点之间的距离．
我们先来复习一下解三角形需用到的相关定理：
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
= = .
a
sinA
b
sinB
c
sinC
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
c2=a2+b2-2abcosC
a2=b2+c2-2bccosA
b2=c2+a2-2cacosB
例1 如下图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离．测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m， ∠BAC=51°，∠ACB=75° ．求点A、B两点间的距离（精确到0.1 m）．
分析：所求的边AB的对角是已知的，又已知三角形的一边AC，根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角，根据正弦定理，可以计算出边AB．
解：根据正弦定理，得
AB
sin∠ACB
= ，
AC
sin∠ABC
AB=
ACsin∠ACB
sin∠ABC
55sin∠ACB
sin∠ABC
=
55sin75°
sin（180°-51°-75°）
=
55sin75°
sin54°
=
≈65.7（m）
答：A、B两点间的距离为65.7米．
例2 如下图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法．
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离．
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
AC= = ，
asin（γ+δ）
sin[180°-（β+γ+δ）]
asin（γ+δ）
sin（β+γ+δ）
BC= = ．
asinγ
sin[180°-（α+β+γ）]
asinγ
sin（α+β+γ）
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB=√AC2+BC2-2AC×BCcosα ．
在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例1中的AC，例2中的CD ．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．
早在1671年，两个法国天文学家就测出了地球与月球之间的距离大约为385 400 km ．他们是怎样测出两者之间距离的呢？
让我们回顾章前问题：
两位法国天文学家利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角，测量计算出α，β的大小和两地之间的距离AB，从而计算出了地球与月球之间的距离约为385400km（如下图） ．我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴的长．随着科学技术的发展，还有一些更加先进与准确的测量距离的方法．
小结 求解三角形应用题的一般步骤是：
1．分析题意，弄清已知和所求；
2．根据提意，画出示意图；
3．将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；
4．正确运用正、余弦定理．
1. 一艘船以32.2 n mile / h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
解：在△ABS中，AB=32.2×0.5=16.1 n mile，
∠ABS=115°，根据正弦定理，
AS
sin∠ABS
= ，
AB
sin（65°-20°）
AS=
ABsin∠ABS
sin（65°-20°）
S到直线AB的距离是
d=AS×sin20°
所以这艘船可以继续沿正北方向航行．
≈7.06（n mile）
√2
=16.1×sin115°× ×sin20°
√2
=16.1×sin115°×
2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构．设计时需要计算油泵顶杆BC的长度，已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与
车厢的支点A之间的距离为1.95m．AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m） ．
C
B
A
60°
6°20′
分析：将原图简化为右下的三角形，则原问题转化为：已知在△ABC中，AB＝1.95m，AC＝1.40m ，
∠CAB＝60°+6°20′=66°20′，
求BC．
解：由余弦定理，得
答：顶杆BC约长1.89m．
BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cosA
=1.952+1.402-2×1.95×1.40×cos66°20′
=3.751
BC≈1.89（m）
3.海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75°，航行 海里后，见此岛在北偏东30°，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险．
20√2
A
B
C
M
北
北
20√2
75°
30°
解：在△ABC中，∠ACB=120°，∠BAC=45°.由正弦定理得：
A
B
C
M
北
北
20√2
75°
30°
=
AB
sin120°
BC
sin45°
∴ 无触礁危险．
AB=
BCsin120°
sin45°
=
sin120°
sin45°
20√2
=
20√3
AM=AB×sin（90°-75°）
≈8.97＞8
= ×sin15°
20√3
如图，河塘两侧有两物A、B，不能直接量得它们间的距离．为此，在河塘边选取C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=90°，CD=80米，试求A、B两物间的距离(精确到0.1米)．
在△ACD中， AD=80√3．
在△BCD中， BD=80(√3+1)．
在△ABD中，AB=√AD2+BD2
提示：
≈258.8(米)．(共18张PPT)
你知道怎样测量底部不可到达的建筑物的高度吗？
例1 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度的方法．
分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高．由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA，并测出由点C观察A的
仰角，就可以计算出建筑物的高．所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长．
解：选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上．由在H，G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a，测角仪器的高是h．那么，在△ACD中，根据正弦定理可得
AC= ，
asinβ
sin（α－β）
AB=AE＋h
=ACsinα＋h
= ＋h．
asinαsinβ
sin（α－β）
例2 如右图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角
β＝50°1′．已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD（精确到1m）．
分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长．
解：在△ABC中，
∠BCA=90°+β，∠ABC=90°-α，∠BAC=α-β， ∠BAD=α．
根据正弦定理，
BC
sin（α-β）
= ，
AB
sin（90°+β）
所以
AB= = ．
BCsin（90°+β）
sin（α-β）
BCcosβ
sin（α-β）
解Rt△ABD，得
把测量数据代入上式，得
BD=ABsin∠BAD
BCcosβsinα
sin（α-β）
=
BD=
27.3cos50°1′sin54°40′
sin（54°40′-50°1′）
≈177（m）
CD=BD-BC≈177-27.3≈150（m）
答：山的高度约为150米．
例3 如下图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD．
解：在△ABC中，∠A=15°，∠C=25°-15°=10°．
BC
sinA
=
AB
sinC
BC= =
ABsinA
sinC
5sin15°
sin10°
根据正弦定理，
≈7.4524（km）
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047（m）
答：山的高度约为1047米．
分析：要测出高CD，只要测出高所在的直角三角形的另一边或斜边的长．
1. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为γ，求证：山高h= .
