27.2 相似三角形
图片预览
文档简介
第二十七章 相似
27.2相似三角形
27.2.1 相似三角形的判断(1)
[教学课时]1课时
[教学目标]
(1)会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △;
(2)知道当△ABC与△的相似比为k时，△与△ABC的相似比为1/k．
(3)理解掌握平行线分线段成比例定理
(4)在平行线分线段成比例定理探究过程中，让学生运用“操作—比较—发现—归纳”分析问题．
(5)在探究平行线分线段成比例定理过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
[教学重点]
理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．
[教学难点]
掌握平行线分线段成比例定理应用．
[教学过程]
一、创设情境，探究归纳
学生活动设计：
（1）相似多边形的主要特征是什么？
（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且．
我们就说△ABC与△相似，记作△ABC∽△，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△，
则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且．
（3）思考：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
教师活动设计:
（1）在相似多边形中，对应边的比相等，对应角相等；其中，最简单的就是相似三角形。
（2）用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △
（3）k=1时，△ABC与△全等；当△ABC与△的相似比为k时，△ 与△ABC的相似比为1/k．
学生探究活动： (教材P40页 探究)
如图，任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 , l2 相交的平行线l3 , l4, l5.分别量度l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗 任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗
学生活动设计: 学生操作画图，量度AB, BC, DE, EF的长度并计算比值，小组讨论，共同交流,回答结果．
师生活动设计：；
师生活动设计：
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
在活动中,师生应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；
师生活动设计：
1、把这个定理应用到三角形中，会出现下面图中的两种情况，如图所示，
2、如图（1）中，l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，l4看成平行于△ABC的边BC的直线；
如图（2）中，l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，l3看成平行于△ABC的边BC的直线。
师生归纳总结：
平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段的比相等。
二. 巩固提高
例1：如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.
例2：如图，EF∥BC，FD∥AB，AE=18，BE=12，CD=14，则BD=____________。
三. 归纳总结
1、“平行线分线段成比例定理”是三角形相似的预备定理。这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．
2、相似比是带有顺序性和对应性的：
如△ABC∽△的相似比，那么△∽△ABC的相似比就是，它们的关系是互为倒数。这一点在教学中可结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解。
四、布置作业
补充：
1、在ABC中，DE∥BC，DE与AB相交于D，与AC相交于E。
（1）已知AD=5,DB=3,AE=4，求EC的长。
（2）已知AC=12,EC=4,DB=5求AD的长。
（3）已知AD:BD=3:2,AC=10，求AE的长。
2、 如图，已知，AB∥CD∥EF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的长。
第二十七章 相似
27.2相似三角形
27.2.1 相似三角形的判断(2)
[教学课时]1课时
[教学目标]
(1)掌握用相似三角形的定义和判定定理判断两个三角形相似
(2) 在探索相似三角形判定定理过程中，体现解决问题的方法
(3)在探索相似图形的性质过程中，培养学生合作的意识和品质．
[教学重点]
相似三角形判定定理的证明与应用
[教学难点]
相似三角形判定定理的证明
[教学过程]
一、创设情境
活动1
学生活动:
教师活动:如何证明这两个三角形的对应角相等，对应边的比相等？
如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，证明：△ADE与△ABC相似。
教师活动:教师出示并提出问题，组织学生思考．
(1)△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？为什么？
(2)△ADE与△ABC满足对应边成比例吗？由“DE∥BC”的条件可得到哪些线段的比相等？
(3)根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去？（作辅助线EF∥AB）
判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边所在直线相交，所成的三角形与原来三角形相似。
二、巩固提高
例1：如图，AB∥EF∥CD，图中共有对相似三角形，写出来并说明理由。
例2：如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h。(设网球是直线运动)
重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍
巩固练习1、如图，在△ABC中，DE∥BC，AE=2，EC=3，DE=4，求BC的长。
参考答案：
2、如图：BD∥AC，CE=3，CD=5，AC=5，求BD的长。
参考答案：
三、课堂小结
谈谈本节课你有哪些收获？
四、布置作业
作业：教材P54页，第5、6题
第二十七章 相似
27.2相似三角形
27.2.1 相似三角形的判断(3)
[教学课时]1课时
[教学目标]
(1)掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
(2) 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
