江苏省徐州市2010-2011学年度第一学期期末考试高二数学（理）试题

江苏省徐州市2010－2011学年度第一学期期末考试
高二数学(理)试题
一、填空题：本大题共14小题，每题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．抛物线的焦点坐标是 ▲ ．
2．命题“”的否定是 ▲ ．
3．过点且与直线平行的直线方程是 ▲ ．
4．已知直线：与直线：相互垂直，则实数等于 ▲ ．
5．已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积
为 ▲ ．
6．已知点与圆，是圆上任意一点，则的最小值
是 ▲ ．
7．已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数等于 ▲ ．
8．棱长为的正方体的外接球的表面积为 ▲ ．
9．曲线在处的切线方程为 ▲ ．
10．已知向量，则与相互垂直的充要条件
为 ▲ ．
11．椭圆的右焦点为，右准线为，若过点且垂直于轴的弦的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 ▲ ．
12．设为两个不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的序号是 ▲ ．
13．设为抛物线的焦点，点在此抛物线上，若，则 ▲ ．
14．如图，有一块半椭圆形的钢板，其长半轴长为，短半轴长
为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆
的短轴，上底的端点在椭圆上，则梯形的面积的
最大值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
已知过点的圆的圆心为．
⑴求圆的方程；
⑵若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，且分别是的中点．
⑴求证：平面平面；
⑵求三棱锥的体积．
17．(本小题满分14分)
椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过点与椭圆交于两点．
⑴求的周长；
⑵若的倾斜角为，求的面积．
18．(本小题满分16分)
某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量关于行驶速度的函数解析式可以表示为：．已知甲、乙两地相距，设汽车的行驶速度为，从甲地到乙地所需时间为，耗油量为．
⑴求函数及；
⑵求当为多少时，取得最小值,并求出这个最小值．
19．(本小题满分16分)
在如图所示的几何体中，平面，平面，，
，是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
⑴求证：；
⑵求与平面所成角的大小．
20．(本小题满分16分)
已知函数在上为增函数，且，
．
⑴求的值；
⑵若函数在上为单调函数，求实数的取值范围；
⑶设，若在上至少存在一个，使得成立，
求实数的取值范围．
江苏省徐州市2010－2011学年度第一学期期末考试
高二数学(理)答案与评分标准
一、填空题：
1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12．②③④ 13． 14．
二、解答题：
15．⑴圆半径即为，所以，……………2分
所以圆的方程为．……………………………………6分
⑵圆心到直线的距离为，……………………………………8分
当直线垂直于轴时，方程为，不满足条件，所以直线的斜率存在，10分
设直线的方程为，即，
由，解得，所以直线的方程为．…14分
16．⑴连结，因为是正方形，所以，
因为，分别是，的中点，
所以，所以，………………………4分
因为平面，平面，
所以，因为，
所以，
因为平面，所以平面平面．…………………………8分
⑵．……………………………………14分
17．由椭圆的定义，得，又，
所以，的周长．
又因为，所以，故点周长为．………………………………6分
⑵由条件，得，因为的倾斜角为，所以斜率为，
故直线的方程为．………………………………………………………8分
由消去，得，……………………………………10分
设，解得，
所以，．…………………………14分
18．⑴从甲地到乙地汽车的行驶时间为，………2分
则
．………………………………………8分
⑵，由，得，列出下表：
↓ 极小值 ↑
所以，当时，取得极小值也是最小值．…………………………15分
答：当汽车的行驶速度为时，耗油量最少为．…………………16分
19．⑴分别以所在直线为轴，过点且与平面 垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．…………………………………………2分
设，则，
所以，………4分
所以，
所以．…………………………8分
⑵，设平面的法向量，
则有即令，则，…………………12分
，…………………14分
所以，直线与平面所成的角为．…………………………………16分
20．⑴由题意，在上恒成立，即．
因为，所以，故在上恒成立，
因为是增函数，所以只要，即，
所以，因为，所以．…………………………………3分
⑵由⑴得，，所以．
令，则．
因为在其定义域内为单调函数，
所以或者在上恒成立，…………5分
等价于，即在上恒成立，
而，当且仅当是等号成立，所以．…7分
对于在上恒成立，设，则
①当时，在上恒成立；
②解得．
所以．
综上，的取值范围是．…………………………………………10分
⑶设．
①当时，因为，所以，且，
所以，
所以在上不存在一个，使得成立．…………12分
②当时，，
因为，所以，又，
所以在上恒成立，
所以在上是单调增函数，．
所以只要，解得．
故的取值范围是．…………………………………………………16分
(第14题图)
(第16题图)
(第19题图)