勾股定理同步练习
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第十八章 勾股定理
18.1勾股定理（1）
预习练习：
1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB的值是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
2. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，
在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），
却踩伤了花草．
3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
4. 如图所示，一根旗杆于离地面12处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16，旗杆在断裂之前高多少？
5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.
课堂练习：
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________．
2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．
3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为( ).
A．4cm B．4cm或 C． D．不存在
4．在数轴上作出表示的点．
5．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，
高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？
6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米
7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18，底面周长为60，
在外侧距下底1的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上
口外侧距开口1的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，
所走的最短路线的长度.
8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12
求CD的长.
9. 如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，
求AB的长.
10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
课后练习：
1．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．
2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（ ）．
A．3 B．4
C． D．5
3．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（取3）
4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长； ②ΔABC的面积．
5．在直角ΔABC中，斜边长为2，周长为2+，求ΔABC的面积．
6．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．
7．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
8．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，
又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．
9.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯
平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱
10. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
18.1勾股定理（2）
预习练习：
1. 下列说法正确的是（ ）
A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
2. △ABC的三条边长分别是、、，则下列各式成立的是（ ）
A． B. C. D.
3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
4．在中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c= ；
（2）如果a=6，b=8，则c= ；
（3）如果a=5，b=12，则c= ；
(4) 如果a=15，b=20，则c= .
5．如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为_______
课堂练习：
1．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7，8，则以斜边为边长的正方形的面积为_________．
2．如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm
3．小雨用竹杆扎了一个长80cm、宽60cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需________cm ．
4．小杨从学校出发向南走150米，接着向东走了360米到九龙山商场，学校与九龙山商场的距离是 米．
5．已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．
6．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c2＝a2＋b2.
7．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.
8．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:
学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”
同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”; 王华同学说: “第三边长是.” 还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂上, 你的意见如何 为什么
（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受 (用一句话表示)
9．蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
10．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．
求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．
课后练习：
1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是（ ）
A. 4cm B. cm C. 6cm D. cm
2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33
3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )
A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米
4． 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
5. 在△ABC中，∠C＝90°，（1）已知 a＝2.4，b＝3.2，则c＝ ；（2）已知c＝17，b＝15，则△ABC面积等于 ；（3）已知∠A＝45°，c＝18，则a＝ .
6. 一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．
7．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗
杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子
下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，
你能帮它计算一下旗杆的高度．
8．有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．
9． 如图∠B=90 ，AB＝16cm，BC＝12cm，AD＝21cm,CD=29cm
求四边形ABCD的面积．
10．如图，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时
梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置
上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
18.2 勾股定理的逆定理（1）
预习练习：
1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
2. 三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等 D.如果a=b,那么a2=b2
5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A B C D
课堂练习：
1．若△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5，最大边AB与最小边BC的关系是_________．
2．若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形
是______________________．
3．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )．
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形
4满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶
C.三边之比为∶2∶ D. 三个内角比为1∶2∶3
5．下列命题中是假命题的是( )．
A．△ABC中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC是直角三角形.
B．△ABC中,若a2=(b+c)(b－c),则△ABC是直角三角形.
C．△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC是直角三角形.
D．△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC是直角三角形.
6．在△ABC中，，那么△ABC是（ ）．
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，
且．你能说明∠AFE是直角吗？
8. 如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.
9. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
10. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
课后练习：
1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A.9，12，15 B. C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9
2.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A. B. C. D.以上都不对
3. △ABC的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .
4.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .
5.已知三角形ABC的三边长为满足，，则此三角形为
三角形.
6.在三角形ABC中，AB=12，AC=5，BC=13，则BC边上的高为AD= .
7. 如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，
求四边形ABCD的面积.
8. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
9. 如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的
C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，
利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处
滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，
求树高AB.
10. 观察下列勾股数：
第一组：3=2×1＋1， 4=2×1×（1+1）， 5=2×1×（1+1）+1；
第二组：5=2×2＋1， 12=2×2×（2+1）， 13=2×2×（2+1）+1；
第三组：7=2×3＋1， 24=2×3×（3+1）， 25=2×3×（3+1）+1；
第三组：9=2×4＋1， 40=2×4×（4+1）， 41=2×4×（4+1）+1；
……
观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的各应是多少吗？第组呢？
18.2 勾股定理的逆定理（2）
预习练习：
1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )
A.7,24,25 B.3,4,5 C.3,4,5 D.4,7,8
2．在下列说法中是错误的（ ）
A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形.