[教学重点]
掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．
[教学难点]
（1）三角形相似的条件归纳、证明；
（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
[教学过程]
一、复习引入
教师活动:复习提问：
(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？是否要判断对应角相等且对应边相等？
回答：SSS SAS ASA AAS．
(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似．
(3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？
相似比k=1时，两个相似三角形全等
提出探讨问题：
1、如果要判定△ABC与△相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？
3、(教材P42页)
探究：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论．
教师活动设计:带领学生画图探究并取k=1.5；
学生活动设计:学生细心观察思考,小组讨论后回答问题
教师活动设计:
（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？
（2）教师带领学生探求证明方法．（已知、求证、证明）
师生活动设计：
三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．
教师活动:提出探讨问题：可否用类似于判定三角形全等的SAS方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？
三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．
二、巩固提高
思考：（1）中两个三角形相似比是多少？（2）中，要使两三角形相似，不改变AC的长，的长应改为多少？
回答：（1）中的相似比为7/3或3/7；(2)AC的长度为24．
思考：两个三角形的三条边的长度分别为2、4、5和10、4、8，请问它们相似吗？
练习：教材P45．1、2、3．
思考:上图中是否还有相似三角形
思考:两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似 为什么
思考：等腰三角形ABC与等腰三角形DEF有一角相等,这两个三角形是否相似 为什么
练习：
1、一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形（ C ）相似．
(A) 一定 (B) 一定不 (C)可能 (D)无法判断
三、课堂小结
三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．
三角形相似的判定方法2 如果两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．
四、布置作业
布置作业：教材P54．1、2（1）（2）、3．
第二十七章 相似
27.2相似三角形
27.2.1 相似三角形的判断(4)
[教学课时]1课时
[教学目标]
1、经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2、掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
3、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
[教学重点]
三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”
[教学难点]
三角形相似的判定方法3的运用．
[教学过程]
一、复习回顾
教师活动:复习提问：
我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边所在直线相交，所成的三角形与原来三角形相似。
三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．
三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。
二、新课引入及说明
1、如下图，两个三角形中有两个角对应相等，这两个三角形相似吗？
2、教材P46的探究3 ．
师生活动设计：直观上看这两个三角形是相似的，如何证明呢？
师生活动设计：把小的三角形平移到大的三角形上，使得A与A’ 重合且角所在的边是重合的，又角B与角B’相等，所以BC平移后所在的直线与直线B’C’平行，根据判定三角形相似的（预备）定理可知，这两个三角形是相似的。
三角形相似的判定方法3 如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
三、巩固提高
分析：要证PA PB=PC PD，需要证，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似。
思考：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等。那么，满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似？
下面，我们就来证明这个结论。
学生活动:学生自主阅读（教材47页），展开探究活动
三、课堂练习
活动3教材P48的练习1、2．
四、回顾与反思．
活动4(1)谈谈本节课你有哪些收获．
(2)布置课外作业：教材P54．2（3）、4．
第二十七章 相似
27.2相似三角形
27.2.2 相似三角形的应用(1)
[教学课时]1课时
[教学目标]
1、进一步巩固相似三角形的判断定理的应用．
2、能够创造性地运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
3、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
[教学重点]
构造三角形、运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．
[教学难点]
如何把实际问题抽象为数学问题中的平面三角形的问题
[教学过程]
一、创设情境 构造相似三角形
活动1
教师活动：提出问题：
1、天安门的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？
师生活动：学生小组讨论；留出充足的时间，学生提供可行的方案，师生共同交流．
2、世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
二、例题讲解
活动2（教材P48页 例3——测量金字塔高度问题）
教师提出问题：例：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO． （思考如何测出OA的长？）
