淮南市2011届高三第一次质检（数学文）

淮南市2011届高三第一次模拟考试
数学试卷（文科）
一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题5分，计50分）：
1、 已知，，，则 ( )
A． B． C． D．
2、若将复数表示为（，是虚数单位）的形式，则 （ ）
A． B． C． D．
3、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
4、某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （ ）
A． B．
C． D．
5、若, , , ，则 （ ）
A． B． C． D．
6、已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是（ ）
A． 　B． 　C． 　 D．
7、 抛物线的准线与双曲线的右准线重合,则的值是 ( )
A. B. C. D.
8、若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（ ）
A．3 B． C．2 D．
9、给出命题：
（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
（2）设是不同的直线，是一个平面，若，∥，则；
（3）已知表示两个不同平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的充要条件；
（4）是两条异面直线，为空间一点, 过总可以作一个平面与之一垂直，与另一个平行。
其中正确命题个数是 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
10、已知直线及与函数图像的交点分别为，与函数图像的交点分别为
、，则直线与 ( )
A. 相交，且交点在第I象限 B. 相交，且交点在第II象限
C. 相交，且交点在第IV象限 D. 相交，且交点在坐标原点
二、填空题（每小题5分，计25分）：
11、设是第三象限角，，则 ；
12、已知定义在上的函数满足：，若，则 ；
13、已知数列{an}的前n项和，则= ；
14、 已知点是的重心，( , )，若，，则的最小值是 ；
15、已知函数（是常数且）．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若在上恒成立，则的取值范围是；④对任意且，恒有．
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题（共计6题，计75分）：
16、（本小题12分）已知函数.
（Ⅰ）已知：，求函数单调减区间；
（Ⅱ）若函数按向量平移后得到函数，且函数，求向量。
17、（本小题12分）某中学的高二(1)班男同学有名，女同学有名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．
（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为，第二次做试验的同学得到的试验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.
18、（本小题12分）如图是以正方形为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形为截面，且，,，
（Ⅰ）证明：截面四边形是菱形；
（Ⅱ）求几何体的体积．
19、（本小题13分）已知函数，
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）在区间内存在，使不等式成立，求的取值范围。
20、（本小题13分）已知等比数列满足：，且是,的等差中项。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求 成立的正整数的最小值。
21、（本题13分）已知椭圆的方程是，点分别是椭圆的长轴的左、右端点，
左焦点坐标为，且过点。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知是椭圆的右焦点，以为直径的圆记为圆,试问:过点能否引圆的切线，若能，求出这条切线与轴及圆的弦所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由。
2011届淮南市第一次模拟考试
数学（文科）试卷（参考答案）
一、 1-5 BCDDA; 6-10 ABCBD
二、 11、; 12、; 13、350; 14、 ; 15、①③④
三、解答题：
16、（本小题满分12分）
解：(1)
=. …………………2分
，，
当时，； 当时，，
又，；
所以，函数单调减区间为：和 …………………6分
（2），
，所以，向量……………12分
17、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）某同学被抽到的概率为………………2分
设有名男同学，则，男、女同学的人数分别为………………4分
（Ⅱ）把名男同学和名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有共种，其中有一名女同学的有种
选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为……………………………8分
（Ⅲ），
，
第二同学的实验更稳定………………………12分
18、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：因为平面∥平面，且平面分别交
平面、平面于直线、，所以∥．
同理，∥．
因此，四边形为平行四边形． ……（1）
因为，而为在底面上的射影，所以．
因为，所以∥．
因此，． ……（2）
由（1）、（2）可知：四边形是菱形；…………………6分
（Ⅱ）连结、、、,则
,，且几何体是以正方形为底面的正四棱柱的一部分，
该几何体的体积为,
同理,得
所以，，
即几何体的体积为2． …………………12分
19、（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）函数的定义域为，
当，即时，为单调递增函数；
当，即时，为单调递减函数；
所以，的单调递增区间是，的单调递减区间是…………6分
（Ⅱ）由不等式，得，令，则
由题意可转化为：在区间内，，
，令，得
- 0 +
递减 极小值 递增
由表可知：的极小值是且唯一，
所以。 因此，所求的取值范围是。…………12分
20、（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，
依题意，有
由 及，得 ，或
当时，式不成立；当时，符合题意 ┉┉┉┉┉4分
把代入（2）得，所以， ┉┉┉┉┉6分
（Ⅱ） ┉┉┉┉┉┉┉┉7分
（3）-（4）得
┉┉┉┉┉10分
，即，
又当时，
当时， ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
故使成立的正整数的最小值为5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉13分
21、（本小题满分13分）
解:（Ⅰ）因为椭圆的方程为，（）， ∴ ，
即椭圆的方程为， ∵ 点在椭圆上， ∴ ，
解得 或（舍）， 由此得，
所以，所求椭圆的标准方程为. …… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,又，则得,
所以，即, 是， 所以，以为直径的圆必过点，因此，过 点能引出该圆的切线，设切线为,交轴于点， 又的中点为，则显然,
而 , 所以的斜率为，
因此，过 点引圆的切线方程为：， 即
令，则，,又，
所以，
因此，所求的图形面积是 =
…… 13分
①正方形
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥
f (x)
A
B
F
y
x
P
OO
A M O F Q x
y
P