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形.
C．在△ABC中，若a＝c，b＝c，则△ABC为直角三角形.
D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形.
3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）
A．2，4，8 B.4,8,10 C.6,8,10 D.8,10,12
4．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .
5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 .
课堂练习：
1．△ABC的三边分别为a=3cm，b=4cm，c=5cm，则△ABC中的最小角为_____。
2. 已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边的平方为__________。
3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10；(2)13、12、5；(3)1、2、3；
(4)4、5、6．其中能构成直角三角形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
4. 已知△ABC的三边为a、b、c，有下列各组条件，判断△ABC的形状。
a=41，b=40，c=9；
5. 在△ABC中，AB=15，BD=14，AD=13，求BD边上的高AC。
6. 在四边形ABCD中， C是直角，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD
7．如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.
8．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？
9．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90 ，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
课后练习：
1．已知在一个三角形ABC中，BC＝6，BC边上的高为7，若AC＝5，则AC边上的高为 _________．
2．已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），则这个三角形为______，理由是_______．
3．一个三角形的三边分别为7cm，24 cm，25 cm，则此三角形的面积为_________。
4．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_________。 .
5．给出下列几组数：① ；②8，15，16;③n2－1，2n，n2＋1；④m2－n2，2mn，m2＋n2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（ ）．
A．①② B．③④ C．①③④ D．④
6．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（ ）．
A．1，2，3 B．4，5，6 C．12，13，14 D．9，40，41
7．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（ ）．
A．8个 B．10个 C．11个 D．12个
8．如果一个三角形一边的平方为2（m2＋1），其余两边分别为m－1，m ＋ l，那么这个三角形是（ ）；
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
9． 下列数组中，能组成一个直角三角形的有（ ）
(1) 15，20，25；(2)10，24，25；(3)9，80，81；(4)8，15，17
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
10．我们知道，以3，4，5为边长的三角形为直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）试用数学等式描述上述勾股数组的规律；
（3）请证明你所发现的规律．
第十八章《勾股定理》测试题
（时间：100分钟 总分：100分）
一、相信你一定能选对！（每小题3分，共24分）
1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )
A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 8
2. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m2 + n2, m2–n2, 2mn（m，n均为正整数,mn）；④,,.其中能组成直角三角形的三边长的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
3. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2
C．a2=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12
4. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.
5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
6．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2
7．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）
A．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定
二、你能填得又快又对吗？（每小题3分，共24分）
9. 在△ABC中，∠C=90°， AB＝5，则++=_______．
10. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ．
11．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
12．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
13． 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 米.
14．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 ．
15．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降至 B’，那么 BB’的值： ①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是 ．
16.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 .
三、认真解答，一定要细心哟！（共52分）
17．（5分）右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．
18．（5分）已知a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n为大于1的自然数）,试说明△ABC为直角三角形.
19．（5分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？
20.（5分）如图所示,某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再折回向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏。问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
21．（5分）如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
22.（5分）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
请用学过的数学知识回答这个问题.
23．（5分）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？
24．（5分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿
∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
25．（6分）如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，若DA=10km,CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？
26．（6分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
第5题图
第7题图
第8题图
第9题图
5m
13m
第5题图
A
D
E
B
C
8
6
A
E
C
D
B
A
第5题图
S1
S2
S3
3m
4m
20m
D
A
C
C
B
A
D
第4题图
D
C
B
F
E
A
C
B
D
第7题图
F
E
A
C
B
D
第8题图
B
A
C
D
.
第9题图
D
B
C
A
B
12 5
C 路、 D..13 D A
B
A
C
D
.
