江苏省南菁高级中学
2010－2011学年第一学期期末考试高二(1)数学答案
一、填空题（本题包括14小题，每题5分，共70分，请将答案填在答卷相应题号处）
1、；2、120；3、(0, 2)；4、－－EQ \F(,2)i；5、{ 1, 0, 1, 2}；6、9π；7、EQ \F(－1,2)；8、1；9、－3；10、120°；11、2；12、(1, )；13、(－∞, 1＋ln2]；14、5
二、解答题（本题包括6大题，共90分，请作答在答卷相应题号处）
15、 解：(1) 因为, ，
， (4分)
所以，即，故△ABC为等腰三角形． (6分)
（2）∵ ∥, ∴，∴，即
, 为锐角，∴，∴，∴． (8分)
∴,∴． (10分)
又sinA＝，且为锐角，∴cosA＝eq \f(,3)， (12分)
∴＝EQ \F(2 ,6)． (14分)
16、解：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，
∴BC＝，AC＝2．取中点，连AF, EF，
∵PA＝AC＝2，∴PC⊥． （1分）
∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，
∴PA⊥，又∠ACD＝90°，即，
∴，∴，
∴． (3分)
∴． (4分)
∴PC⊥． （5分）
（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则
EM∥PA．∵EM 平面PAB，PA平面PAB，
∴EM∥平面PAB． （7分）
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，
∴MC∥平面PAB． （9分）
∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB． （10分）
证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点． （7分）
∵E为PD中点，∴EC∥PN． （9分）
∵EC 平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB． （10分）
(3)由(1)知AC＝2，EF＝CD, 且EF⊥平面PAC．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，得EF＝． （12分）
则V＝． (14分)
17、解：（1）由题设可得，解得，∴． （2分）
∴椭圆的方程为． （4分）
（2）设，则．∵，∴．
∴． （7分）
∴点在以为圆心，2为半径的的圆上．即点在以为直径的圆上． （9分）
（3）设，则，且．又，
∴直线的方程为．令，得．又，为的中点，
∴．∴，． （12分）
∴
．∴． （14分）
∴直线与圆相切． （15分）
18、 解：(1) 设将矩形纸片的右下角折起后, 顶点B落在边AD上的B/处，则,
从而有：，． （3分）
∵，∴，得：
l＝＝＝， 即f (t)＝ （7分）
(2) , 0＜θ＜, 则0＜t＜EQ \F(,2), 设 ，，令，得t＝EQ \F(,3) （9分）
当0＜t＜EQ \F(,3)时，，当EQ \F(,3)＜t＜EQ \F(,2)时，， （12分）
所以当t＝EQ \F(,3)时，取到最大值：EQ \F(,3)－·EQ \F(,3)＝EQ \F(2,9) （14分）
的最小值为eq \f(3,EQ \F(2,9))＝EQ \F(9,2) cm （15分）
19、解析： (1) ，当，，单调递减，
当，，单调递增． （2分）
① ，即时，；
② ，即时，在上单调递增，；
所以 f (x)min＝ eq \b\lc\{(\a\al\co2(－, 0＜t＜,tlnt, t≥))． （6分）
(2) ，则， （8分）
设，则，，，单调递减，
，，单调递增，所以． （10分）
因为对一切，恒成立，所以． （11分）
（3）问题等价于证明， （12分）
由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到． （13分）
设，则，易得，
当且仅当时取到， （15分）
从而对一切，都有成立． （16分）
19、（1）当时，a1＝5S1＋1, ∴a1＝－（1分）
又 ∴an+1－an＝5an+1 即 ＝－
∴数列是首项为a1＝－，公比为q＝－的等比数列， （3分）
∴an＝(－)n， bn＝eq \f(4＋(－)n,1－(－)n) (n∈N*) （5分）
（2）由（1）知bn＝eq \f(4＋(－)n,1－(－)n)＝4＋ 得
cn＝b2n－b2n 1＝＋＝＝＜＝ （7分）
又b1＝3, b2＝, ∴ c1＝, 所以当时，T1＜， （8分）
当时，Tn＜＋15(＋＋…＋)＝＋15·eq \f([1－()n 2],1－)＜＋＝＜ （10分）
（3）不存在正整数，使得成立。 （11分）
证明：由bn＝4＋
∵ b2k 1＋b2k＝8＋＋＝8＋－＝8－＜8 （13分）
∴当n为偶数时，设
∴ （14分）
当n为奇数时，设
∴ （15分）
∴对于一切的正整数n，都有∴不存在正整数，使得成立。 (16分)
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2010－2011学年第一学期期末考试高二(1)数学试卷
命题人：汪海军
一、填空题（本题包括14小题，每题5分，共70分，请将答案填在答卷相应题号处）
1．已知直线x－my＋2m＝0和x＋2y－m＝0互相垂直，则实数m＝ ▲
2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝40，则数列{an}前15项的和为 ▲
3．已知集合A＝{0, 1}, B＝{a2, 2a}，其中a∈R, 我们把集合{x| x＝x1＋x2, x1∈A, x2∈B}记作A＋B，
