(共16张PPT)
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如何分配资金呢？
问题1：
实际问题 数学问题
抽象
问题2：
文字语言 符号语言
转化
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如何分配资金呢？
若设用于企业投资为x元，用于个人贷款为y元，则分配资金应该满足的条件为：
x+y≤25000000
12%x+10%y≥30000
x≥0
y≥0
二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式；
（2）二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组；
（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的有序实数对（x，y）构成的集合；
（4）二元一次不等式（组）的解集可以看成是直角坐标系内的点构成的集合．
二元一次不等式（组）的解集表示的图形
一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间．
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
-4≤x≤3
-4
0
3
x
如：不等式组
的解集为数轴上的一个区间
x +4 ≥0
x - 3≤0
二元一次不等式（组）的解集表示的图形
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y < 5的解为坐标的点都在直线x-y = 5的左上方；反过来，直线x-y = 5左上方的点的坐标都满足不等式x-y < 5．
O
x
y
x-y = 5
二元一次不等式（组）的解集表示的图形
二元一次不等式（组）的解集表示的图形
不等式x-y<5表示直线x-y=5左上方的平面区域；
不等式x-y>5表示直线x-y=5右下方的平面区域；
直线叫做这两个区域的边界．
O
x
y
x – y > 5
x – y < 5
x – y = 5
O
x
y
x – y > 5
x – y < 5
x – y = 5
注意：把直线画成虚线以表示区域不包括边界．
二元一次不等式Ax + By + C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域．(虚线表示区域不包括边界直线)
二元一次不等式表示相应直线的某一侧区域．
O
x
y
Ax + By + C = 0
二元一次不等式（组）的解集表示的图形
二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x，y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点(x0，y0)，根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域，C≠0时，常把原点作为特殊点．
直线定界，特殊点定域．
例1：画出不等式 x+4y < 4表示的平面区域
x+4y-4=0
x
y
解：(1)直线定界：先画直线x+4y-4 = 0(画成虚线)
(2)特殊点定域：取原点(0，0)，代入x+4y-4，
因为 0+4×0-4 =-4 < 0
所以，原点在x+4y-4<0表示的平面区域内，不等式x+4y-4<0表示的区域如图所示．
1
4
注意：若不等式不取等号，则边界应画成虚线，否则应画成实线．
1．画出不等式4x-3y≤12表示的平面区域．
x
y
4x-3y-12=0
解：(1)先画直线4x-3y=12(画成实线)．
(2)取原点(0，0)，有4×0-3×0=0<12．
所以，原点在4x-3y≤12表示的平面区域内，不等式4x-3y < 12表示的区域如图所示．
x
y
2．画出不等式x≥1表示的平面区域
解：(1)先画直线x=1(画成实线)．
(2)取原点(0，0)，有0<1．
所以，原点不在x≥1表示的平面区域内，不等式x ≥1表示的区域如图所示．
x=1
3．不等式x-2y+6>0表示的区域在直线x-2y+6 =0的（ ）
(A)右上方 (B)右下方 (C)左上方 (D)左下方
4．不等式3x+2y-6≤0表示的平面区域是（ ）
B
D
5．画下列不等式表示的区域：
(1) x-y＋1＜0； (2) 2x＋3y≥6； (3) 2x+y＞0．
O
x
y
1
-1
左上方
O
x
y
3
2
右上方
x
O
右上方
y
领袖数学家
庞加莱(1854～1912)，法国数学家和物理学家．几乎对所有数学分支都作出重要贡献．他早期研究自同构函数，后成为拓扑学先驱、天文学家、机率学家、哲学家、法兰西学院院士，任法国科学院院长．
庞加莱一生发表论文约500篇、著作约30部，几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物理等的许多重要领域．庞加莱被公认是19世纪后1/4和20世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人．(共18张PPT)
如图，这是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．
你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
a2·b2
√
Rt△ABE，Rt△BCF，Rt△CDG，Rt△ADH是全等三角形，它们的面积是S'=_________．
如图，在正方形ABCD中，AE⊥BE，BF⊥CF，CG⊥DG，DH⊥AH，设AE=a，BE=b，则正方形的面积为S=___________，
a2+b2
2a·b
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
a2·b2
√
从图形中易得到S≥S'，即a2+b2≥2a·b ．
它们在何时相等？
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
a2·b2
√
从图形中易得到S≥S'，即a2+b2≥2a·b ．
一般地，对于任意的实数a和b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
你能给出它的证明吗？
a+b≥2
a·b
√
探究2：如果a>0，b>0，用 和 分别替代a、b，可得到
a
√
b
√
通常我们写作：
a·b
√
a+b
2
≤
能否直接利用不等式的性质，直接推导出这个公式呢？试一试．