A
C
P
B
60
1200
140
60
B
A
C
第10题图
第13题图
第14题图
第15题图
A
B
4
1.5
2
4.5
0.5
A
C
B
A
E
C
D
B
C
A
B
D
E
10
15
A
B
小河
东
北
牧童
小屋
18.1勾股定理（1）
预习练习：
1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB的值是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
2. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，
在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），
却踩伤了花草．
3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
4. 如图所示，一根旗杆于离地面12处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16，旗杆在断裂之前高多少？
5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.
课堂练习：
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________．
2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．
3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为( ).
A．4cm B．4cm或 C． D．不存在
4．在数轴上作出表示的点．
5．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，
高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？
6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米
7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18，底面周长为60，
在外侧距下底1的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上
口外侧距开口1的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，
所走的最短路线的长度.
8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12
求CD的长.
9. 如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，
求AB的长.
10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
课后练习：
1．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．
2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（ ）．
A．3 B．4
C． D．5
3．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（取3）
4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长； ②ΔABC的面积．
5．在直角ΔABC中，斜边长为2，周长为2+，求ΔABC的面积．
6．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．
7．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
8．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，
又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．
9.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯
平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱
10. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
18.1勾股定理（2）
预习练习：
1. 下列说法正确的是（ ）
A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
2. △ABC的三条边长分别是、、，则下列各式成立的是（ ）
A． B. C. D.
3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
4．在中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c= ；
（2）如果a=6，b=8，则c= ；
（3）如果a=5，b=12，则c= ；
(4) 如果a=15，b=20，则c= .
5．如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为_______
课堂练习：
1．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7，8，则以斜边为边长的正方形的面积为_________．
2．如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm
3．小雨用竹杆扎了一个长80cm、宽60cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需________cm ．
4．小杨从学校出发向南走150米，接着向东走了360米到九龙山商场，学校与九龙山商场的距离是 米．
5．已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．
6．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c2＝a2＋b2.
7．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.
8．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:
学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”
同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”; 王华同学说: “第三边长是.” 还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂上, 你的意见如何 为什么
（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受 (用一句话表示)
9．蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
10．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．
求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．
课后练习：
1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是（ ）
A. 4cm B. cm C. 6cm D. cm
2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33
3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )
A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米
4． 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
5. 在△ABC中，∠C＝90°，（1）已知 a＝2.4，b＝3.2，则c＝ ；（2）已知c＝17，b＝15，则△ABC面积等于 ；（3）已知∠A＝45°，c＝18，则a＝ .
6. 一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．
7．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗
杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子
下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，
你能帮它计算一下旗杆的高度．
8．有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．
9． 如图∠B=90 ，AB＝16cm，BC＝12cm，AD＝21cm,CD=29cm
求四边形ABCD的面积．
10．如图，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时
梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置
上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
18.2 勾股定理的逆定理（1）
预习练习：
1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
2. 三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等 D.如果a=b,那么a2=b2
5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A B C D
课堂练习：
1．若△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5，最大边AB与最小边BC的关系是_________．
2．若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形
是______________________．
3．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )．
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形
4满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶
C.三边之比为∶2∶ D. 三个内角比为1∶2∶3
5．下列命题中是假命题的是( )．
A．△ABC中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC是直角三角形.
B．△ABC中,若a2=(b+c)(b－c),则△ABC是直角三角形.
C．△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC是直角三角形.
D．△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC是直角三角形.
6．在△ABC中，，那么△ABC是（ ）．
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，
且．你能说明∠AFE是直角吗？
8. 如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.
9. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
10. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
课后练习：
1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A.9，12，15 B. C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9
2.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A. B. C. D.以上都不对
3. △ABC的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .
4.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .
5.已知三角形ABC的三边长为满足，，则此三角形为
三角形.
6.在三角形ABC中，AB=12，AC=5，BC=13，则BC边上的高为AD= .
7. 如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，
求四边形ABCD的面积.
8. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
9. 如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的
C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，
利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处
滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，
求树高AB.
10. 观察下列勾股数：
第一组：3=2×1＋1， 4=2×1×（1+1）， 5=2×1×（1+1）+1；
第二组：5=2×2＋1， 12=2×2×（2+1）， 13=2×2×（2+1）+1；
第三组：7=2×3＋1， 24=2×3×（3+1）， 25=2×3×（3+1）+1；
第三组：9=2×4＋1， 40=2×4×（4+1）， 41=2×4×（4+1）+1；
……
观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的各应是多少吗？第组呢？
18.2 勾股定理的逆定理（2）
预习练习：
1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )
A.7,24,25 B.3,4,5 C.3,4,5 D.4,7,8
2．在下列说法中是错误的（ ）
A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形.