师生活动：学生小组讨论；师生共同交流，画出示意图：通过观察示意图，使学生建立起相似图形的几何直觉，并能明确表述求OA的方法中蕴含的数学知识。
分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．
活动3 课堂练习（见教材P50页）
1、在某一时刻，测得一根高为1.8米的竹竿的影长为3米，同时测得某一高楼的影长为90米，那么这栋高楼的高度是多少
活动4（教材P49例4 ——测量河宽问题）
教师提出问题：问题：估算河的宽度，你有什么好办法吗？
例: 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．
分析：设河宽PQ长为x m ，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有，即．再解x的方程可求出河宽．
活动5 课堂练习（见教材P50页）（平行外截法）
2、如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB。
三、课堂小结
谈谈本节课你有哪些收获．
利用自然界的太阳光、利用人类的视线，再借助于一些数学知识，解决实际中存在的问题，这是学习数学的目的。本节中，我们利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的高度或宽度的问题．在天文测量中，也大量运用了相似三角形，课后可以搜索一些资料，共同分享一下各自寻找的资料。
四、布置作业：
教材P55．9、10．
第二十七章 相似
27.2相似三角形
27.2.2 相似三角形的应用(2)
[教学课时]1课时
[教学目标]
1、进一步巩固相似三角形的判断定理的应用．
2、能够创造性地运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
3、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
[教学重点]
构造三角形、运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．
[教学难点]
如何把实际问题抽象为数学问题平面三角形的问题
[教学过程]
一、构造相似三角形 求解实际问题
教师提出问题：例：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m和CD = 12 m，两树根部的距离BD = 5 m．一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
教师活动：重点引导学生认真体会这一生活实际中常见的场景，借助图形把这一实际中常见的场景，抽象成数学图形，利用相似的性质解决这一实际问题，图形可以滞后给出，先让学生经历这一抽象的过程．如果学生对于如何用数学语言表述有一定的困难，教师应与学生一起认真板书解答过程．
练习：如图所示,假设学生座位到黑板的距离是5m,老师在黑板上写字,究竟要写多大,才能使学生望去时,同他看书桌上距离30cm的课本上的字感觉相同(即视角相同) 毛
课堂练习：小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树在一个院子内，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图1，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得墙内地面部分的影长2.7m，你能帮助他求得的树高是多少吗？
学生活动设计：分组讨论，制作简单工具，分组展示。
三、课堂小结：
1、相似三角形的应用主要有如下两个方面
（1） 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
（2） 测距(不能直接测量的两点间的距离)
2、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决
3、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解
四、布置作业
作业：教材P55页．8、11、16．
第二十七章 相似
27.2相似三角形
27.2.3相似三角形的周长与面积(1)
[教学课时]1课时
[教学目标]
1、相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2、能综合运用相似三角形的性质解决几何问题；
3、经历相似三角形的性质的探索过程，培养学生观察能力和综合运用知识的能力，感悟类比、转化思想。
[教学重点]
相似三角形的性质与运用．
[教学难点]
相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．
[教学过程]
一、新课引入
师生活动设计：如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？
师生活动设计：
结论：相似三角形周长之比等于相似比。
用类似的方法，还可以得到：
结论：相似多边形周长之比等于相似比。
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
类似地，容易得到：
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比．
结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
师生活动设计：如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？
结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
师生活动设计：如果两个四边形相似，它们的面积之间有什么关系？
结论：相似四边形面积的比等于相似比的平方．
推广到任意多边形，
结论：相似多边形面积的比等于相似比的平方．
二、巩固提高
例1：填空：
（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．
（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．
（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．
（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．
答案：
（1）；；。
（2）；。
（3）；。
（4）；。
答案：；。
答案：；。
三、归纳小结
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比．
结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
结论：相似四边形面积的比等于相似比的平方．
结论：相似多边形面积的比等于相似比的平方．
四、作业
教材P53页第3、4题．教材P54页第6、7题
图1
