高二数学寒假补习学案--立体几何中的存在性问题与三视图

第四讲：立体几何中的存在性问题与三视图
考点一：存在性问题
例1：如图，已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，设PA⊥平面ABCD，EC∥PA，且PA=2.
（1）当CE为多少时，PO⊥平面BED；
（2）在（1）情形下，求二面角E—PB—A的余弦值.；
解：以A为原点，直线AD为x轴，AB为y轴，直线AP为z轴建立空间直角坐标系
（1）则P（0，0，2），O（1，1，0），D（2，0，0）
∵EC∥PA，∴可设E（2，2，z）则
∵△PBD为等腰三角形，∴PO⊥BD，故要使，……4分
∴－2+2z = 0，∴z = 1，即OE = 1时，PO⊥平面BED.……………………………6分
（2）∵AD⊥平面PAB，是平面PAB的一个法向量，且
设为平面PBE的一个法向量
由由 解得：
取z = 2，则x =－1，y =2，
故二面E—PB—A的余弦值为
例2：如图，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA = AD = CD = 2AB
= 2，M为PC的中点.
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置，若不存在，
说明理由；
（3）求直线PC与平面PBD所成的角的正弦值.
解：（1）取PD的中点E，连EM、AM，
∵M是PC的中点，∴EM 又AB ∴AB EM， ∴ABME是平行四边形，
∴BM∥AE，∴BM∥平面PAD.
（2）以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系
则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，∴M（1，1，1），
设则，若MN⊥平面PBD则MN⊥BD，MN⊥PB.
，
∴在平面PAD内存在一点、使MN⊥面PBD
（3）设平面PBD的法向量为，令,
，∴直线PC与面PBD所成角正弦值为
例3：如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.
（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA 1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论.
（I）证明：
连接B1C，与BC1相交于O，连接OD
∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点.又D是AC的中点，
∴OD//AB1.∵AB 1面BDC 1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1.
（II）解：如力，建立空间直角坐标系，则
C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）
设=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则
即.…………6分
易知=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.
∴二面角C1—BD—C的余弦值为
（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.
则
∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.
例4：如图，已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在
正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别为2和1.
（I）求证是定值；
（II）已知P是SC的中点，且SO=3，问在棱SA上是否存在一点Q，使得异面直线OP与
BQ所成的角为90°？若存在，请给出证明，并求出AQ的长；若不存在，请说明理由.
解：（I）以O为坐标原点，以OS所在直线为Oz轴，过O且平行于AD的直线为Ox轴.过O且平行于AB的直线为Oy轴，建立如图所示空间直角坐标系……1分
设S（0，0，z）（z>0，z∈R） 则
即为定值.
（II）由（I）建立的空间直角坐标系可知 A（2，－1，0），B（2，3，0）C（－2，3，0），S（0，0，3）P（－1，）设点Q（x，y，z），则存在λ使
例5：直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，BC=AC=2，AA1=4，D为棱CC1上的一动点，M、N分别为△ABD、△A1 B1D的重心.
:（Ⅰ）求证：MN⊥AB；
（Ⅱ）若二面角C—AB—D的正切值为，
求二半平面ABD、A1B1D所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）若点C1在平面A1B1D上的射影正好为N，
试判断C在平面ABD上的射影是否为M？并说明理由.
解：（I）以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴建立坐标系.
设C1D=a(0≤a≤4)，由题意有
C1（0，0，0），A1（2，0，0），B1（0，2，0），C（0，0，4），
A（2，0，4）B（0，2，4），D（0，0，a）.……………1分
∵M、N分别为△ABD，△A1B1D的重心，
（注：也可以不用向量证法）
（II）平面ABC法向量=（0，0，1），设平面ABD的法向量=（x1，y1，z1），则
设二面角C—AB—D的大小为θ，则由
，
解得a=2，（a=6舍去），∴=（－1，－1，1）.……………………………………7分
设平面A1B1D的法向量
∴半平面ABD，A1B1D所成锐二面角的余弦值为：.
（III）若点C1在平面A1B1D上的射影正好为N，则
解得a=2（a=－2 舍去）.
∵D为CC1的中点，根据对称性知C在平面ABD上的射影正好为M.……12分
例6： 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，
AB=AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且
（I）判断EF与平面PBC的关系，并证明；
（II）当λ=1时，证明DF⊥平面PAC；
（III）是否存在实数λ，使异面直线EF与CD所成角为60°？
若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由.
解：（I）EF∥平面PBC. 证明如下
作FG∥BC交CD于G，连结EG，则
∴∴PC∥EG 又FG∥BC，BC∩PC=C，FG∩GE=G.
∴平面PBC∥平面EFG.又EF平面EFG∴EF∥平面PBC
（II）λ=1，则F为AB的中点又AB=AD AF=AB
∴在Rt△FAD与Rt△ACD中
∴∠AFD=∠CAD ∴AC⊥DF 又∵PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD ∴PA⊥DF.
∴DF⊥平面PAC
（III）建立如图所示空间填角坐标系，设PA=AD=1，则A（0，0，0），B（，0，0），D（0，1，0），C（，1，0），P（0，0，1）又
……………………8分
设则
即
假设存在实数λ，使异面直线EF与CD所成的角为60°，则
∴存在实数使异面直线EF与CD所成的角为60°
考点二：三视图问题
例1：直三棱柱A1B1C1—ABC的三视图如图所示，D、E分别为棱CC1和B1C1的中点。
（1）求点B到平面A1C1CA的距离；（2）求二面角B —A1D—A的大小；
（3）在AC上是否存在一点F，使EF⊥平面A1BD，若存在确定其位置，若不存在，
说明理由
:例2：一个多面体的三视图及直观图如图所示，M、N分别是A1B、B1C1的中点。
（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求异面直线AM和CA1所成的角；（Ⅲ）求二面角A—A1B—C的大小.
例3：某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点。
（Ⅰ）根据三视图，画出该几何体的直观图；
（Ⅱ）在直观图中，①证明：PD//面AGC；②证明：面PBD⊥AGC
③求面PAB与面PBC的夹角的余弦值。
例4：一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中E、F分别是PB、AD的中点）
（Ⅰ）求异面直线PD与AE所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：EF⊥平面PBC；
（Ⅲ）求三棱锥B—AEF的体积。
20070409
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