课件20张PPT。2.1 向量的定义
例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向正东追去。问：猫能否追到老鼠？为什么？结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。引例请各举出几个只有大小和既有大小又有方向的量阅读提纲：
向量是如何定义的？向量与数量有何区别？
向量有哪些表示方法？其模是如何定义的？
课本中介绍了几个特殊的向量？如何定义的？
课本中介绍了两向量间的几种关系？
2.1向量向量及其与数量的区别 定义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、位移、加速度、冲量等 数量与向量的区别：1.数量只有大小，是一个代数量，可以比较大小。2.向量有方向，大小，双重属性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小。返回向量的表示方法 1?几何表示法： 有向线段：具有方向的线段A(起点）B(终点）有向线段三要素：什么是有向线段？它为什么能表示向量？2?字母表示法：或起点、方向、长度向量的模记作： 模是可以比较大小的返回如：? 向量 的大小即 长度称为向量 的模。 两个特殊向量2.单位向量:长度（模）为1个单位长度的 向 量
叫做单位向量。返回1.零向量:长度（模）为0的向量，记作 。 的方向是在平面内是任意的。若平面上所有单位向量归结到共同起点，则
这些向量终点所构成图形是一条线段,对吗？向量间的关系规定：零向量与任一向量平行记作： // //1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。如下图： 平行若向量 与向量 平行，则 与 方向
相同或相反，对吗？零向量与零向量相等任两相等的非零向量都可用同一有向线段表示，与起点无关。一切向量都可以在不改变它大小和方向的前提下，将它平移到任何位置。 3.共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。共线向量一定要在同一条直线上吗？？ 两共线的非零向量在其方向与模两个要素上可能出现哪几种情况？①方向相同，模相同；②方向相同，模不同；③方向相反，模相同；④方向相反，模不同。概念辨析（一）×√×× ×概念辨析（二）××√√×例题1:如图，设o是正六边形的中心，分别写出图中与向量 、 、 相等的向量。例题解：变题11个练习课本练习 1，2，3小结向量间的三种关系向量及其表示方法注意两个特殊向量(1)向量由方向和大小来确定，两个非零向量相等的充要条件是方向相同且模（长度）相等，而与向量的起点位置无关，可以进行平移，应充分重视向量的“自由”状态。
(2)向量可以象数一样满足“运算性质”，进行代数形式的运算，也可以利用几何性质，进行几何形式的运算。正是由于平面向量具有这样的“双重身份”，使其成为知识的交汇点，成为联系多种知识的媒介，我们应十分注意，以形成“数形结合”的数学思想。作业习题2.1 1. 2. 3谢谢大家，再见！课件13张PPT。温 故1.向量加法的三角形法则:首尾相连，由首至尾共起点2、相反向量：长度相等，方向相反(4) ______ ____ AB减去一个向量
相当于加上这个向量的相反向量CD请问: =?向量减法的三角形法则：共起点;
差向量方向:减向量指向被减向量4、特殊情况:求作1.共线同向2.共线反向C例1、已知向量 , , 求法一:法二:法三:例2：化简6、_______.3DBACbabADaABABCD、表示向量，，用，中，、如图，平行四边形例rrrr==答:四边形ABCD为矩形时对任意向量 ,对任意向量 ,总结：对任意向量 ,向量的三角形不等式思考1: ,满足什么条件时思考2: ,满足什么条件时练习一.如图,已知 , ,求作 练习二Come on!小结:
1)相反向量：长度相等，方向相反2)向量减法的三角形法则：共起点;
差向量方向:减向量终点指向被减向量终点3)向量加法的三角形法则：首尾相连,
起点指向终点再见作业:书P91.A组4题课件14张PPT。§3.1 数乘向量§3 从速度的倍数到数乘向量 复习提问:（1）向量加法的定义++=ABCD++=(- )(- )-ABCD(- )复习提问:（2）实数乘法的运算律1、交换律：ab=ba2、结合律：a（bc）=（ab）c=b（ac）3、分配律：a（b+c）=ab+ac一般地:=一般地：一般地:例1：计算 定理：向量 与非零向量 共线
