高二数学寒假补习学案椭圆

平阳三中高二数学寒假补习学案椭圆
一、知识归纳：
1．椭圆的定义.__________________________________________________.
定义中“距离的和”记为____，焦距记为____。则当____时，轨迹为椭圆；则当____
时，轨迹为线段；则当____时，轨迹不存在。
2.椭圆的方程.
(1)标准方程______________________, ________________________；
(2)一般方程______________________.
3.椭圆的几何性质：以方程为例.
范围_________；对称轴__________________、对称中心________；顶点坐标_________；
焦点坐标_________；离心率的取值范围____________.
二、学习要点：
1.求椭圆的方程要考虑焦点的位置，若焦点的位置难确定时，可设所求方程为
2.与两个焦点有关的问题，常用定义、正余弦定理求解。
三、例题讲评：
例1.(1).已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和点，则椭圆的方程为___________________________.
答案:；
(2).点与点的距离和它到直线的距离的比是，则点的轨迹方程
___________________________.
答案: ;
(3).已知椭圆和直线：上取一点，经过点且以已知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程.
解：由已知椭圆得其焦点为和，它们也是所求椭圆焦点，
所求椭圆方程可设为依条件知l与椭圆相切，
由消去y得： ①
方程①的 化简得 ②
又和得 ②
由②②联立解得 故所求的方程为
(4).中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为.（1）求椭圆的方程;（2）求弦长。
解：法一（点差法）
法二：（1）设椭圆的方程为
由消去并整理得
设椭圆与直线两交点的横坐标分别为、，由韦达定理得
由弦的中点横坐标为得即（1）.
由椭圆焦点为F1（0，）得（2）
由（1）、（2）解得、故所求的方程为
（2）由弦长公式得
(5)椭圆的弦被点所平分，则此弦所在的直线的方程为
例2(1)椭圆+y2=1（a>1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点,且∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|的值为( D )
A.1 B. C. D.
(2).椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；
的大小为 .
.w(3((2)解析.c.o.m本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵，
∴，
∴，
又，∴， （第13题解答图）
又由余弦定理，得，
∴，故应填.
(3)已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________.
解析:依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。
(4)椭圆=1上一点P到两焦点的距离之积为m，当m取最大值时，P点坐标为
A. B.（）（）C.（）（－） D.
例3(1).已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是
A． B． C． D．
答案 (1)D解析:对于椭圆，因为，则
(2)（09江西卷理6）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】因为，再由有从而可得，故选B
(3)（09江苏卷13）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .
【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。
直线的方程为：；
直线的方程为：。二者联立解得：，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则在椭圆上，
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解得：
例4.（2010浙江理数）(21)已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.
解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
（Ⅰ）解：因为直线经过，所以,得，
又因为，所以，
故直线的方程为。
（Ⅱ）解：设。
由，消去得
则由，知，
且有。
由于，
故为的中点，
由，
可知
设是的中点，则，
由题意可知
即
即
而
所以
即
又因为且
所以。
所以的取值范围是。
平阳三中高二数学寒假补习学案椭圆同步作业
一、选择题
1．已知椭圆过点P(，－4)和点Q(－，3)，则此椭圆的标准方程是(　　)
A.＋x2＝1 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1或x2＋＝1 D．以上都不对
【解析】　设椭圆的方程为
Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
则，
解得A＝1，B＝，故选A.
【答案】　A
2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率
是(　　)
A. B. C. D.
【解析】　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
令x＝±c得y2＝，∴|AB|＝，
由题意得：2c＝·，即3a4－10a2c2＋3c4＝0，
∴a2＝3c2，∴e＝＝.
【答案】　A
3．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|＝1，则MF1的长等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．5
【解析】　由椭圆方程知a＝4，
∴|MF1|＋|MF2|＝8，
∴|MF1|＝8－|MF2|＝8－2|ON|＝8－2＝6.
【答案】　C
4．(2009年石家庄模拟)过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　)
A．2 B．－2 C. D．－
【解析】　由题意知直线m的方程为y＝k1(x＋2)，
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
由得
(1＋2k12)x2＋8k12x＋8k12－2＝0，
∴x1＋x2＝－，∴y1＋y2＝，
∴P(－，)，
∴k2＝＝－，∴k1k2＝－.
【答案】　D
5．(2009年郑州模拟)如图，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B．1－ C.－1 D.
【解析】　由已知得a2＋(a2＋b2)＝(a＋c)2，
即c2＋ac－a2＝0，∴e2＋e－1＝0，
∵1＞e＞0，∴e＝.