探究3：如图，AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a，CB=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连AD，BD，你能利用这个图形，得出不等式
的几何解释吗？
a·b
√
a+b
2
≤
A
B
D
C
E
要证
①
a·b
√
a+b
2
≥
只要证
②
要证②，只要证
③
要证③，只要证
④
a+b≥_______
a+b-_______≥0
a·b
√
2
(____-____)≥0
b
√
a·b
√
2
显然，④是成立的，当且仅当a=b时， ④中的等号成立．
a
√
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
如果把 看作是正数a，b的等差中项， 看作是正数a，b的等比中项，那么定理可以描述为：
a·b
√
a+b
2
在数学中，我们称 为a，b的算术平均数，称
为a，b的几何平均数，那么定理可以描述为：
a+b
2
a·b
√
想一想：基本不等式成立的要素：
（1）看是否均为正数
（2）看不等号的方向
（3）看等号是否能取到
简言之：一正二定三相等
a·b
√
a+b
2
≥
1．已知x、y都是正数，求证： + ≥2．
y
x
x
y
证明：∵x、y都是正数，
y
x
x
y
∴ 、 都是正数．
y
x
x
y
∴ + ≥2
y
x
x
y
∴ + ≥2
y
x
x
y
×
√
2．已知：正数x、y满足2x+y=1．
求证：(1) ≥8；(2) 求 + 的最小值．
1
x
1
y
1
xy
解：(1)∵x、y都是正数，
∴ ≥8．
1
xy
∴ 2x+y=1≥2
2xy
√
(2) + =( + )(2x+y)=2+1+ + ≥3+ ．
y
x
2x
y
1
x
1
y
1
x
1
y
2
2
√
∴ + 的最小值为3+ ．
1
x
1
y
2
2
√
3．已知直角三角形的两条直角边的和等于10cm，求面积最大时斜边的长，最大面积是多少？
解：设两条直角边为a、10-a，则
当且仅当a=10-a，即a=5时，上式取等号．
面积S= a(10-a)≤ [ ]2= ．
a+(10-a)
2
1
2
1
2
1
25
5
2
√
1
25
所以，面积最大时斜边的长为 cm，最大面积是 cm2．
已知a、b为正数，求证：
（1）若 ，则对于任何大于1的正数x，恒有
成立；
（2）若对于任何大于1的正数x，恒有 成立，则 ．
a
√
b
√
+1>
x
x-1
ax+ >b
a
√
b
√
+1>
x
x-1
ax+ >b
证明：
（1） ax+ =a(x-1)+ +1+a≥ +1+a=( +1)2
x
x-1
1
x-1
2
a
√
a
√
∵ (b>0)
a
√
b
√
+1>
∴ ( +1)2>b，即 成立．
a
√
x
x-1
ax+ >b
（2）∵ 对于大于1的实数x恒成立，
x
x-1
ax+ >b
即x>1时，[ ]min>b,
x
x-1
ax+
而 (x-1)+ +1+a≥ +1+a=( +1)2
x
x-1
ax+ =a
1
x-1
2
a
√
a
√
当且仅当a(x-1)= ．即x=1+ >1时取等号．
1
x-1
1
a
√
a
√
x
x-1
ax+
故[ ]min>( +1)2,
a
√
b
√
+1>
a
√
则( +1)2>b，即 .(共19张PPT)
求解一元二次不等式ax2+bx+c>0
(a>0)的程序框图:
开始
____
x1=x2
结束
原不等式的解集为{x|______}
将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)
求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2
方程ax2+bx+c=0没有实数根
△=b2－ac
原不等式解集为R
原不等式的解集为{x|______}(x1
是
否
是
否
△≥0
x< x1或x> x2
x≠-
b
2a
例3：某种汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车速x km/h有如下关系：
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到0.01 km/h）
s＝ x+ x2
1
20
1
180
刹车距离是指汽车刹车后由于
惯性往前滑行的距离．
例4：一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系：
y＝-2x2＋220x．
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是：
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0)
(2)判定△与0的关系，并求出方程ax2+bx+c=0
的实根;
(3)写出不等式的解集.
解： 因为△= 1+24=25>0
方程 2x2+x-3=0 的解是x1=-1.5 , x2=1
故原不等式的解集为{x|x<-1.5或x>1}
1．解不等式2x2+x-3>0
2．解不等式-2x2+3x+5＞0
解：整理，得 2x2-3x-5＜0
因为△= 9+40 = 49＞0
方程 2x2-3x-5=0 的解是x1=2.5，x2=-1
故原不等式的解集为{ x| -1＜x＜2.5}
3．求下列不等式的解集
(1) x2-5x+6<0； (2) 3x2-x-4>0；
(3) 2x2+4x+3>0； （4） 9x2-6x+1≤0
(5) -6x2-x+2<0；
解：
(1) {x|2(2) {x|x<-1或x> }
3
4
(3) {x|x∈R}
(4) {x|x= }
1
3
(5) {x|x<- 或x> }
1
2
2
3
4．解不等式 4(2x2+2x+1)＞x(4-x)．
解：原不等式可化为9x2+4x+4＞0．
∵ △=-128<0，方程9x2+4x+4=0无实数根．
∵ 原不等式的解集为R．
5．解不等式:
( ) ≤( )
1
2
2x2-5x+6
x2+x+6
1
2
解：原不等式可化为:
2x2-5x+6≥x2+x+6
∴x2-6x≥0
故原不等式的解集为{ x| x≥6或x≤0}．
解：由题意得，a<0，且方程ax2+bx+6=0的两根分别为-2和3，
已知不等式ax2+bx+6>0的解集是{x|-2想一想：
- =1
b
a
a < 0
=-6
b
a
所以
a =-1
解得
b = 1
已知不等式x2-2x+k2-1>0解集是R，求实数k的取值范围.
