本章教材分析
本章是在有理数的基础上认识实数。本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算。通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题。虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位，本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。
本章教学时间约需7课时，具体分配如下
13．1平方根 2课时
13．2 立方根 1课时
13．3 实数2课时
小 结 2课时
一、课程学习目标
1．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根；
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；
3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化；
4．能用有理数估计一个无理数的大致范围。
二、本章编写特点
加强与实际的联系
本章内容与实际的联系是非常密切的。例如，无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，开平方运算和开立方运算也是实际中经常用到的两种运算，用有理数估计无理数的大小在现实生活中经常遇到等等。因此，本章内容在编写时注意联系实际，对于一些重要的概念和运算紧密结合实际生活展开，例如算术平方根是从已知正方形的面积求它边长、立方根是从已知立方体的体积求它边长等典型的实际问题引出的，再如用有理数估计无理数的大小也是紧密结合实际进行的。编写时，将本章内容与实际紧密联系起来，可以使学生在解决实际问题的过程中，认识实数的有关概念和运算。
加强知识间的纵向联系
本章内容属于数与代数这个领域，有关数的内容，学生在七年级上册已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深刻的认识，本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，本章很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此本章编写时，注意加强知识间的相互联系。
使学生更好地体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化，例如对于绝对值和相反数的概念，实数的运算法则和运算性质，平方与开平方、立方与开立方的互为逆运算关系等都是在有理数的基础上展开的，另外本章前两节平方根立方根在内容上基本是平行的，因此编写立方根这节时，充分利用了类比的方法，例如类比平方根的概念的引入方式给出立方根的概念，类比开平方运算给出开立方运算，类比平方与开平方运算的互逆关系研究立方与开立方运算的互逆关系等，这样的编写方法，有助于加强知识间的相互联系，通过类比已学的知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移。
留给学生探索交流的空间
根据本章内容的特点，对于一些重要的概念和结论，编写时注意了让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程，例如对于平方根概念的引入，教科书首先通过一个问题情景，引出已知正方形的面积求边长的问题，接着又让学生通过填表的方式，计算几个不同面积的正方形的边长，使学生感受到这些问题与以前学过的已知正方形的边长求面积的问题是一个相反的过程。
并由此指出，这些问题抽象成数学问题就是已知一个正数的平方，求这个正数的问题，并在此基础上给出算术平方根的概念，这样就让学生通过一些具体活动，在对算术平方根有些感性认识的基础上归纳给出这个概念，再比如在讨论数的立方根的特征时，教材首先设置探究栏目，在栏目中以填空的方式让学生计算一些具体的正数、负数和0的立方根。
寻找它们各自的特点，通过学生讨论交流等活动，归纳得出正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数的结论，这样就让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程，在探究活动的过程中发展思维能力，有效改变学生的学习方式。
第十三章实数复习小结
1、 班级 姓名
知识结构
2、 基础知识回顾
1．算术平方根。
（1） 定义：
（2） 非负数a的算术平方根的表示方法：
（3） 性质：算术平方根具有双重非负性
1 被开方数a是非负数，即a≥0.
2 算术平方根本身是非负数，即≥0。
也就是说，（ ）的算术平方根是一个正数，
0的算术平方根是（ ），
（ ）没有算术平方根。
2．平方根
（1） 定义：
（2） 非负数a的平方根的表示方法:
（3） 性质： 一个（ ）有两个平方根，这两个平方根( )。
( )只有一个平方根，它是( )。
( )没有平方根。
说明：平方根有三种表示形式：± ， ，－，它们的意义分别是：
3.平方根与算术平方根的区别与联系：
相同点 不同点
平方根 只有非负数才有平方根和算术平方根平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负数的那一个零的平方根和算术平方根都是零 意义不同，个数不同表示方法不同：平方根表示的为，算术平方根表示为平方根等于本身的是0
算术平方根
4．开方运算：
（1） 定义：
1 开平方运算：
2 开立方运算：
（2）平方与开平方式是（ ）关系，故在运算结果中可以相互检验。
5．a2的算术平方根的性质
①当a≥0时，=（ ） ② 当a<0时，=（ ）
一般的，当a<0时，=-a.
我们还知道，当a≥0时，│a│=a；当a<0时，│a│=a.
综上所述，有 a (a≥0)
=│a│=
-a (a<0)
从算术平方根的定义可得：=a (a≥0)
6．立方根
（1） 定义：______________________________.
（2） 数a的立方根的表示方法:_________
（3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关：_________
（4） 两个重要的公式
7．无理数的定义
（ ）叫做无理数
8．有理数与无理数的区别
有理数总可以用（ ）或（ ）表示；反过来，任何（ ）或（ ）也都是有理数。而无理数是（ ）小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。有理数可以化成（ ），无理数不能化成（ ）。
9.常见的无理数类型
（1）一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···
（2）看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
（3）有特定意义的数，如：π=3.14159265···
（4）开方开不尽的数。如：。
10．实数
（1） 概念： ________和________统称为实数。
（2） 分类 按定义分类
_______
________
_______
________ ___ 有限小数或________小数
_______
实数 ________
_______
_________
________ 无限不循环小数
_________
按大小分类 正实数
实数 零
负实数
（3）..实数的有关性质
⑴a与b互为相反数 即a+b=0
⑵a与b互为倒数〈=〉ab=1
⑶任何实数的绝对值都是非负数，即≥0
⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即=
⑸正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.
