高二数学寒假补习学案双曲线
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平阳三中高 二 年级数学科目 学习资料编号□共享 编制人 陈体仙 2011年 1 月24 日送印 印420 张
第二讲双曲线学案
考点要求：在历年的高考中，双曲线通常从以下几个方面进行考查：
1.位置问题，常涉及直线与曲线交点的判断、弦长、面积、对称、共线等问题.其解法是充分利用方程思想以及韦达定理.
2.最值问题，.其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.
3.范围问题，范围问题主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围，其解法主要有运用双曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.
以上这些问题由于综合性较强，常用来综合考查学生在数形结合、等价转化、分类转化、逻辑推理等多方面的能力. 值得我们注意的就是圆锥曲线的实质就是用代数的方法研究几何问题。
考点知识：
1.双曲线的定义
第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
即||MF1|-|MF2||=2a(<|F1F2|). M为动点，F1、F2为定点，a为常数.
第二定义：平面内到定点F的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即：（d为动点到定直线l的距离）
3、焦半径公式：
4、焦三角形公式：在双曲线（＞0，＞0）中，焦点分别为、，点P是双曲线上任意一点，，则.
考点1：定义应用
1.已知双曲线的实轴长为8，直线过焦点F1交双曲线的同一分支与M，N且,则的周长（F2为另一个焦点）为（ ）
A.28 B.30 C.24 D.20
2.（09年辽宁）已知F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________。
3.椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个焦点，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
4．在正三角形ABC中，，则以B、C为焦点，且
过D、E的双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．+1
5.(06江西)P为双曲线的右支上一点，分别是圆和
上的点，则的最大值为
考点2；求适合条件的双曲线的标准方程
1.与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点的双曲线方程是
2.以椭圆的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程是
3．（2010年天津理）已知双曲线的一条渐近线方程是 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线方程是
4.已知动圆与外切，与圆,则动圆圆心的轨迹方程为 。
5．已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程 .
6、(2008山东10) 设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26. 若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
考点3：双曲线的基本性质
1．若为双曲线上的一点，为一个焦点，以为直径的圆与以实轴为直径的圆的位置关系是 （ ）
A.相切 Ｂ.相交 C.相离 D.以上三种情况均有可能
2.过双曲线的左焦点作直线L交双曲线于A， B两点，若，则满足条件的直线有几条 （ ）
A .1条 B .2条 C .3条 D .4
3.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上满足＝，则的面积是 （ ）
A. 1 B. C. D.
4、（2009年安徽理3）下列曲线中离心率为的是（ ）高.考.资.源.网
（A） （B） （C） （D）高.考.资.
5.与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）
A. B.2 C.3 D.4
6、( 2010年福建理7)若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
7、( 2010年辽宁理9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
8、（2010年浙江理8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、(2009年山东理9) 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. B. 5 C. D.
10、 (2009年浙江理9)过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
11.设双曲线的左、右焦点为、,若该双曲线上有一点到点的距离为,且的内切圆圆心的横坐标为,则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.设为常数，动点分别与两定点的连线的斜率之积为定值λ，若点M的轨迹是离心率为双曲线，则λ的值为 （ ）
A．2 B．－2 C．3 D．
13．为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，为坐标原点，过点作中的外角的角平分线所在直线的垂线，垂足为，则线段长的范围是（ ）
A． B． C． D．
14．从双曲线的切线FP交双曲线右支于点P，T为
切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|—|MT|等于（ ）
A． B． C． D．
９.(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考)从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为（ ）
A、 B、
C、 D、不确定
答案 B
15、 (2008年海南理14)设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 ．
考点４：直线与双曲线的位置关系
1． 已知双曲线中心在原点且一个焦点为直线与其相交于两
点，中点的横坐标为则此双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
2. 已知双曲线，被方向向量为的直线截得的弦的中点
为（4，1），则该双曲线离心率的值是 （ ）
A． B． C． D．2
3．不论取值何值，直线与曲线总有公共点，则实数的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
4.直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ）
A.e> B.1
5．已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴
的直线交双曲线于A、B两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是
（ ）
A． B． C．D．
6.已知，过的直线交双曲线于、两点，且，
则的方程是 ，若坐标改为)，其它条件不变，则的方程是 .
7. 无论m为任何实数，直线与双曲线恒有公共点
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
（2）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足，
求双曲线C的方程。
8.直线的右支交于不同的两点A、B.