若集合A＋B中的最大元素是2a＋1，则a的取值范围是 ▲
4．若复数z1＝－1＋ai, z2＝b－i, a, b∈R, 且z1＋z2与z1·z2均为实数, 则 ＝ ▲
5．已知命题p: x2 x≥6, q: x∈Z，则使得“p且q”与“非q”同时为假命题的所有x组成的集合
M＝ ▲
6．设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝，PC＝，
则球O的表面积为 ▲
7．椭圆上的点到一条准线距离的最小值恰好等于该椭圆半焦距，则此椭圆的离心率是 ▲
8．已知函数f (x)＝x2－2lnx, 则f (x)的极小值是_____▲
9．当x2－2x＜8时, 函数y＝的最小值是_____▲ _
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝(a＋1)n2＋a, 某三角形三边之比为a2:a3:a4，则该三角形最大角为 ___ ▲
11．已知函数f (x)＝(x∈R)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ▲
12．设定义在( 1, 1)上的函数f (x)的导函数f / (x)＝5＋cosx, 且f (0)＝0, 则不等式f (x 1)＋f (1 x2)＜0的
解集为 _ ▲____
13．对任意的实数x＞0, 总有a－2x－|lnx|≤0, 则实数a的范围为 ▲
14. 已知都是定义在R上的函数，, ()
＋＝, 令an＝，则使数列{an}的前n项和Sn超过的最小自然数n的值为 ▲
二、解答题（本题包括6大题，共90分，请作答在答卷相应题号处）
15、（本小题满分14分）已知锐角中的三个内角分别为．
（1）设·＝·，求证：是等腰三角形；
（2）设向量＝(2sinC, －), ＝(cos2C, 2cos2 －1), 且∥, 若sinA＝，求sin(－B)的值．
16、（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，
∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（1）求证：PC⊥；
（2）求证：CE∥平面PAB；
（3）求三棱锥P－ACE的体积V．
17、（本小题满分15分）如图，已知椭圆：＋＝1(a＞b＞0)的长轴AB长为4，离心率e＝EQ \F(,2)，O ( http: / / www. / )为坐标原点，过B的直线l与x轴垂直．P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP＝PQ，连结AQ延长交直线于点M，N为的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：Q点在以为直径的圆上；
（3）试判断直线QN与圆的位置关系．
18、（本小题满分15分）已知矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，AD＝12cm，将矩形
纸片的右下角折起，使得该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的
端点M, N分别位于边AB, BC上，设∠MNB＝θ，sinθ＝t，MN长度为l．
（1）试将l表示为t的函数l＝f (t)；
（2）求l的最小值．
19、（本小题满分16分）已知．
(1) 求函数在上的最小值；
(2) 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 证明：对一切，都有成立．
20、（本小题满分16分）设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立，
记bn＝ (n∈N*)
（1）求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
（2）记cn＝b2n－b2n 1 (n∈N*), 设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜；
（3）设数列{bn}的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rk≥4k成立？若存在，找出一个正整数k；
若不存在，请说明理由；
江苏省南菁高级中学
2010－2011学年第一学期期末考试高二(1)数学试卷答卷
一、填空题（本题包括14小题，每题5分，共70分）
1、 2、 3、 4、 __ 5、 __ 6、 7、
8、 9、 10、 11、 _ 12、 __ ___13、 ___ _ 14、 ______
二、解答题（本题包括6大题，共90分）
15、（本小题满分14分）
16、（本小题满分14分）
17、（本小题满分15分）
18、（本小题满分15分）
19、（本小题满分16分）已知．
(1) 求函数在上的最小值；
(2) 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 证明：对一切，都有成立．
20、（本小题满分16分）设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立，
记bn＝ (n∈N*)
（1）求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
（2）记cn＝b2n－b2n 1 (n∈N*), 设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜；
（3）设数列{bn}的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rk≥4k成立？若存在，找出一个正整数k；
若不存在，请说明理由；