（4）.实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点是一一对应的关系
（5） 实数的大小比较
1． 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
2． 正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。
（6） 实数中的非负数及其性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数
我们已经学过的非负数有如下三种形式
⑴任何一个实数a的绝对值是非负数，即≥0
⑵任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
⑶任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即≥0
非负数有以下性质
⑴非负数有最小值零
⑵有限个非负数之和仍然是非负数
⑶几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。
实数练习题
一、判断题
（1）带根号的数一定是无理数（ ）； （2）无理数都是无限小数（ ）；
（3）无理数包含正无理数、0、负无理数（ ）；（4）4的平方根是2（ ）；
（5）无理数一定不能化成分数（ ）； （6）是5的平方根（ ）；
（7）一个正数一定有两个平方根（ ）； （8）25的平方根是（ ）
（9）互为相反数的两数的立方根也互为相反数（ ）；
（10）负数的平方根、立方根都是负数（ ）；
（11）①无理数是无限小数（ ）；②无限小数是无理数（ ）；③开方开不尽的数是无理数（ ）；④两个无理数的和是无理数（ ）；⑤无理数的平方一定是有理数（ ）；
二、填空题
（12）把下列各数填入相应的集合中（只填序号）：
① ② ③ ④ ⑤0 ⑥ ⑦ ⑧
有理数集合：｛ …｝无理数集合：｛ …｝正实数集合：｛ …｝负实数集合：｛ …｝
（13）把下列各数填入相应的集合中（只填序号）：
①3.14 ② ③ ④ ⑤0 ⑥ ⑦ ⑧0.15
有理数集合：｛ ｝正数集合｛ ｝
无理数集合：｛ ｝负数集合｛ ｝
（14）36的算术平方根是 ，1.44的平方根是 ，11的平方根是 ，
的平方根是，的算术平方根是 ， 是 的平方。
（15） 的相反数是 、倒数是 、绝对值是 。
（16） 满足的整数是 .
（17） 一个正数的平方等于144, 则这个正数是 , 一个负数的立方等于27,
则这个负数是 , 一个数的平方等于5, 则这个数是 .
（18）如果13是M的一个平方根，那么M的另一个平方根是
（19） 比较大小: 4.9; .(填“>”或“<”)
(20) .9的算术平方根是 ___、3的平方根是 ___, 0的平方根是 ___,-2的平方根是 .
(21). –1的立方根是 ,的立方根是 , 9的立方根是 .
(22) .的相反数是 , 倒数是 , -的绝对值是 .
(23). 比较大小: ; ; 2.35.(填“>”或“<”)
(24). . , = .
(25)．一个数的平方根与立方根相等，这个数是______;立方根等于本身的数是_________. 平方根等于本身的数是________；算术平方根等于本身的数是_____________.
大于0小于的整数是_________；＜x＜的整数x是__________.
(26).
(27).
(28)使
（29）已知
（37）请你观察思考下列计算、过程．
由此猜想：．
3、 选择题：
1. 边长为1的正方形的对角线长是（ ）
A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 不是有理数
2. 在下列各数中是无理数的有( )
-0.333…, , , , 3, 3.1415, 2.010101…(相邻两个1之间有1
个0),76.0123456…(小数部分由相继的正整数组成).
A.3个 B.4个 C. 5个 D. 6个
3. 下列说法正确的是( )
A. 有理数只是有限小数 B. 无理数是无限小数
C. 无限小数是无理数 D. 是分数
4. 下列说法错误的是( )
A. 1的平方根是1 B. –1的立方根是-1
C. 是2的平方根 D. –3是的平方根
5. 若规定误差小于1, 那么的估算值为( )
A. 3 B. 7 C. 8 D. 7或8
6. 在实数范围内，下列说法中正确的是（ ）
7． 的平方根是( )
A. 9 B. ±9 C. 3 D. ±3
8． 下列说法正确的是( )
A. 无限小数都是无理数 B. 带根号的数都是无理数
C. 开方开不尽的数是无理数 D. 是无理数, 故无理数也可能是有限小数
9． 立方根等于本身的数是( )
A. –1 B. 0 C. ±1 D. ±1或0
10． 的值是( )
A. 3.14- B. 3.14 C. –3.14 D. 无法确定
11． 为大于1的正数, 则有( )
A. B. C. D. 无法确定
12． 下面说法错误的是( )
A. 两个无理数的和还是无理数 B. 有限小数和无限小数统称为实数
C. 两个无理数的积还是无理数 D. 数轴上的点表示实数
13.下列说法中不正确的是（ ）
A.42的算术平方根是4 B.
C. D.
14. 121的平方根是±11的数学表达式是（ ）
A. B. C. ± D.±
15.如果 则x=( )
A.16 B. C.±16 D.±
16. 的平方根是（ ）
A.±8 B.±2 C.2 D.±4
17.下列说法中正确的是（ ）
A.±的立方根是2 B.
C.两个互为相反数的立方根互为相反数 D.(-1)2的立方根是-1
18、-的平方根是（ ）A.±√2 B.-√2 C.±2 D.2
19、估计（ ）
A.7～8之间 B. 8.0～8.5之间 C. 8.5～9.0之间 D.9.0～9.5之间
四、 求值 ①-; ②
五、解答题
1. 在数轴上作出对应的点.
2．估算值
3．解方程 （1） （2）
4．的值.
5.．已知2a-1的平方根是±3， 3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b的平方根
6. 自由下落的物体的高度(米)与下落时间(秒)的关系为=4.9.有一学生不慎让一个玻璃杯从19.6米高的楼上自由下落, 刚好另有一学生站在与下落的玻璃杯同一直线的地面上, 在玻璃杯下落的同时楼上的学生惊叫一声. 问这时楼下的学生能躲开吗 (声音的速度为340米/秒)
实际问题
引入无理数
无理数的表示
算术平方根
平方根
立方根
实数的有关概念及应用
概念
分类
绝对值、相反数
实数与数轴上点的对应
实数的运算和大小比较
实数的应用