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
第二讲：双曲线课后作业
1、以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2、若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3、双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率（ ）
A. B. C. D.
4、已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为，若双曲线上
有一点，使得，则双曲线的焦点（ ）
A、在轴上 B、在轴上 C、当时在轴上 D、当时在轴上
5、已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
6、过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )
A. B. C. D.
7、设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
（A） （B）2 （C） （D）
8、过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于
9、(08年上海理)已知双曲线，为上的任意点。
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点的坐标为，求的最小值；
10、已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交
于不同的两点，证明的大小为定值
课后作业答案：
1、A；2、A；3、B；4、B；5C；6、A；7，C 8、2；
9、【解析】（1）设是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是和. ……2分
点到两条渐近线的距离分别是和， ……4分
它们的乘积是.
点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分
（2）设的坐标为，则 …8分
……11分
，13分 当时，的最小值为，即的最小值为. 15分
10、【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得，解得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴，∴所求双曲线的方程为.
（Ⅱ）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
圆在点处的切线方程为，
化简得.由及得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
①
②
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，设A、B两点的坐标分别为，
则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴，∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m
（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.
答案：考点1：定义应用
1.已知双曲线的实轴长为8，直线过焦点F1交双曲线的同一分支与M，N且,则的周长（F2为另一个焦点）为 B
A.28 B.30 C.24 D.20
2.（09年辽宁）已知F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________。
答案：9 设双曲线的右焦点为E，则，
，当A、P、E共线时，
，的最小值为9。
3.椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个焦点，则的值为 B
A. B. C. D.
4．在正三角形ABC中，，则以B、C为焦点，且
过D、E的双曲线的离心率为 D
A． B． C． D．+1
5.P为双曲线的右支上一点，分别是圆和
上的点，则的最大值为 9
考点2；求适合条件的双曲线的标准方程
1．虚轴长为12，离心率为；
2.两顶点间距离为，渐近线方程为；或
3.与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）的双曲线方程是 ；
解法一：（1）设双曲线的方程为－=1，由题意得
解得a2=，b2=4.所以双曲线的方程为－=1.
解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝（≠0），
将点（－3，2）代入得＝，所以双曲线方程为－＝.
4.与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.
解：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.
又双曲线过点（3，2），∴－=1.
又∵a2+b2=，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为－=1.
解法二：设双曲线方程为－＝1，
将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.
5.已知动圆与外切，与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程。
6.已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，求该双曲线的方程.
考点3：双曲线的基本性质
1．若为双曲线上的一点，为一个焦点，以为直径的圆与以实轴为直径的圆的位置关系是 A
A.相切 Ｂ.相交 C.相离 D.以上三种情况均有可能
2.过双曲线的左焦点作直线L交双曲线于A， B两点，若，则满足条件的直线有几条 C
A .1条 B .2条 C .3条 D .4
3.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上满足＝，则的面积是 C
A. 1 B. C. D.
4. 双曲线的渐进线方程,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
5.与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离是
A. B.2 C.3 D.4
6.设双曲线的左、右焦点为、,若该双曲线上有一点到点的距离为,且的内切圆圆心的横坐标为,则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
7.设为常数，动点分别与两定点的连线的斜率之积为定值λ，若点M的轨迹是离心率为双曲线，则λ的值为
A．2 B．－2 C．3 D．
8．为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，为坐标原点，过点作中的外角的角平分线所在直线的垂线，垂足为，则线段长的范围是
A． B． C． D．
9．已知双曲线的左、右顶点分别为、，为其右支上一点，且
，则等于
A． B． C． D无法确定
10．从双曲线的切线FP交双曲线右支于点P，T为
切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|—|MT|等于（C ）
A． B． C． D．
11、在平面直角坐标系中,已知的顶点和,点在双曲线的右支上,则___________.
12．已知点是双曲线上一动点,是双曲线的两个焦点，是坐标原点,则取值范围是_________ .
考点４：直线与双曲线的位置关系
2． 已知双曲线中心在原点且一个焦点为直线与其相交于两
点，中点的横坐标为则此双曲线的方程是 D
A． B． C． D．
2. 已知双曲线，被方向向量为的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值是
A． B． C． D．2
3．不论取值何值，直线与曲线总有公共点，则实数的取值范围是( B )
(A) (B) (C) (D)
4.直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是
A.e> B.1
5．已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴
的直线交双曲线于A、B两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是
（ A）
A． B． C．D．
6.已知，过的直线交双曲线于、两点，且，
则的方程是 ，若坐标改为)，其它条件不变，则的方程是 .