变一变：
解：由题意得△=4-4(k2-1)<0，
即k2>2,
解得k＜-√2或k＞√2．
函数 f (x)=lg(kx2-6kx+k+8)的定义域为R，求k的取值范围．
分析：令u= kx2-6kx+k+8，函数f (x) 的定义域为R
对任意的x，u= kx2-6kx+k+8的值恒大于0
函数u= kx2-6kx+k+8的图象恒在x轴的上方
解：∵ f (x)=lg(kx2-6kx+k+8)的定义域为R，
u
x
O
即△=(6k)2-4k(k+8)
=32k2-32k＜ 0
∴ 0＜k＜1
∴ k ≥ 0
当k=0时，f(x)=lg8 满足条件.
当k>0时，∴只要△＜0
∴f(x)的定义域为R时， k的取值范围为0≤k＜1．
函数 f (x)=lg(kx2-6kx+k+8)的定义域为R，求k的取值范围．
某企业上年度的年利润为200万元，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，投入成本增加的比例为x，现在有甲乙两种方案可供选择，通过市场调查后预测，若选用甲方案，则年利润y万元与投入成本增加的比例x的函数关系式为f(x)=-20x2+60x+200(0解：
f(x)-g(x)=(-20x2+60x+200)- (-30x2+65x+200)
=10x2-5x
由10x2-5x≥0，解得x≥ 或x≤0(舍去)
1
2
所以，当投入成本增加的比例x∈ (0， )时，选择乙方案；当投入成本增加的比例x∈ ( ，1)时，选择甲方案；当投入成本增加的比例x = 时，选择甲或乙方案都可以．
1
2
1
2
1
2(共25张PPT)
5x+4y=20
2x+3y=12
线性目标函数
已知实数x，y满足下列条件:
5x+4y ≤ 20
2x+3y ≤12
x ≥0
y≥0
求z=9x+10y的最大值.
线性约束条件
z的最大值为44
9x+10y=z
20
7
M( ， )
12
7
可行域
最优解
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
O
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
x
y
1
转化
线性约束条件
可行域
转化
线性目标函数
z=Ax+By
一组平行线
y＝- x +
A
B
z
B
转化
最优解
寻找平行线组的纵截距 最值
z
B
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类问题是以什么形式出，其求解的格式与步骤是不变的：(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；(3)在可行域内求目标函数的最优解．
例5：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kg
A 0.105 0.07 0.14
B 0.105 0.14 0.07
分析：将已知数据列成表格
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，则
目标函数为：
z＝28x＋21y
0.105x+0.10y≥0.075
0.07x+0.14y≥0.06
0.14x+0.07y≥0.06
x≥0
y≥0
7x+7y≥5
7x+14y≥6
14x+7y≥6
x≥0
y≥0
x
y
O
7x+7y=5
7x+14y=6
14x+7y=6
M
如图可见，当直线z＝28x＋21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．
是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小．
z
28
把目标函数z＝28x＋21y表示为随z变化的一组平行直线系y=- x+ ．
4
3
z
28
所以zmin=28x+21y=16（元）
z＝28x＋21y
答：需食用食物A约143g，食物B约571g，最低成本16元．
实际问题
线性规划问题
寻找约束条件
建立目标函数
列表
设立变量
转化
1．约束条件要写全;
3．解题格式要规范．
2．作图要准确，计算也要准确；
注意:
例6：某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
规格类型
钢板类型
第一种钢板
第二种钢板
A规格
B规格
C规格
2
1
2
1
3
1
今需要A，B，C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少．
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总张数为z，则
2x+y≥15
x+2y≥18
x+3y≥27
x≥0，y≥0
目标函数：z=x+y
x，y∈N
(x，y∈N)
根据约束条件画可行域．
x
O
y
2x+y=15
x+3y=27
x+2y=18
x+y =0
A(3.6,7.8)
作出直线L：x+y=0
平移L，找交点及交点坐标
x
O
y
2x+y=15
x+3y=27
x+2y=18
x+y =0
A(3.6,7.8)
1．满足哪些条件的解才是最优解
2．目标函数经过A(3.6，7.8)时Z的值是多少 你能否猜测一下Z的最小值可能是多少
3．最优解的几何意义是什么 (最优解可以转化为什么几何意义)
作出直线L：x+y=0
平移L，找交点及交点坐标
x
O
y
2x+y=15
x+3y=27
x+2y=18
B(3,9)
C(4,8)
A(3.6,7.8)
x+y=12
调整优解法
作出直线L：x+y=0
平移L，找交点及交点坐标
当直线L经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解．
作直线x+y=12解得交点B，C的坐标B(3，9)和C(4，8)
直线x+y=12经过的整点是B(3，9)和C(4，8)，它们是最优解.