asinαsin （γ－β）
sin（γ－α）
解：在△ABP中，∠ABP=180°-γ+β，
∠BPA=180°-（α-β）-∠ABP =γ-α
AP=
asin（γ-β）
sin（γ-α）
在△ABP中，根据正弦定理，
AP
sin∠ABP
=
AB
sin∠APB
AP
sin（180°-γ+β）
=
a
sin（γ-α）
所以山高为
asinαsin（γ-β）
sin（γ-α）
h=APsina= ．
A
P
C
Q
α
β
B
a
γ
2. 测山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC =65.3 m，塔顶B的仰角α是25°25′.已知山坡的倾斜角β是17°38′，求井架的高BC.
解：在△ABC中，AC=65.3 m，
AC
sin∠ABC
=
BC
sin ∠BAC
BC= = ≈9.8（m）.
ACsin∠BAC
sin∠ABC
65.3sin7°47′
sin64°35′
根据正弦定理，
答：井架的高约为9.8米.
∠BAC=α-β=25°25′-17°38′=7°47′
∠ABC=90°-α=90°-25°25′=64°35′
A
B
C
D
α
β
海岛O上有一座海拔1000米的山，山顶上设有一个观察站A，上午11时，测得一轮船在岛北60°东C处，俯角30°，11时10分，又测得该船在岛北60°西B处，俯角60°．（1）这船的速度每小时多少千米？（2）如果船的航速不变，它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千米？
解：（1）如图所示，
OB=OA·tan30°= (千米)
√3
3
同理得OC=√3 (千米)
则BC=√OB2+OC2-2OB·OCcos120°
= (千米)
13
3
∴ 船速v= ÷ =2√39(千米/小时)
13
3
10
60
（2）由余弦定理得：
cos∠OBC= =
OB2+BC2-OC2
2OB×BC
5 13
26
√
sin∠EBO=sin∠OBC =
3 39
26
√
cos∠EBO=-
5 13
26
√
再由正弦定理得，
3 39
26
√
OE
1
2
BE
√3
3
13
13
√
=
=
13
13
√
sin∠OEB=sin[180°-(∠EBO+30°)]=
解得OE=1.5(千米)
BE= (千米)
39
6
√
∴ =5(分钟)
BE
v(共18张PPT)
如果只已知三角形的两条边和它们的夹角，你能直接求出三角形的面积吗？
B
A
C
在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么容易证明：
B
A
C
ha
hb
hc
ha=bsinC=csinB，
hb=csinA=asinC，
hc=asinB=bsinA．
根据三角形的面积公式S= ah，应用以上高的公式ha=bsinC，可以推导出下面的三角形的面积公式：
1
2
1
2
S= absinC
同理：
1
2
S= bcsinA
1
2
S= casinB
B
A
C
ha
hb
hc
例7 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）：
（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5°；
（2）已知B=62.7°， C=65.8°，b=3.16cm；
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm， b=27.3cm，c=38.7cm．
解：
1
2
S= ×23.5×14.8×sin148.5°≈90.9（cm2）
1
2
S= casinB
（1）应用 ，得
（2）已知B=62.7°， C=65.8°，b=3.16cm；
根据正弦定理，
=
b
sinB
c
sinC
c=
bsinC
sinB
1
2
S= bcsinA= b2
1
2
sinC sinA
sinB
A=180°-（B+C）=180°-（62.7°+65.8°）
=51.5°
1
2
S= ×3.162× ≈4.0（cm2）
sinC sinA
sinB
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm， b=27.3cm，c=38.7cm．
根据余弦定理的推论，得
1
2
S≈ ×38.7×41.4×0.6384≈511.4（cm2）
c2+a2-b2
2ca
cosB=
38.72+41.42-27.32
2×38.7×41.4
=
≈0.7697
sinB=√1-cos2B≈√1-0.76972≈0.6384
1
2
S= casinB
应用 ，得