7.直线的右支交于不同的两点A、B.
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
（Ⅰ）将直线
……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得
……②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.
则由FA⊥FB得：
整理得……③
把②式及代入③式化简得
实战训练
1、（2008年海南卷）双曲线的焦距为（ D ）
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
２．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是
A． B．
C． D．
３、方程表示双曲线,则的取值范围是( C )
A k<2或k>5 B. 2C.k>5或－22
４、双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率B
A. B. C. D.
５、过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若｜ＡＢ｜＝４，则这样的直线l有 ( C )
(A) 1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
6.已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为，若双曲线上
有一点，使得，则双曲线的焦点（ B ）
A、在轴上 B、在轴上 C、当时在轴上 D、当时在轴上
7.已知双曲线的离心率为，是左右顶点，点P为双曲线上一点，满足，则两直线与的斜率之和为 .3
8．过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_______2
9.如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.
解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.
设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)
由e2=，得.
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x
设点P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),
则由点P分所成的比λ==2,
得P点坐标为(),
又点P在双曲线=1上，
所以=1,
即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①
即x1x2= ②
由①、②得a2=4,b2=9
故双曲线方程为=1.
10. 无论m为任何实数，直线与双曲线恒有公共点
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
（2）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足，求双曲线C的方程。
7. （1）联立，得
当时，，直线与双曲线无交点，矛盾
直线与双曲线恒有交点，恒成立
（2），则直线l的方程
联立得
整理得：
所求的双曲线方程为
11.垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0， y0）
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.
解（Ⅰ）证明：
①
直线A2N的方程为 ②……4分
①×②，得
（Ⅱ）
……10分
当……12分
直击高考
１．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
C 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．
２.已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交
于不同的两点，证明的大小为定值..w.k.s.5.u.c.o.m
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得，解得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴，∴所求双曲线的方程为.
（Ⅱ）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
圆在点处的切线方程为，化简得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由及得，
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，且，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设A、B两点的坐标分别为，
则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ∵，且
，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .
∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m
【解法2】（Ⅰ）同解法1.
（Ⅱ）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
圆在点处的切线方程为，
化简得.由及得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
①
②
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，设A、B两点的坐标分别为，
则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴，∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m
（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.
３.已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1) 求线段的中点的轨迹的方程;
(2) 设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.
21．解： (1) 由已知得,则直线的方程为:,
令得,即,
设,则,即代入得:,
即的轨迹的方程为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2) 在中令得,则不妨设,
于是直线的方程为:,直线的方程为:,
则,
则以为直径的圆的方程为: ,
令得:,而在上,则,
于是,即以为直径的圆过两定点.
2007年-2010年新课标高考数学（理科）试题分类精编
第17部分-双曲线
一.选择题
1.（2010年全国理12）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为
(A) (B) (C) (D)
【答案】B 解析：由已知条件易得直线的斜率为，设双曲线方程为，，则有，两式相减并结合得，，从而，即，又，解得，故选B．
2.（2010年天津理5）. 已知双曲线的一条渐近线方程是 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
（A） HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 （B）
（C） （D）
【答案】B【解析】因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，所以F（-6，0）是双曲线的左焦点，即，又双曲线的一条渐近线方程是 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ， 所以，解得，，所以双曲线的方程为，
3.( 2010年福建理7)若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B【解析】因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，
所以双曲线方程为，设点P，则有，
解得，因为，，
所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。
【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
4.( 2010年辽宁理9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。
【解析】设双曲线方程为，则F（c,0）,B(0,b)
直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac
所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去）
5.( 2010年安徽理5)双曲线方程为，则它的右焦点坐标为
A、 B、 C、 D、
C【解析】双曲线的，，，所以右焦点为.
【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论.
6.（2010年浙江理8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题
7.（2009年海南理4）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为
（A） （B）2 （C） （D）1
解析：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,选A
8.(2009年山东理9) 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. B. 5 C. D.
【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,
所以,,故选D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【命题立意】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.