即先求非整数条件下的最优解，调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小）的整点值，最后筛选出整点最优解．
即先打网格，描出可行域内的整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解．
线性规划求最优整数解的一般方法:
1．平移找解法：
2．调整优解法：
1．最优解不存在，即最优解个数为0，此种情况又包含两种情形：①可行域为空集，②可行域无限扩大，取不到最值．
2．最优解个数只有一个，即最优解唯一，一般在可行域的顶点处取得．
3．最优解个数无穷多．此时，目标函数的斜率与可行域的某一边界所在直线的斜率相等，则可行域内此直线上的所有点都是目标函数取得最值的最优解．
线性规划问题中，一般最优解的个数为以下几种情况：（不包括最优整数解）
例7：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t．现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料．列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
x
y
O
4x + y ≤10
18x +15 y ≤66
x ≥0
y ≥0
目标函数为z＝x＋0.5y，可行域如图：
4x + y =10
18x +15 y =66
解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
x
y
O
由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大．
故生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．
容易求得M点的坐标为
（2，2），则Zmin＝3
M
z＝x＋0.5y
实际问题
列表
设出变量
寻找约束条件
建立目标函数
转化
建模
线性规划问题
图解法
最优解
三个转化
四个步骤
作答
调整
最优整数解
平移找解法
调整优值法
常用方法
目标函数
距离,斜率等
1．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B设备商加工1件甲设备所需工时分别为1h、2h，加工1件乙设备所需工时分别为2h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h ．如何安排生产可使收入最大？
解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，则目标函数为z=3000x+2000y．
当x=200，y=100时，zmax=3000x+2000y=800000(元)．
2．电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80分钟，广告时间为1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间为40分钟，广告时间为1分钟，收视观众20万．已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6分钟广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟．问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率？
解：设每周播放连续剧甲 x 次，播放连续剧乙 y 次，收视率为 z ，则目标函数为 z =60 x+20 y．
当x=2，y=4时，zmax=60x+20y=200(万)．
3．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每吨甲种棉纱的利润是600元，每吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大
300
1
2
一级子棉（吨）
900
600
利润（元）
250
2
1
二级子棉（吨）
资源限额（吨）
乙种棉纱（吨）
甲种棉纱（吨）
消耗量
资源
产品
解：将已知数据列成下表：
设生成甲种棉纱 x 吨，乙种棉纱 y 吨，利润总额为z元，依题意得目标函数为z=600x+900y，
当x= ，y= 时，zmax=130000(元)．
350
3
200
3
某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A，B，C，D和最新发现的维生素E，甲种胶囊每粒含有维生素A，B，C，D，E分别为1mg，1mg，4mg，4mg，5mg；乙种胶囊每粒含有维生素A，B，C，D，E分别为3mg，2mg，1mg，3mg，2mg；如果此人每天摄入维生素A最多19mg，维生素B最多13mg，维生素C最多24mg，维生素D最多12mg，那么他每天应服用两种胶囊多少粒，才能满足维生素的需要量，并能得到最大的维生素E．
解：将已知数据列成下表：
设该人每天服用甲种胶囊 x 粒，乙种胶囊 y 粒，摄入维生素E的含量为z mg，则目标函数为z=5x+2y
最大
≥
≤
≤
≤
维生素需求
2
3
1
3
3
甲种胶囊(/粒)
5
4
4
1
1
甲种胶囊(/粒)
维生素E(mg)
维生素D(mg)
维生素C(mg)
维生素B(mg)
维生素A(mg)
含量
维生素
当x=5，y=4时，zmax=5x+2y=33(mg)．(共19张PPT)
(1) 中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不小于第一宇宙速度，且小于第二宇宙速度．
请你举出生活中的一些不等关系的例子．
(2)《铁路旅行常识》规定：旅客每人免费携带物品——杆状物不超过200cm，重量不得超过20kg．
(3) 我们班的数学成绩高于其他班的成绩．
(1) 右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h .
(2) 中国“神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功．我们知道，它的飞行速度（v）不小于第一宇宙速度（记作v1），且小于第二宇宙速度（记v2）.
(3) 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
40
v1≤v＜v2
0＜v≤40
f≥2.5%，
p≥2.3%.
问题1：设点A与直线a的距离为d，B为直线上的任意一点，则________.
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢
d≤|AB|
（8－ ×0.2）x≥20．
x-2.5
0.1
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
500x＋600y≤4000；
3x≥y ；
x≥0 ；
y≥0 ；
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 > 至多 ≤
小于 < 至少 ≥
大于等于 ≥ 不少于 ≥
小于等于 ≤ 不多于 ≤
文字语言与数学符号之间的转换
实数的运算性质与大小顺序之间的关系
对于任意两个实数a，b，如果a＞b，那么a－b是正数；如a＜b，那么a－b是负数；如果a=b，那么a－b等于0．反过来也对．即
a＞b a－b＞0．
a＝b a－b＝0．
a＜b a－b＜0．
a
b
“作差法”比较两个实数的大小．
“作差法”比较两个实数的大小
用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法.
“作差法”的一般步骤是：
① 作差；
② 变形；
③ 判断符号；
④ 得出结论.
