江苏省东台中学高二寒假数学跟踪练习（一）

江苏省东台中学高二寒假数学跟踪练习（一）
班级_______________ 姓名________________ 学号_______________
一、填空题:本大题共14小题，每题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是___________．
2．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且 ，则z=___________．
3．曲线y＝x4的斜率等于4的切线的方程是___________．
4．垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程是___________．
5．
6．已知F1, F2是双曲线的两个焦点, Q是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F1QF2平分线的垂线,垂足为P, 则点P的轨迹是___________．
7.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为
.
8．已知抛物线y=2x2上两点A(x1,y1), B(x2,y2)关于直线y=x+m对称, 且x1x2=－, 那么m=_______．
9．若非零复数满足,则的值是___________．
10．椭圆x2＋4y2＝4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．
11．若函数其中，是的小数点后第n位数字，例
如，则（共2011个f）= ．
12．质点P在半径为r的圆周上逆时针做匀角速率运动，角速率为1 rad/s，设A为起点，那么t时刻点P在x轴上射影点M的速率为___________．
13.已知函数是定义在上的可导函数,若,则当 时, .
14.给出下列命题：
①若，则函数在处有极值；
②是方程表示椭圆的充要条件；
③若，则的单调递减区间为；
④是椭圆内一定点，是椭圆的右焦点，则椭圆上存在点，使得
的最小值为3．其中为真命题的序号是 .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分）设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为－4，
（Ⅰ）求a、b、c的值；（II）求函数的递减区间．
16．（本小题满分14分）路灯距地平面为8 m，一个身高为1．6 m的人以84 m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v．
17．（本小题满分15分）若、，．
（Ⅰ）求证：；
（II）令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值．
18．（本小题满分15分）求同时满足下列条件的所有复数z：
（Ⅰ）是实数，且；（II）z的实部和虚部都是整数．
19．（本小题满分16分）设F1、F2分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（II）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
（Ⅲ）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．
20．（本小题满分16分）讨论函数的单调性，并确定它在该区间上的最大值最小值．
江苏省东台中学高二寒假数学跟踪练习（一）参考答案
一、填空题:本大题共14小题，每题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是___________．不拥有的人们不幸福
2．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且 ，则z=_____．
3．曲线y＝x4的斜率等于4的切线的方程是___________．
4．垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程是___________．
5．
6．已知F1, F2是双曲线的两个焦点, Q是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F1QF2平分线的垂线,垂足为P, 则点P的轨迹是___________．圆
7.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 .大前提错误
8．已知抛物线y=2x2上两点A(x1,y1), B(x2,y2)关于直线y=x+m对称, 且x1x2=－, 那么m=___________．
9．若非零复数满足,则=___________．
10．椭圆x2＋4y2＝4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．
11．若函数其中，是的小数点后第n位数字，例
如，则（共2011个f）= ．1
12．质点P在半径为r的圆周上逆时针做匀角速率运动，角速率为1 rad/s，设A为起点，那么t时刻点P在x轴上射影点M的速率为___________．－rsint rad/s；
13.已知函数是定义在上的可导函数,若,则当 时, . -6
14.给出下列命题：
①若，则函数在处有极值；
②是方程表示椭圆的充要条件；
③若，则的单调递减区间为；
④是椭圆内一定点，是椭圆的右焦点，则椭圆上存在点，使得的最小值为3．
其中为真命题的序号是 . ③④
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分）设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为－4，（1）求a、b、c的值；（2）求函数的递减区间．
解：（1）函数的图象经过（0，0）点
∴ c=0，又图象与x轴相切于（0，0）点，=3x2+2ax+b
∴ 0=3×02+2a×0+b，得b=0
∴ y=x3+ax2，=3x2+2ax
当时，，当时，
当x=时，函数有极小值－4
∴ ，得a=－3
（2）=3x2－6x＜0，解得0＜x＜2
∴ 递减区间是（0，2）
16．（本小题满分14分）路灯距地平面为8 m，一个身高为1．6 m的人以84 m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v．
解：如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB．
设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t（单位：秒），AB为人影长度，设为y，则
∵BE∥CD，∴∴，
又84 m/min＝1．4 m/s∴y＝x＝t（x＝1．4t）
∵y′＝∴人影长度的变化速率为m/s
17．（本小题满分15分）若、，
(1)求证：；
(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.
解：(1)用反证法. 若，即, 解得
从而与题设,相矛盾，
故成立.
(2) 、、、、, .
（3）因为 又,
所以,
因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、.
18．（本小题满分15分）求同时满足下列条件的所有复数z：
(1)是实数，且；(2)z的实部和虚部都是整数
设z=a+bi (a,b∈R,且a2+b2≠0).
则
由(1)知是实数，且,
∴ 即b=0或a2+b2=10. 又 *
当b=0时，*化为无解。
当a2+b2=10时，*化为1<2a≤6, ∴.由(2)知 a=1,2,3.
∴ 相应的b=±3, ±(舍)，±1，因此，复数z为：1±3i或3±i.
19．（本小题满分16分）设F1、F2分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.
（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．
解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.又点A（1，）在椭圆上，因此=1得b2=3，于是c2=1.
所以椭圆C的方程为=1，焦点F1（－1，0），F2（1，0）.
（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y）满足：
， 即x1=2x+1，y1=2y.
因此=1.即为所求的轨迹方程.
（3）类似的性质为：若M、N是双曲线：=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中=1.
又设点P的坐标为（x，y），由，
得kPM·kPN=，将m2－b2代入得kPM·kPN=.
20．（本小题满分16分）讨论函数的单调性，并确定它在该区间上的最大值最小值．
解：设则，
于是当0而只有x＝0时，，故在[0，2]上为单调减少，
而
所以
在为单调减少，在为单调增加，
因而在[0，2]上f（x）的最大值f（0）＝27，最小值