9.（2009年安徽理3）下列曲线中离心率为的是高.考.资.源.网
（A） （B） （C） （D）高.考.资.源.网
[解析]由得，选B
10.(2009年浙江理9)过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
C 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．
二.填空题
1.(2010年上海理13)如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是
解析：
=，点P在双曲线上
，化简得4ab1
2.（2010年北京理13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦
点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为，又双曲线离心率为2，即，故，渐近线为
3.(2010年江苏6)在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______
【答案】4
[解析]考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。
4. (2009年辽宁理16)已知F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），
P是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________。
[解析]9 设双曲线的右焦点为E，则，
，当A、P、E共线时，
，的最小值为9。
5.(2008年海南理14)设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 ．
解：双曲线的右顶点坐标，右焦点坐标，设一条渐近线方程为，
建立方程组，得交点纵坐标，从而
6.(2007年海南理13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线
的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】：3【分析】：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别
向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，
则：
三.解答题
1. (2010年广东理20)（本小题满分为14分）
一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；
（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。
故，即。
（2）设，则由 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 知，。将代入得
，即，
由与E只有一个交点知，，即[][来源。
同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，从而
，即。
2.(2009年陕西理21)（本小题满分12分）
已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。
（I）求双曲线C的方程；
(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线∴
由 得 ∴双曲线C的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为设 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得P点的坐标为
将P点坐标代入化简得
设∠AOB
又
记由
当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范围是
解答二（Ⅰ）同解答一
（Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知
由{ 得A点的坐标为
由{ 得B点的坐标为由得P点的坐标为 将P点坐标代入
设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.
= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
以下同解答一.
3.(2009年上海理21)（本题满分16分）
本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。
已知双曲线设过点的直线l的方向向量
（1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2） 证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。
解21.（1）双曲线C的渐近线
直线l的方程………………..6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
直线l与m的距离……….8分
（2）设过原点且平行与l的直线
则直线l与b的距离当 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又双曲线C的渐近线为 双曲线C的右支在直线b的右下方，
双曲线右支上的任意点到直线的距离为。
故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。
[ 证法二] 双曲线的右支上存在点到直线的距离为，
则由（1）得，
设
当，0………………………………..13分
将 代入（2）得 （*）
方程（*）不存在正根，即假设不成立w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为…………….16分
20080808
1,3,5
20080418
A
y
x
F
E
P
OX
1,3,5
20080418
A
y
x
F
E
P
OX
PAGE
9
第二讲双曲线学案
考点要求：在历年的高考中，双曲线通常从以下几个方面进行考查：
1.位置问题，常涉及直线与曲线交点的判断、弦长、面积、对称、共线等问题.其解法是充分利用方程思想以及韦达定理.
2.最值问题，.其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.
3.范围问题，范围问题主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围，其解法主要有运用双曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.
以上这些问题由于综合性较强，常用来综合考查学生在数形结合、等价转化、分类转化、逻辑推理等多方面的能力. 值得我们注意的就是圆锥曲线的实质就是用代数的方法研究几何问题。
考点知识：
1.双曲线的定义
第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
即||MF1|-|MF2||=2a(<|F1F2|). M为动点，F1、F2为定点，a为常数.
第二定义：平面内到定点F的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即：（d为动点到定直线l的距离）
3、焦半径公式：
4、焦三角形公式：在双曲线（＞0，＞0）中，焦点分别为、，点P是双曲线上任意一点，，则.
考点1：定义应用
1.已知双曲线的实轴长为8，直线过焦点F1交双曲线的同一分支与M，N且,则的周长（F2为另一个焦点）为（ ）
A.28 B.30 C.24 D.20
2.（09年辽宁）已知F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________。
3.椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个焦点，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
4．在正三角形ABC中，，则以B、C为焦点，且
过D、E的双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．+1
5.(06江西)P为双曲线的右支上一点，分别是圆和
上的点，则的最大值为
考点2；求适合条件的双曲线的标准方程
1.与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点的双曲线方程是
2.以椭圆的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程是
3．（2010年天津理）已知双曲线的一条渐近线方程是 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线方程是
4.已知动圆与外切，与圆,则动圆圆心的轨迹方程为 。
5．已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程 .