例：已知 a＞b＞0，c＜0，求证：
c
a
c
b
＞
证明：因为 a＞b＞0，所以ab＞0， ＞0 ．
1
ab
1
ab
a× ＞b×
1
ab
1
b
1
a
＞
由c＜0，得
c
a
c
b
＞
即
于是
1．日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加入m克糖，则这杯糖水变甜了，请根据这一事实提炼出一道不等式．
浓度＝
溶质
溶液
a
b
a+m
b+m
＜
解：加糖后的浓度比加糖前的糖水浓度高．
2．某电脑拥护计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少要买3片和2盒，请将购买软件和磁盘所满足的不等关系用不等式表示出来．
解：设购买软件x片，磁盘y盒，则有
x≥3，x∈N；
y≥2， y∈N；
60 x＋70 y≤500．
3．配制A，B两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料3毫克，乙料5毫克，配一剂B种药需甲料5毫克，乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A，B两种药至少各配一剂，则A，B两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来．
解：设A种药x剂，B种药 y剂．
x≥1，x∈N；
y≥1， y∈N；
3 x＋5 y≤20；
5 x＋4 y≤25 ．
4．有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）．
50＜10a+b＜60
b-a=2
a∈N*
b∈N
解：
这个两位数是57．
5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小
作差，与零比较大小
解：(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－ (a2－2a－8)
＝－7＜0
∴ (a＋3)(a－5)＜(a＋2)(a－4)
6．若x1＞2，x2＞2，则x1+x2与x1x2的大小关系是？
解：因为x1＞2，x2＞2
所以x1-2＞0，x2-2＞0，
则 x1x2+4-2x1-2x2＞0
所以2（x1+x2）＜x1x2+4
所以（x1-2）（x2-2）＞0，
又 x1x2＞4
所以2（x1+x2）＜x1x2+4＜2x1x2
所以 x1+x2 ＜x1x2
用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的 (k∈N*)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 ，请从这个事实中提炼出一个不等式组．
4
7
1
k
解：第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是钉长的 ．
4
7
所以，从这个事实中提炼出一个不等式组是：
第二次受击后，该次进入木板部分的长度为 ，在木板部分的铁钉长度为 + ，有 + <1．
4
7k
4
7
4
7k
4
7
4
7k
第三次受击后，该次进入木板部分的长度为 ，在木板部分的铁钉长度为 + + ，有 + + ≥1．
4
7k2
4
7
4
7k
4
7k2
4
7
4
7k
4
7k2
+ + ≥1
+ <1
4
7
4
7k
4
7k2
4
7
4
7k
大哉数学之为用
1959年华罗庚在《人民日报》上发表《大哉数学之为用》，叙述数学的各种应用：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、生物之迷、日用之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献．
联合国教科文组织在1992年发表《里约热内卢宣言》，将2000年定为数学年，并指出“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙”．请记住这句话，不管你将从事自然科学还是社会科学，都要胆力、智慧和勤奋，把人类文明推向新的高峰．(共19张PPT)
画出一次函数 y=2x+3 的图象，回答下列问题
(1)设直线y=2x+3与x轴的交点为（x0 , 0)，那么
x0是方程： 的解．
(2)从图象可以看出不等式 2x+3>0的解集为 ．
不等式 2x+3<0的解集为 ．
2x+3 =0
{x| x>1.5}
{ x | x<1.5}
结论：一次函数 y= ax+b与 x 轴的交点为（x0 ，0 )
(2)由x0 的位置和图象可以写出不等式 ax+b>0的解集．
(1) x0 是方程 ax+b=0的解．
某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元(不足1小时按1小时计算)；公司B的收费原则是：在用户上网的第1小时内(含恰好1小时，下同)收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．
一般来说，一次上网时间不会超过17个小时，所以，不妨假设一次上网时间总小于17小时．那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于或等于选择公司B所需费用？
一元二次不等式的定义：
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．
思考：不等式x2－5x＜0、二次函数y＝x2－5x、一元二次方程x2－5x＝0之间有什么关系？
思考：二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间有什么的关系？
画出一元二次函数 y=x2 –5x 的图象，设其与 x 轴的交点为A(x1 , 0) , B(x2 , 0 ), 回答下列问题：
(1)x1 , x2 为方程： 的解．
(2)根据交点A、B的位置和函数的图象写出
不等式 x2 –5x > 0 的解集为 ；
不等式x2 –5x < 0 的解集为 ．
x2 –5x =0
{ x | x< 0 或 x>5}
{ x | 0 < x < 5 }
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
y=ax2+bx+c
(a＞0)的图象
ax2+bx+c＝0
(a＞0)的根
ax2+bx+c＞0
(a＞0)的解集
ax2+bx+c＜0
(a＞0)的解集
将下表填充完整:
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
y
x
O
x2
x1
y
x
O
x1=x2
y
x
O
{x|x>x2或x{x|x1有两相等实根x1=x2=－
b
2a
φ
没有实数根
φ
R
{x|x≠- }
b
2a
二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
y=ax2+bx+c
(a＞0)的图象
ax2+bx+c＝0
(a＞0)的根
ax2+bx+c＞0
(a＞0)的解集
ax2+bx+c＜0
(a＞0)的解集
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
y
x
O
x2
x1
y
x
O
x1=x2
y
x
O
{x|x>x2或x{x|x1有两相等实根x1=x2=－
b
2a
{x|x≠- }
b
2a
φ
φ
R
没有实数根
另解：因为△= 16-16 =0
方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是
故原不等式的解集为{ x| x ≠ 0.5 }
例1：解不等式4x2-4x +1>0
解:
由于4x2-4x+1=(2x-1)2≥0
x1=x2=0.5
例2：解不等式-x2 + 2x-3>0
解：整理，得 x2 -2x + 3 < 0
因为△= 4-12 = -8 < 0
方程 x2-2x +3 = 0无实数根
所以原不等式的解集为ф．
解下列不等式
1．2x2-3x-2>0
2．-3x2+6x > 2
3．4x2-4x+1>0
4． -x2+2x-3>0
y
x
2
-2
-2
2
解： (1) 2x2-3x-2>0
画出函数y=2x2-3x -2的图象
方程2x2-3x-2=0的解为
x1=-0.5， x2 =2．
则不等式的解集为{x|x<-0.5或x>2}．
y
x
2
-2
-2
2
解： (2) -3x+6x-2>0
画出函数y=-3x2 +6x-2的图象
方程-3x2 +6x-2=0的解为
x1= ， x2= ．
3-
3
3
√
3+
3
3
√