例8 如图，在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少 （精确到0.1m2）
解：设a=68m，b=88m，c=127m，根据余弦定理的推论，
1
2
S≈ ×127×68×0.6578≈2840.4（m2）
c2+a2-b2
2ca
cosB=
1272+682-882
2×127×68
=
≈0.7532
1
2
S= casinB
应用 ，得
答：这个区域的面积是2840.4m2．
A
C
B
sinB=√1-cos2B≈√1-0.75322≈0.6578
例9 在△ABC中，求证：
a2+b2
c2
sin2A+sin2B
sin2C
=
（1）
证明：
（1）根据正弦定理，可设
= = =k
a
sinA
b
sinB
c
sinC
显然k≠0，所以
a2+b2
c2
k2sin2A+k2sin2B
k2sin2C
=
左边=
sin2A+sin2B
sin2C
= =右边
（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）
（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）
根据余弦定理的推论，
右边=2（bc +ca +ab ）
c2+a2-b2
2ca
b2+c2-a2
2bc
a2+b2-c2
2ab
=（b2+c2-a2）+（c2+a2-b2）+（a2+b2-c2）
= a2 +b2+c2
= 左边
1．在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.01cm2）：
（1）已知a=18cm，c=25cm，B=48.5°；
（2）已知B=52.8°， C=75.8°，b=16cm；
（3）已知三边的长分别为a=44cm， b=23cm，c=37cm．
S≈168.52cm2
S≈121.75cm2
S≈425.39cm2
2．有一块四边形土地的形状如图1所示，它的三条边的长分别是50m，60m，70m，两个内角是127°和132°，求四边形的面积（精确到0.01m2）．
分析：如图2，连接AC ，可将求四边形的面积转化为求两个三角形的面积．根据余弦定理，可以求出∠DAC和AC，进而求出两个三角形的面积．
50
60
70
127°
132°
图1
C
D
A
B
C
D
A
B
图2
解：连接AC，在△ACD中，根据余弦定理，
AC2=AD2+CD2-2AD×CDcos∠ADC，
=602+702-2×60×70×cos132°
≈14120.7
AC≈118.83（cm）
所以
根据正弦定理，得
sin∠DAC= = ≈0.44
CDsin∠ADC
AC
70sin132°
118.83
所以∠DAC≈26.10°
所以∠BAC≈127°-26.10°=100.90°
50
60
70
127°
132°
C
D
A
B
1
2
= ×60×70×sin132 °
S△ACD=
1
2
AD×CDsin∠ADC
1
2
= ×50× 118.83 ×sin 100.90°≈2917.15（cm2）
S△ABC=
1
2
AB×ACsin∠BAC
2917.15+1560.6=4477.75（cm2）
所以四边形的面积为约4477.75cm2．
≈1560.6（cm2）
50
60
70
127°
132°
C
D
A
B
3．在△ABC中，求证：
a=bcosC+ccosB
b=ccosA+acosC
c=acosB+bcosA
证明：
a=bcosC+ccosB
右边=bcosC+ccosB=
b +c
a2+c2-b2
2ac
a2+b2-c2
2ab
= +
c2+a2-b2
2a
b2+c2-a2
2a
= =a=左边
2a2
2a
类似可以证明另外两个等式，这三个等式被称为射影定理．
海伦和秦九韶
海伦（Heron）是古希腊的数学家，生活在大约一世纪．它的代表作是《度量术》，讨论了平面图形的面积、立体图形的体积以及把图形分成比例部分等问题． 以海伦名字命名的海伦公式解决了由三角形的三边a、b、c直接求三角形面积的问题，公式如下：
S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
这里
p= (a+b+c)
1
2
海伦和秦九韶
秦九韶（约1202-1261）是我国南宋著名数学家，他也发现了与海伦公式等价的从三角形三边长求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积” ．将他的方法写成公式，就是：
S= [c2-a2-（ ）]
1
4
c2+a2-b2
2
2
这个公式虽然和海伦公式的形式不一样，但两者的实质是一样的．“三斜求积”公式填补了我国传统数学的一个空白，从中可以看到我国古代已具有很高的数学水平．