图2
图3
图1
图1
图2
27.2相似三角形
27.2.1 相似三角形的判断(1)
[教学课时]1课时
[教学目标]
(1)会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △;
(2)知道当△ABC与△的相似比为k时，△与△ABC的相似比为1/k．
(3)理解掌握平行线分线段成比例定理
(4)在平行线分线段成比例定理探究过程中，让学生运用“操作—比较—发现—归纳”分析问题．
(5)在探究平行线分线段成比例定理过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
[教学重点]
理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．
[教学难点]
掌握平行线分线段成比例定理应用．
[教学过程]
一、创设情境，探究归纳
学生活动设计：
（1）相似多边形的主要特征是什么？
（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且．
我们就说△ABC与△相似，记作△ABC∽△，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△，
则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且．
（3）思考：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
教师活动设计:
（1）在相似多边形中，对应边的比相等，对应角相等；其中，最简单的就是相似三角形。
（2）用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △
（3）k=1时，△ABC与△全等；当△ABC与△的相似比为k时，△ 与△ABC的相似比为1/k．
学生探究活动： (教材P40页 探究)
如图，任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 , l2 相交的平行线l3 , l4, l5.分别量度l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗 任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗
学生活动设计: 学生操作画图，量度AB, BC, DE, EF的长度并计算比值，小组讨论，共同交流,回答结果．
师生活动设计：；
师生活动设计：
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
在活动中,师生应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；
师生活动设计：
1、把这个定理应用到三角形中，会出现下面图中的两种情况，如图所示，
2、如图（1）中，l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，l4看成平行于△ABC的边BC的直线；
如图（2）中，l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，l3看成平行于△ABC的边BC的直线。
师生归纳总结：
平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段的比相等。
二. 巩固提高
例1：如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.
例2：如图，EF∥BC，FD∥AB，AE=18，BE=12，CD=14，则BD=____________。
三. 归纳总结
1、“平行线分线段成比例定理”是三角形相似的预备定理。这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．
2、相似比是带有顺序性和对应性的：
如△ABC∽△的相似比，那么△∽△ABC的相似比就是，它们的关系是互为倒数。这一点在教学中可结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解。
四、布置作业
补充：
1、在ABC中，DE∥BC，DE与AB相交于D，与AC相交于E。
（1）已知AD=5,DB=3,AE=4，求EC的长。
（2）已知AC=12,EC=4,DB=5求AD的长。
（3）已知AD:BD=3:2,AC=10，求AE的长。
2、 如图，已知，AB∥CD∥EF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的长。
第二十七章 相似
27.2相似三角形
27.2.1 相似三角形的判断(2)
[教学课时]1课时
[教学目标]
(1)掌握用相似三角形的定义和判定定理判断两个三角形相似
(2) 在探索相似三角形判定定理过程中，体现解决问题的方法
(3)在探索相似图形的性质过程中，培养学生合作的意识和品质．
[教学重点]
相似三角形判定定理的证明与应用
[教学难点]
相似三角形判定定理的证明
[教学过程]
一、创设情境
活动1
学生活动:
教师活动:如何证明这两个三角形的对应角相等，对应边的比相等？
如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，证明：△ADE与△ABC相似。
教师活动:教师出示并提出问题，组织学生思考．
(1)△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？为什么？
(2)△ADE与△ABC满足对应边成比例吗？由“DE∥BC”的条件可得到哪些线段的比相等？
(3)根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去？（作辅助线EF∥AB）
判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边所在直线相交，所成的三角形与原来三角形相似。
二、巩固提高
例1：如图，AB∥EF∥CD，图中共有对相似三角形，写出来并说明理由。
例2：如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h。(设网球是直线运动)
重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍
巩固练习1、如图，在△ABC中，DE∥BC，AE=2，EC=3，DE=4，求BC的长。
参考答案：
2、如图：BD∥AC，CE=3，CD=5，AC=5，求BD的长。
参考答案：
三、课堂小结
谈谈本节课你有哪些收获？
四、布置作业
作业：教材P54页，第5、6题
第二十七章 相似
27.2相似三角形
27.2.1 相似三角形的判断(3)
[教学课时]1课时
[教学目标]
(1)掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
(2) 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