则不等式的解集为{x| 3+
3
3
√
3-
3
3
√
1．2x2-3x-2>0
2．-3x2+6x > 2
3．4x2-4x+1>0
4． -x2+2x-3>0
解下列不等式
y
x
2
-2
-2
2
解： (3) 4x2-4x+1>0
画出函数y=4x2-4x+1的图象
方程4x2-4x+1=0的解为
x1= x2= 0.5．
则不等式的解集为{x|x≠0.5}．
1．2x2-3x-2>0
2．-3x2+6x > 2
3．4x2-4x+1>0
4． -x2+2x-3>0
解下列不等式
y
x
2
-2
-2
2
解： (4) -x2+2x-3>0
画出函数y=-x2 +2x-3的图象
方程-x2 +2x-3=0无实数根
则不等式的解集为{x|x∈R}．
1．2x2-3x-2>0
2．-3x2+6x > 2
3．4x2-4x+1>0
4． -x2+2x-3>0
解下列不等式
解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0．
解：当a=0时，原不等式即2x+4>0，解集为{x|x<2}．
当a≠0时，原不等式变形为(ax-2)(x-2)>0．
②当a>0时，令 =2，则a=1．
2
a
①当a<0时， <2，解集为{x| < x < 2}．
2
a
2
a
当a=1时， =2，原不等式解集为{x|x≠2}．
2
a
当a>1时，2> ，原不等式解集为{x|x>2或x< }．
2
a
2
a
当02，原不等式解集为{x|x> 或x<2}．
2
a
2
a
巴霍姆之死
卖地的酋长出了一个奇怪的地价：出1000卢布，只要日出时从规定的地点出发且日落前返回原出发地，他所走过的线路圈起的土地全部属于他．但是，若他在日落前回不到原出发地，那走得再多也得不到半点土地，同时那1000卢布不退还．巴霍姆接受了这笔买卖．第二天太阳初升，巴霍姆就在草原上大踏步向前走去．他走了10公里，才向左走；走了很久，才向左拐弯．走了2公里后，离原出发地还有15公里时只得改变方向，径直朝出发地拼命跑去．巴霍姆总算在日落前赶回了原地，却因劳累过度，口吐鲜血死了．
巴霍姆走过的路线是一个梯形．
可以画图求得，巴霍姆一共走了39.7公里（梯形周长），所围面积是76.2平方公里．
平面中等周长的n边形中，正n边形所围的面积最大．边长为9公里的正方形，面积可达到81平方公里，周长却只有36公里．并且，平面中一切等周长的封闭图形中，圆所围成的面积最大．半径为5公里的圆，面积是78.5平方公里，周长只有31.4公里．半径为6公里的圆，周长是37.7公里，面积是113.0平方公里，这些都是少走路却多得土地的办法．
巴霍姆如果多懂些数学知识，少一些贪婪，也许他能幸免一死吧！(共23张PPT)
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab，（当且仅当a=b时，等号成立）．
如果a>0，b>0，则：
a·b
√
a+b
2
≤
当且仅当a=b时，等号成立．
几何平均数
算术平均数
例1：（1）用篱笆围一个面积为100 m2矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
分析：矩形菜园的面积是确定的，长和宽没有确定．如果长和宽确定了，篱笆的长也就确定了，因此我们要解决的问题是：当面积确定时，长和宽取什么值时篱笆的长最短？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m．
x·y
√
x+y
2
≥
由
可得
x+y≥2
100
√
2(x+y)≥40
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10．
因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m．
例1：（1）用篱笆围一个面积为100 m2矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值．
探究1：正实数a，b．若积ab是定值P，当且仅当________时，和a+b有最小值为_________．
a=b
2
P
√
试一试: 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？
例1：（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
分析：矩形菜园的周长是确定的，长和宽没有确定．如果长和宽确定了，矩形菜园的面积也就确定了，因此我们要解决的问题是：当周长确定时，长和宽取什么值时篱笆围成的面积最大？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x+y)=36， x+y=18，矩形菜园的面积为xy m2．
由
可得
xy≤81
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=9．
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积是81 m．
xy
√
x+y
2
≤
= =9
18
2
例1：（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
结论2：两个正数和为定值，则积有最大值．
探究2：正实数a，b．若和a+b是定值S，当且仅当________时，积ab有最大值为_________．
a=b
S
2
( )2
试一试：用20 cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折
注意：在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应验证三点：“一正、二定、三相等”后才能取最值．当条件不完全具备时，应创造条件．
例2．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
分析：水池呈长方体
形，它的高是3 m，底面的
长与宽没有确定．如果底面
的长与宽确定了，水池总造
价也就确定了．因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池的总造价最低．
解：设底面的长为x m，宽为y m，水池总造价为z元．根据题意有
z=150×(4800÷3)+120(2×3x+2×3y)．
=240000+720(x+y)
由容积4800m3，可得
3xy=4800
因此
xy=1600
由基本不等式与不等式的性质，可得
即
所以，将水池的地面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．
当x=y，即x=y=40时，等号成立．
240000+720(x+y)≥
240000+720×
2
xy
√
z≥297600
z≥240000+720×
2
1600
√
1．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12 m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高3 m，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？
分析：房屋呈长方体形，它的高是3 m，底面的
长与宽没有确定．如果底面的长与宽确定了，房屋总造价也就确定了．因此我们应当考察底面的长与宽取什么值时房屋的总造价最低．
总造价最低为34600元．
解：设正面的长为x m，侧面的宽为 m，房屋的总造价为y元．根据题意有
12
x
y=1200×3x+800×3× ×2+5800．
12
x
当3600x= ，即x=4时，总造价最低．
12×4800
x
=3600x+ +5800
12×4800
x
≥2 3600x× +5800=34600
√
12×4800
x
2．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如下图）．如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．
分析：
设污水处理池的长为x m，总造价为y元，
（1）建立x 的函数 y ；
（2）求y的最值．
解：设污水处理池的长为x m，总造价为y元，则
答：池长18m，宽 m时，造价最低，为30400元．
100
9
当且仅当800x= ，即x=18时，取等号．
259200
x
y=400(2x+ ×2)+248(2× )+80×200
200
x
200
x
+16000
800x×
√
259200
x
≥2
=800x+ +16000.