6、(2008山东10) 设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26. 若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
考点3：双曲线的基本性质
1．若为双曲线上的一点，为一个焦点，以为直径的圆与以实轴为直径的圆的位置关系是 （ ）
A.相切 Ｂ.相交 C.相离 D.以上三种情况均有可能
2.过双曲线的左焦点作直线L交双曲线于A， B两点，若，则满足条件的直线有几条 （ ）
A .1条 B .2条 C .3条 D .4
3.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上满足＝，则的面积是 （ ）
A. 1 B. C. D.
4、（2009年安徽理3）下列曲线中离心率为的是（ ）高.考.资.源.网
（A） （B） （C） （D）高.考.资.
5.与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）
A. B.2 C.3 D.4
6、( 2010年福建理7)若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
7、( 2010年辽宁理9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
8、（2010年浙江理8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、(2009年山东理9) 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. B. 5 C. D.
10、 (2009年浙江理9)过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
11.设双曲线的左、右焦点为、,若该双曲线上有一点到点的距离为,且的内切圆圆心的横坐标为,则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.设为常数，动点分别与两定点的连线的斜率之积为定值λ，若点M的轨迹是离心率为双曲线，则λ的值为 （ ）
A．2 B．－2 C．3 D．
13．为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，为坐标原点，过点作中的外角的角平分线所在直线的垂线，垂足为，则线段长的范围是（ ）
A． B． C． D．
14．从双曲线的切线FP交双曲线右支于点P，T为
切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|—|MT|等于（ ）
A． B． C． D．
９.(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考)从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为（ ）
A、 B、
C、 D、不确定
答案 B
15、 (2008年海南理14)设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 ．
考点４：直线与双曲线的位置关系
1． 已知双曲线中心在原点且一个焦点为直线与其相交于两
点，中点的横坐标为则此双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
2. 已知双曲线，被方向向量为的直线截得的弦的中点
为（4，1），则该双曲线离心率的值是 （ ）
A． B． C． D．2
3．不论取值何值，直线与曲线总有公共点，则实数的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
4.直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ）
A.e> B.1
5．已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴
的直线交双曲线于A、B两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是
（ ）
A． B． C．D．
6.已知，过的直线交双曲线于、两点，且，
则的方程是 ，若坐标改为)，其它条件不变，则的方程是 .
7. 无论m为任何实数，直线与双曲线恒有公共点
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
（2）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足，
求双曲线C的方程。
8.直线的右支交于不同的两点A、B.
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
第二讲：双曲线课后作业
1、以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2、若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3、双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率（ ）
A. B. C. D.
4、已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为，若双曲线上
有一点，使得，则双曲线的焦点（ ）
A、在轴上 B、在轴上 C、当时在轴上 D、当时在轴上
5、已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
6、过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )
A. B. C. D.
7、设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
（A） （B）2 （C） （D）
8、过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于
9、(08年上海理)已知双曲线，为上的任意点。
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点的坐标为，求的最小值；
10、已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交
于不同的两点，证明的大小为定值
课后作业答案：
1、A；2、A；3、B；4、B；5C；6、A；7，C 8、2；
9、【解析】（1）设是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是和. ……2分
点到两条渐近线的距离分别是和， ……4分
它们的乘积是.
点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分
（2）设的坐标为，则 …8分
……11分
，13分 当时，的最小值为，即的最小值为. 15分
10、【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得，解得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴，∴所求双曲线的方程为.
（Ⅱ）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
圆在点处的切线方程为，
化简得.由及得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
①
②
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，设A、B两点的坐标分别为，
则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴，∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m
（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.
答案：考点1：定义应用
1.已知双曲线的实轴长为8，直线过焦点F1交双曲线的同一分支与M，N且,则的周长（F2为另一个焦点）为 B
A.28 B.30 C.24 D.20
2.（09年辽宁）已知F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________。
答案：9 设双曲线的右焦点为E，则，
，当A、P、E共线时，
，的最小值为9。
3.椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个焦点，则的值为 B
A. B. C. D.
4．在正三角形ABC中，，则以B、C为焦点，且
过D、E的双曲线的离心率为 D
A． B． C． D．+1
5.P为双曲线的右支上一点，分别是圆和
上的点，则的最大值为 9
考点2；求适合条件的双曲线的标准方程
1．虚轴长为12，离心率为；
2.两顶点间距离为，渐近线方程为；或
3.与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）的双曲线方程是 ；
解法一：（1）设双曲线的方程为－=1，由题意得
解得a2=，b2=4.所以双曲线的方程为－=1.
解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝（≠0），
将点（－3，2）代入得＝，所以双曲线方程为－＝.
4.与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.
解：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.