[教学重点]
掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．
[教学难点]
（1）三角形相似的条件归纳、证明；
（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
[教学过程]
一、复习引入
教师活动:复习提问：
(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？是否要判断对应角相等且对应边相等？
回答：SSS SAS ASA AAS．
(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似．
(3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？
相似比k=1时，两个相似三角形全等
提出探讨问题：
1、如果要判定△ABC与△相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？
3、(教材P42页)
探究：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论．
教师活动设计:带领学生画图探究并取k=1.5；
学生活动设计:学生细心观察思考,小组讨论后回答问题
教师活动设计:
（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？
（2）教师带领学生探求证明方法．（已知、求证、证明）
师生活动设计：
三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．
教师活动:提出探讨问题：可否用类似于判定三角形全等的SAS方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？
三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．
二、巩固提高
思考：（1）中两个三角形相似比是多少？（2）中，要使两三角形相似，不改变AC的长，的长应改为多少？
回答：（1）中的相似比为7/3或3/7；(2)AC的长度为24．
思考：两个三角形的三条边的长度分别为2、4、5和10、4、8，请问它们相似吗？
练习：教材P45．1、2、3．
思考:上图中是否还有相似三角形
思考:两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似 为什么
思考：等腰三角形ABC与等腰三角形DEF有一角相等,这两个三角形是否相似 为什么
练习：
1、一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形（ C ）相似．
(A) 一定 (B) 一定不 (C)可能 (D)无法判断
三、课堂小结
三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．
三角形相似的判定方法2 如果两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．
四、布置作业
布置作业：教材P54．1、2（1）（2）、3．
第二十七章 相似
27.2相似三角形
27.2.1 相似三角形的判断(4)
[教学课时]1课时
[教学目标]
1、经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2、掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
3、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
[教学重点]
三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”
[教学难点]
三角形相似的判定方法3的运用．
[教学过程]
一、复习回顾
教师活动:复习提问：
我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边所在直线相交，所成的三角形与原来三角形相似。
三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．
三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。
二、新课引入及说明
1、如下图，两个三角形中有两个角对应相等，这两个三角形相似吗？
2、教材P46的探究3 ．
师生活动设计：直观上看这两个三角形是相似的，如何证明呢？
师生活动设计：把小的三角形平移到大的三角形上，使得A与A’ 重合且角所在的边是重合的，又角B与角B’相等，所以BC平移后所在的直线与直线B’C’平行，根据判定三角形相似的（预备）定理可知，这两个三角形是相似的。
三角形相似的判定方法3 如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
三、巩固提高
分析：要证PA PB=PC PD，需要证，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似。
思考：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等。那么，满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似？
下面，我们就来证明这个结论。
学生活动:学生自主阅读（教材47页），展开探究活动
三、课堂练习
活动3教材P48的练习1、2．
四、回顾与反思．
活动4(1)谈谈本节课你有哪些收获．
(2)布置课外作业：教材P54．2（3）、4．
第二十七章 相似
27.2相似三角形
27.2.2 相似三角形的应用(1)
[教学课时]1课时
[教学目标]
1、进一步巩固相似三角形的判断定理的应用．
2、能够创造性地运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
3、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
[教学重点]
构造三角形、运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．
[教学难点]
如何把实际问题抽象为数学问题中的平面三角形的问题
[教学过程]
一、创设情境 构造相似三角形
活动1
教师活动：提出问题：
1、天安门的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？
师生活动：学生小组讨论；留出充足的时间，学生提供可行的方案，师生共同交流．
2、世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
二、例题讲解
活动2（教材P48页 例3——测量金字塔高度问题）
教师提出问题：例：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO． （思考如何测出OA的长？）