259200
x
3．现有一批货物用轮船从上海洋山水港运往青岛，已知该船航行的最大速度为45海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成．轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用每小时960元．（1）把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；（2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
解：（1）由题意，每小时燃料费用为0.6x2(0＜x≤45)，全程所用的时间为 小时．
500
x
则全程运输成本
y=0.6x2· +960· =300(x+ )，x∈(0，45]．
500
x
500
x
1600
x
故所求的函数 y=300(x+ )，x∈(0，45]．
1600
x
（2）
y=300(x+ )≥300×2 =24000．
1600
x
x×
√
1600
x
1600
x
当且仅当x= ，即x=40时取等号成立．
故当轮船速度为40海里/小时时，所需成本最小．
4．某单位为了职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30000m2的宿舍楼(每层的建筑面积相同)．已知土地的征用费为2250元/m2，土地的征用面积为第一层的1.5倍．经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/m2，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/m2．试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和)．
解：设楼高为n层，总费用为y万元，则征地面积为 (m2)，征地费用为2250× 万元，各楼层建筑费用和为[400n+ ×30]× 万元．
总费用为
1.5×3
n
1.5×30000
n
3
n
n×(n-1)
2
y=[400n+ ×30]+2250× ．
n×(n-1)
2
1.5×3
n
=15×(3n+ +77)≥15×(2 3n× +77)=2505．
675
n
675
n
√
当且仅当3n= ，即n=15时等号成立．
675
n
这幢宿舍楼楼高层数为15时，总费用最少，为2505万元．
5．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的情况是( )．
(A)甲车先到达B地 (B)乙车先到达B地
(C)同时到达 (D)不能判定
A
6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )．
(A) 5公里 (B) 4公里
(C) 3公里 (D) 2公里
C
某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．
（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
（1）该厂应每隔10天购买一次面粉，每次购买60 t，才能使平均每天所支付的总费用最少．
（2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．
参考答案：(共16张PPT)
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组
x+2y≤8
4x≤16
4y≤12
x≥0
y≥0
x+2y≤8
x≤4
y≤3
x≥0
y≥0
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排．
y
x
8
4
3
O
4
y
x
4
8
4
3
O
M
探究：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？
z(利润)＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
它表示斜率为- 的直线系，z与这条直线的截距有关．
2
3
y＝- x+
2
3
z
3
y
x
4
8
4
3
O
M
这时2x+3y=14．所以，每天生产甲产品4件、乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元．
由图可以看出，当经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距 的值最大，最大值为 ．
14
3
z
3
把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数．
满足线性约束的解（x，y）叫做可行解．
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．
y
x
4
8
4
3
O
M
可行域
可行解
最优解
1
解下列线性规划问题：
求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下
列条件：
y≤x
x+y ≤1
y≥－1
1．在平面直角坐标系中作出可行域，如图所示；
x
y
O
1
-1
y=x
x+y =1
y=－1
转化
线性约
束条件
可行域
1
解下列线性规划问题：
求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下
列条件：
y≤x
x+y ≤1
y≥－1
2．在可行域内找到最优解所对应的点为点A和点B；
x
y
O
1
-1
y=x
x+y =1
A
B
转化
线性目
标函数
z=Ax+By
一组平行线
y＝- x +
A
B
z
B
y=－1
1
解下列线性规划问题：
求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下
列条件：
y≤x
x+y ≤1
y≥－1
3．解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．
x
y
O
1
-1
y=x
x+y =1
A
B
转化
最优解
寻找平行线组
的纵截距 最值
z
B
y=－1
1
解下列线性规划问题：
求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下
列条件：
y≤x
x+y ≤1
y≥－1
直线y=-2x+z过点A时有最小值，过点B时有最大值．
x
y
O
1
-1
y=x
x+y =1
A
B
所以zmin=-3，zmax=3．
由 可得点A(-1，-1)，点B(2，-1)．