又双曲线过点（3，2），∴－=1.
又∵a2+b2=，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为－=1.
解法二：设双曲线方程为－＝1，
将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.
5.已知动圆与外切，与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程。
6.已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，求该双曲线的方程.
考点3：双曲线的基本性质
1．若为双曲线上的一点，为一个焦点，以为直径的圆与以实轴为直径的圆的位置关系是 A
A.相切 Ｂ.相交 C.相离 D.以上三种情况均有可能
2.过双曲线的左焦点作直线L交双曲线于A， B两点，若，则满足条件的直线有几条 C
A .1条 B .2条 C .3条 D .4
3.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上满足＝，则的面积是 C
A. 1 B. C. D.
4. 双曲线的渐进线方程,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
5.与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离是
A. B.2 C.3 D.4
6.设双曲线的左、右焦点为、,若该双曲线上有一点到点的距离为,且的内切圆圆心的横坐标为,则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
7.设为常数，动点分别与两定点的连线的斜率之积为定值λ，若点M的轨迹是离心率为双曲线，则λ的值为
A．2 B．－2 C．3 D．
8．为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，为坐标原点，过点作中的外角的角平分线所在直线的垂线，垂足为，则线段长的范围是
A． B． C． D．
9．已知双曲线的左、右顶点分别为、，为其右支上一点，且
，则等于
A． B． C． D无法确定
10．从双曲线的切线FP交双曲线右支于点P，T为
切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|—|MT|等于（C ）
A． B． C． D．
11、在平面直角坐标系中,已知的顶点和,点在双曲线的右支上,则___________.
12．已知点是双曲线上一动点,是双曲线的两个焦点，是坐标原点,则取值范围是_________ .
考点４：直线与双曲线的位置关系
2． 已知双曲线中心在原点且一个焦点为直线与其相交于两
点，中点的横坐标为则此双曲线的方程是 D
A． B． C． D．
2. 已知双曲线，被方向向量为的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值是
A． B． C． D．2
3．不论取值何值，直线与曲线总有公共点，则实数的取值范围是( B )
(A) (B) (C) (D)
4.直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是
A.e> B.1
5．已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴
的直线交双曲线于A、B两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是
（ A）
A． B． C．D．
6.已知，过的直线交双曲线于、两点，且，
则的方程是 ，若坐标改为)，其它条件不变，则的方程是 .
7.直线的右支交于不同的两点A、B.
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
（Ⅰ）将直线
……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得
……②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.
则由FA⊥FB得：
整理得……③
把②式及代入③式化简得
实战训练
1、（2008年海南卷）双曲线的焦距为（ D ）
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
２．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是
A． B．
C． D．
３、方程表示双曲线,则的取值范围是( C )
A k<2或k>5 B. 2
４、双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率B
A. B. C. D.
５、过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若｜ＡＢ｜＝４，则这样的直线l有 ( C )
(A) 1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
6.已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为，若双曲线上
有一点，使得，则双曲线的焦点（ B ）
A、在轴上 B、在轴上 C、当时在轴上 D、当时在轴上
7.已知双曲线的离心率为，是左右顶点，点P为双曲线上一点，满足，则两直线与的斜率之和为 .3
8．过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_______2
9.如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.
解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.
设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)
由e2=，得.
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x
设点P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),
则由点P分所成的比λ==2,
得P点坐标为(),
又点P在双曲线=1上，
所以=1,
即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①
即x1x2= ②
由①、②得a2=4,b2=9
故双曲线方程为=1.
10. 无论m为任何实数，直线与双曲线恒有公共点
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
（2）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足，求双曲线C的方程。
7. （1）联立，得
当时，，直线与双曲线无交点，矛盾
直线与双曲线恒有交点，恒成立
（2），则直线l的方程
联立得
整理得：
所求的双曲线方程为
11.垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0， y0）
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.
解（Ⅰ）证明：
①
直线A2N的方程为 ②……4分
①×②，得
（Ⅱ）
……10分
当……12分
直击高考
１．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
C 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．
２.已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交
于不同的两点，证明的大小为定值..w.k.s.5.u.c.o.m
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得，解得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴，∴所求双曲线的方程为.
（Ⅱ）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
圆在点处的切线方程为，化简得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由及得，
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，且，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设A、B两点的坐标分别为，
则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ∵，且
，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .
∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m
【解法2】（Ⅰ）同解法1.