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形.
C．在△ABC中，若a＝c，b＝c，则△ABC为直角三角形.
D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形.
3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）
A．2，4，8 B.4,8,10 C.6,8,10 D.8,10,12
4．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .
5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 .
课堂练习：
1．△ABC的三边分别为a=3cm，b=4cm，c=5cm，则△ABC中的最小角为_____。
2. 已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边的平方为__________。
3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10；(2)13、12、5；(3)1、2、3；
(4)4、5、6．其中能构成直角三角形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
4. 已知△ABC的三边为a、b、c，有下列各组条件，判断△ABC的形状。
a=41，b=40，c=9；
5. 在△ABC中，AB=15，BD=14，AD=13，求BD边上的高AC。
6. 在四边形ABCD中， C是直角，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD
7．如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.
8．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？
9．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90 ，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
课后练习：
1．已知在一个三角形ABC中，BC＝6，BC边上的高为7，若AC＝5，则AC边上的高为 _________．
2．已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），则这个三角形为______，理由是_______．
3．一个三角形的三边分别为7cm，24 cm，25 cm，则此三角形的面积为_________。
4．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_________。 .
5．给出下列几组数：① ；②8，15，16;③n2－1，2n，n2＋1；④m2－n2，2mn，m2＋n2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（ ）．
A．①② B．③④ C．①③④ D．④
6．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（ ）．
A．1，2，3 B．4，5，6 C．12，13，14 D．9，40，41
7．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（ ）．
A．8个 B．10个 C．11个 D．12个
8．如果一个三角形一边的平方为2（m2＋1），其余两边分别为m－1，m ＋ l，那么这个三角形是（ ）；
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
9． 下列数组中，能组成一个直角三角形的有（ ）
(1) 15，20，25；(2)10，24，25；(3)9，80，81；(4)8，15，17
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
10．我们知道，以3，4，5为边长的三角形为直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）试用数学等式描述上述勾股数组的规律；
（3）请证明你所发现的规律．
第十八章《勾股定理》测试题
（时间：100分钟 总分：100分）
一、相信你一定能选对！（每小题3分，共24分）
1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )
A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 8
2. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m2 + n2, m2–n2, 2mn（m，n均为正整数,mn）；④,,.其中能组成直角三角形的三边长的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
3. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2
C．a2=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12
4. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.
5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
6．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2
7．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）
A．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定
二、你能填得又快又对吗？（每小题3分，共24分）
9. 在△ABC中，∠C=90°， AB＝5，则++=_______．
10. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ．
11．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
12．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
13． 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 米.
14．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 ．
15．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降至 B’，那么 BB’的值： ①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是 ．
16.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 .
三、认真解答，一定要细心哟！（共52分）
17．（5分）右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．
18．（5分）已知a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n为大于1的自然数）,试说明△ABC为直角三角形.
19．（5分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？
20.（5分）如图所示,某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再折回向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏。问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
21．（5分）如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
22.（5分）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
请用学过的数学知识回答这个问题.
23．（5分）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？
24．（5分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿
∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
25．（6分）如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，若DA=10km,CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？
26．（6分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
第5题图
第7题图
第8题图
第9题图
5m
13m
第5题图
A
D
E
B
C
8
6
A
E
C
D
B
A
第5题图
S1
S2
S3
3m
4m
20m
D
A
C
C
B
A
D
第4题图
D
C
B
F
E
A
C
B
D
第7题图
F
E
A
C
B
D
第8题图
B
A
C
D
.
第9题图
D
B
C
A
B
12 5
C 路、 D..13 D A
B
A
C
D
.
A
C
P
B
60
1200
140
60
B
A
C
第10题图
第13题图
第14题图
第15题图
A
B
4
1.5
2
4.5
0.5
A
C
B
A
E
C
D
B
C
A
B
D
E
10
15
A
B
小河
东
北
牧童
小屋
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