y = x
x+y =1
y =－1
y=－1
解线性规划问题的一般步骤：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．
1．当x、y满足不等式组 时，求目标函数t =x+y的最大值．
|x-1|≤1
y≥0
y ≤x+1
解：作出可行域如右图，当直线t=x+y过点A时，t最大．
由 得点A(2，3)，所以，tmax=2+3=5．
x = 2
y = x+1
x
A
y
O
2．求使z=3x+5y的最大值和最小值，使x，y满足约束条件．
5x+3y≤15
y ≤ x+1
x-5y ≤ 3
x
O
y
解：作出可行域如右图，
当直线z=3x+5y过点A时，z最小，过点B时，z最大．
A
B
知A(-2，-1)，B(1.5，2.5)．
所以zmin=-11，zmax=17．
3．已知动点（x，y）所在区域是如图所示的阴影部分（包括边界），则目标函数z=x+2y的最小值和最大值分别为__________________．
zmin=1，zmax=12
某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份是由金融投资70万元，房地产投资90万元，电脑投资75万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资90万元，电脑投资150万元组成；已知每份稳健型组合投资每年可获利25万元，每份进取型投资每年可获利30万元，若可作投资用的资金中，金融投资不超过290万元，房地产投资不超过450万元，电脑投资不超过600万元，那么这两种组合投资各注入多少份，能使一年获利总额最大？最大值是多少？(共17张PPT)
(1)二元一次不等式表示平面区域：
(2) 判定方法：
直线某一侧所有点组成的平面区域．
直线定界，特殊点定域．
y< -3x+12
x<2y
例2．用平面区域表示不等式组 的解集．
x
y
O
3
5
-5
x-y+5=0
x+y=0
x=3
í
ì
+
+
-
3
0
0
5
x
y
x
y
x
变式：由直线x-y+5=0，x+y=0和x=3围成的三角形（包括边界）
用不等式可表示为
例3．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
规格类型
钢板类型
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，请用数学关系式和图形表示上述要求．
解：设需要截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，则
2x+y≥15
x+2y≥18
x+3y ≥27
x ≥0
y ≥0
2x+y=15
x+2y=18
图形表示如右
x+3y=27
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y
x
例4：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t、硝酸盐18 t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t、硝酸盐15 t．现库存磷酸盐10 t、硝酸盐66 t，在此基础上生产这两种混合肥料．列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解：设x，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件
4x+y≤10
18x+15y ≤66
x≥0
y ≥0
4x+y=10
18x+15y =66
O
x
y
1．不等式组
B
表示的平面区域是（ ）
x-3y+6≥0
x-y+2＜0
2．画出下列不等式组表示的平面区域：
⑴
y＜x
x+2y≤4
y≥-2
⑵
x＜3
2y≥x
3x+2y≥6
3y＜x+9
O
x
y
4
-2
x
y
3
3
2
O
5
A
B
C
C:
(1 ,4.4)
A:
(5, 2)
B:
(1 , 1)
1
5
O
x
y
3．△ABC的三个顶点坐标如图所示
求△ABC内任一顶点(x，y)所满足的条件．
x-4y≤-3
3x+5y≤25
x≥1
x-4y=-3
3x+5y=25
x=1
则用不等式可表示为:
解：此平面区域在x-y=0的右下方，x-y≥0
它又在x+2y-4=0的左下方，x+2y-4≤0
它还在y+2=0的上方，y+2≥0
y
O
x
4
-2
x-y=0
y+2=0
x+2y-4=0
2
4．写出围成的平面区域所表示的不等式组．
x-y≥0
x+2y-4≤0
y+2≥0
5．一工厂生产甲，乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：
品种 电力/千瓦时 煤/吨 工人/人
甲 2 3 5
乙 8 5 2
该工厂工人有200人，每天只能保证160千瓦时的用电额度，每天用煤不得超过150吨，请在直角坐标系中画出每天甲乙两种产品允许的产量范围．
解：设每天甲乙两种产品分别为 x 吨、y 吨，则
100
80
60
40
20
-20
50
100
x
y
O
2 x＋8 y =160
3x＋5 y=150
5x＋2 y=200
如右图所示，黄色区域即为每天甲乙两种产品允许的产量范围所在平面区域．
2 x＋8 y ≤160；
3 x＋5 y ≤150；
5 x＋2 y ≤200；
x≥0 ；
y≥0 ．
6．某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元．若每日预算原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，请你列出满足生产条件的数学表达式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域．
解：设采用甲种原料 x 吨，采用乙种原料 y 吨，则
1000 x＋1500 y ≤6000；
500 x＋400 y ≤2000；
x≥0 ；
y≥0 ．
6
4
2
-1
4
-1
O
2
6
y
x
2 x＋3 y = 12
5 x＋4 y = 20
如右图所示，黄色区域即为满足生产条件的解集所在平面区域．
画出不等式(x+2y+1)(2x+y-2)<0表示的平面区域.
x
y
o
x+2y+1=0
2x+y-2=0
分析： (x+2y+1)(2x+y-2)<0
x-2y+1>0
2x+y-2<0
(Ⅰ) 或(Ⅱ)
x-2y+1>0
2x+y-2<0
画法：
(1) 先画两直线；
(2) 画区域 (Ⅰ) ；
(3) 画区域 (Ⅱ) ；
∴区域 (Ⅰ)和区域 (Ⅱ) 为所求区域．
(Ⅰ)
(Ⅱ)