（Ⅱ）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
圆在点处的切线方程为，
化简得.由及得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
①
②
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，设A、B两点的坐标分别为，
则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴，∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m
（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.
３.已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1) 求线段的中点的轨迹的方程;
(2) 设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.
21．解： (1) 由已知得,则直线的方程为:,
令得,即,
设,则,即代入得:,
即的轨迹的方程为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2) 在中令得,则不妨设,
于是直线的方程为:,直线的方程为:,
则,
则以为直径的圆的方程为: ,
令得:,而在上,则,
于是,即以为直径的圆过两定点.
2007年-2010年新课标高考数学（理科）试题分类精编
第17部分-双曲线
一.选择题
1.（2010年全国理12）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为
(A) (B) (C) (D)
【答案】B 解析：由已知条件易得直线的斜率为，设双曲线方程为，，则有，两式相减并结合得，，从而，即，又，解得，故选B．
2.（2010年天津理5）. 已知双曲线的一条渐近线方程是 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
（A） HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 （B）
（C） （D）
【答案】B【解析】因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，所以F（-6，0）是双曲线的左焦点，即，又双曲线的一条渐近线方程是 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ， 所以，解得，，所以双曲线的方程为，
3.( 2010年福建理7)若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B【解析】因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，
所以双曲线方程为，设点P，则有，
解得，因为，，
所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。
【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
4.( 2010年辽宁理9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。
【解析】设双曲线方程为，则F（c,0）,B(0,b)
直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac
所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去）
5.( 2010年安徽理5)双曲线方程为，则它的右焦点坐标为
A、 B、 C、 D、
C【解析】双曲线的，，，所以右焦点为.
【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论.
6.（2010年浙江理8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题
7.（2009年海南理4）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为
（A） （B）2 （C） （D）1
解析：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,选A
8.(2009年山东理9) 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. B. 5 C. D.
【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,
所以,,故选D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【命题立意】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.
9.（2009年安徽理3）下列曲线中离心率为的是高.考.资.源.网
（A） （B） （C） （D）高.考.资.源.网
[解析]由得，选B
10.(2009年浙江理9)过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
C 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．
二.填空题
1.(2010年上海理13)如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是
解析：
=，点P在双曲线上
，化简得4ab1
2.（2010年北京理13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦
点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为，又双曲线离心率为2，即，故，渐近线为
3.(2010年江苏6)在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______
【答案】4
[解析]考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。
4. (2009年辽宁理16)已知F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），
P是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________。
[解析]9 设双曲线的右焦点为E，则，
，当A、P、E共线时，
，的最小值为9。
5.(2008年海南理14)设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 ．
解：双曲线的右顶点坐标，右焦点坐标，设一条渐近线方程为，
建立方程组，得交点纵坐标，从而
6.(2007年海南理13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线
的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】：3【分析】：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别
向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，
则：
三.解答题
1. (2010年广东理20)（本小题满分为14分）
一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；
（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。
故，即。
（2）设，则由 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 知，。将代入得
，即，
由与E只有一个交点知，，即[][来源。
同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，从而
，即。
2.(2009年陕西理21)（本小题满分12分）
已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。
（I）求双曲线C的方程；
(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线∴
由 得 ∴双曲线C的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为设 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得P点的坐标为
将P点坐标代入化简得
设∠AOB
又
记由
当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范围是
解答二（Ⅰ）同解答一
（Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知
由{ 得A点的坐标为
由{ 得B点的坐标为由得P点的坐标为 将P点坐标代入
设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.
= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
以下同解答一.
3.(2009年上海理21)（本题满分16分）
本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。
已知双曲线设过点的直线l的方向向量
（1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2） 证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。
解21.（1）双曲线C的渐近线
直线l的方程………………..6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
直线l与m的距离……….8分
（2）设过原点且平行与l的直线
则直线l与b的距离当 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又双曲线C的渐近线为 双曲线C的右支在直线b的右下方，
双曲线右支上的任意点到直线的距离为。
故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。
[ 证法二] 双曲线的右支上存在点到直线的距离为，
则由（1）得，
设
当，0………………………………..13分
将 代入（2）得 （*）
方程（*）不存在正根，即假设不成立w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为…………….16分
20080808
1,3,5
20080418
A
y
x
F
E
P
OX
1,3,5
20080418
A
y
x
F
E
P
OX
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