【答案】　A
二、填空题
6．F1、F2是椭圆＋＝1的两焦点，P为椭圆的一个顶点，若△PF1F2是等边三角形，则a2＝________.
【解析】　若a2＞9，则有a2＝4(a2－9)，
解得a2＝12.
若a2＜9，则有9＝4(9－a2)，解得a2＝.
【答案】　12或
7．我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0)．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为________．
【解析】　由已知|F1F2|＝2＝1①
又因为△F0F1F2是边长为1的等边三角形，
所以cos 30°＝，∴c＝，代入①式得b＝1，
∴a＝＝＝.
【答案】　　1
8．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝2的位置关系是________．(填“在圆内”、“在圆上”或“在圆外”)
【解析】　由已知得＝，∴a＝2c，
∴b2＝a2－c2＝3c2，∴b＝c，
∴方程即为2cx2＋cx－c＝0，
2x2＋x－1＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x1＝－，
x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝＜2.
∴点P(x1，x2)在圆x2＋y2＝2内．
【答案】　在圆内
三、解答题
9．(2009年上海高考)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)．
【解析】　设探测器运行轨道方程为
＋＝1(a＞b＞0)，c＝.
∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，∴a＝438，c＝396.
于是b2＝a2－c2＝35 028，
∴探测器运行轨道方程为＋＝1.
设变轨时，探测器位于P(x0，y0)，
则x02＋y02＝ab≈81 975.1，＋＝1，
解得x0≈239.7，y0≈156.7(符合题意)，
∴探测器在变轨时与火星表面的距离为
－R≈187.3.
即探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．
10．(2009年安徽模拟)已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.
(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．
【解析】　(1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为y＝x.
设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由，得x＝±1.
所以|AB|＝|x1－x2|＝2.
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
所以h＝，S△ABC＝|AB|·h＝2.
(2)设AB所在直线的方程为y＝x＋m，
由，得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.
因为A，B在椭圆上，所以Δ＝－12m2＋64＞0.
设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|AB|＝|x1－x2|＝.又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝.
所以|AC|2＝|AB|2＋|BC|2
＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11.
所以当m＝－1时，AC边最长(这时Δ＝－12＋64＞0)，
此时AB所在直线的方程为y＝x－1.
平阳三中高二数学寒假补习学案椭圆
一、知识归纳：
1．椭圆的定义.__________________________________________________.
定义中“距离的和”记为____，焦距记为____。则当____时，轨迹为椭圆；则当____
时，轨迹为线段；则当____时，轨迹不存在。
2.椭圆的方程.
(1)标准方程______________________, ________________________；
(2)一般方程______________________.
3.椭圆的几何性质：以方程为例.
范围_________；对称轴__________________、对称中心________；顶点坐标_________；
焦点坐标_________；离心率的取值范围____________.
二、学习要点：
1.求椭圆的方程要考虑焦点的位置，若焦点的位置难确定时，可设所求方程为
2.与两个焦点有关的问题，常用定义、正余弦定理求解。
三、例题讲评：
例1.(1).已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和点，则椭圆的方程为___________________________.
(2).点与点的距离和它到直线的距离的比是，则点的轨迹方程
___________________________.
(3).已知椭圆和直线：上取一点，经过点且以已知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程.
(4).中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为.（1）求椭圆的方程;（2）求弦长。
(5)椭圆的弦被点所平分，则此弦所在的直线的方程为
例2(1)椭圆+y2=1（a>1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点,且∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|的值为( )
A.1 B. C. D.
(2).椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .
(3)已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________.
(4)椭圆=1上一点P到两焦点的距离之积为m，当m取最大值时，P点坐标为
A. B.（）（）C.（）（－） D.
例3(1).已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是
A． B． C． D．
(2)（09江西卷理6）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u
(3)（09江苏卷13）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .
例4.（2010浙江理数）(21)已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.
平阳三中高二数学寒假补习学案椭圆同步作业
一、选择题
1．已知椭圆过点P(，－4)和点Q(－，3)，则此椭圆的标准方程是(　　)
A.＋x2＝1 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1或x2＋＝1 D．以上都不对
2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
3．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|＝1，则MF1的长等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．5
4．(2009年石家庄模拟)过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　)
A．2 B．－2 C. D．－
5．(2009年郑州模拟)如图，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B．1－ C.－1 D.
二、填空题
6．F1、F2是椭圆＋＝1的两焦点，P为椭圆的一个顶点，若△PF1F2是等边三角形，则a2＝________.
7．我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0)．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为________．
8．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝2的位置关系是________．(填“在圆内”、“在圆上”或“在圆外”)
三、解答题
9．(2009年上海高考)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)．
10．(2009年安徽模拟)已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.
(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．