师生活动：学生小组讨论；师生共同交流，画出示意图：通过观察示意图，使学生建立起相似图形的几何直觉，并能明确表述求OA的方法中蕴含的数学知识。
分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．
活动3 课堂练习（见教材P50页）
1、在某一时刻，测得一根高为1.8米的竹竿的影长为3米，同时测得某一高楼的影长为90米，那么这栋高楼的高度是多少
活动4（教材P49例4 ——测量河宽问题）
教师提出问题：问题：估算河的宽度，你有什么好办法吗？
例: 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．
分析：设河宽PQ长为x m ，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有，即．再解x的方程可求出河宽．
活动5 课堂练习（见教材P50页）（平行外截法）
2、如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB。
三、课堂小结
谈谈本节课你有哪些收获．
利用自然界的太阳光、利用人类的视线，再借助于一些数学知识，解决实际中存在的问题，这是学习数学的目的。本节中，我们利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的高度或宽度的问题．在天文测量中，也大量运用了相似三角形，课后可以搜索一些资料，共同分享一下各自寻找的资料。
四、布置作业：
教材P55．9、10．
第二十七章 相似
27.2相似三角形
27.2.2 相似三角形的应用(2)
[教学课时]1课时
[教学目标]
1、进一步巩固相似三角形的判断定理的应用．
2、能够创造性地运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
3、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
[教学重点]
构造三角形、运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．
[教学难点]
如何把实际问题抽象为数学问题平面三角形的问题
[教学过程]
一、构造相似三角形 求解实际问题
教师提出问题：例：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m和CD = 12 m，两树根部的距离BD = 5 m．一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
教师活动：重点引导学生认真体会这一生活实际中常见的场景，借助图形把这一实际中常见的场景，抽象成数学图形，利用相似的性质解决这一实际问题，图形可以滞后给出，先让学生经历这一抽象的过程．如果学生对于如何用数学语言表述有一定的困难，教师应与学生一起认真板书解答过程．
练习：如图所示,假设学生座位到黑板的距离是5m,老师在黑板上写字,究竟要写多大,才能使学生望去时,同他看书桌上距离30cm的课本上的字感觉相同(即视角相同) 毛
课堂练习：小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树在一个院子内，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图1，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得墙内地面部分的影长2.7m，你能帮助他求得的树高是多少吗？
学生活动设计：分组讨论，制作简单工具，分组展示。
三、课堂小结：
1、相似三角形的应用主要有如下两个方面
（1） 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
（2） 测距(不能直接测量的两点间的距离)
2、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决
3、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解
四、布置作业
作业：教材P55页．8、11、16．
第二十七章 相似
27.2相似三角形
27.2.3相似三角形的周长与面积(1)
[教学课时]1课时
[教学目标]
1、相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2、能综合运用相似三角形的性质解决几何问题；
3、经历相似三角形的性质的探索过程，培养学生观察能力和综合运用知识的能力，感悟类比、转化思想。
[教学重点]
相似三角形的性质与运用．
[教学难点]
相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．
[教学过程]
一、新课引入
师生活动设计：如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？
师生活动设计：
结论：相似三角形周长之比等于相似比。
用类似的方法，还可以得到：
结论：相似多边形周长之比等于相似比。
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
类似地，容易得到：
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比．
结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
师生活动设计：如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？
结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
师生活动设计：如果两个四边形相似，它们的面积之间有什么关系？
结论：相似四边形面积的比等于相似比的平方．
推广到任意多边形，
结论：相似多边形面积的比等于相似比的平方．
二、巩固提高
例1：填空：
（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．
（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．
（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．
（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．
答案：
（1）；；。
（2）；。
（3）；。
（4）；。
答案：；。
答案：；。
三、归纳小结
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比．
结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
结论：相似四边形面积的比等于相似比的平方．
结论：相似多边形面积的比等于相似比的平方．
四、作业
教材P53页第3、4题．教材P54页第6、7题
图1
图2
图3
图1
图1
图2