的充要条件是有且只有一
个实数 , 使得思考：充分不必要应用：该定理是证明三点共线或直
线平行的重要依据。例2：已知向量试判断，，是否共线.ABCDE变：证明A、C、E三点共线例3：设 ， 是不共线的向量，而
和 共线，求实数
k的值解：（1）实数与向量 的积小结：（2）实数与向量积的运算律（3）向量共线的充要条件（强调 ）退出(1)若 则化简
(2)已知 是不共线向量,
则 与 共线的充要条件
是实数补充练习：课件13张PPT。平面向量基本定理复习引入1、实数与向量的积2、两个向量的和（差）的求法平行四边形法则三角形法则3、两个向量共线定理新课引入oAo1BoABCoAo1Bo2CoABCNM新课讲解平面向量基本定理注意： ③λ1 ， λ2唯一。例题教学例1oABC例2BACDM例3BOAP1、P84 1、2课堂练习ABCA1ABCDEFOCBADEFG课堂小结作业：P85 5, 6, 7谢谢各位课件16张PPT。§3.5 从力做的功到向量的数量积 力对物体功所做的功 一个物体在力F 的作用下产生的位移
s，那么力F 所做的功应当怎样计算？向量的夹角你能指出下列图中两向量的夹角吗？由于零向量的方向是不确定的，因此规定：零向量可与任一向量垂直。练习一：在△ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85°
求下列向量的夹角： 45°130°85°射 影问题二：射影是向量还是数量呢？其正负如何确定？平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为? ，我们把数量
叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 注意: “ ”能不能写成“ ”或者“ ” 的形式。※向量数量积的物理意义是：力对物体做功。
就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s向量数量积的意义0平面向量数量积的性质：演练反馈××√判断下列各题是否正确：（2）若 ， ，则（3）若 ， ，则(1)若 则对任一向量 ，有（4）√①平面向量的数量积及其性质；
②理解数量积的运算是不同于实数运算的一种新的运
算，注意它们的区别；
③主要题型有:求两向量的数量积、求向量的模、求两个
向量的夹角、判断两向量是否垂直及三角形的形状等。
下节课我们将进一步的学习。
④体会分类讨论、数形结合的思想。总结提炼作业：2、已知 1、 课本P108习题2-5，1（1） 3、4、5课后讨论 平面向量数量积，是两个向量之间的一种乘法运算，它与两个实数之间的乘法运算是否一样满足交换律、分配律、结合律呢？能否给出你的结论的证明？谢谢各位专家指导评定课件18张PPT。§2.6 平面向量的数量积的坐标表示一、复习1.概念:(1)夹角: ?(2)数量积的定义:注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.其中：（0≤ ? ≤ ?）当?= 0时，两向量同向；当?= ?时，两向量反向.
当?= 时,两向量垂直,记作2.几何意义:3.性质: 设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量，?是 与 的夹角,则 用于计算向量的夹角4、数量积的运算律：⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：注意：数量积不满足结合律从力的做功来看若力增大n倍则功增大n倍引例： 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，
求证：?ABC是直角三角形.分析：先画图，问题：已知两个非零向量
怎样用和的坐标表示呢？OA
(x1，y1) B
(x2，y2)yx如图，我们先看x轴上的单位向量 和轴y上的单位向量 容易知道，
二、新课问题：已知两个非零向量怎样用 和 的坐标表示 呢？解：这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，
求证：?ABC是直角三角形.∴ AB⊥AC.证明：∴ ?ABC是直角三角形.数量积的主要性质的坐标表示：内积为零是判定两向量垂直的充要条件用于计算向量的模用于计算向量的夹角这就是平面内两点间的距离公式（1）求 ；（2）求 与 的夹角θ.解：（1）（2）例 2：已知 ＝(5, 0)， ＝(–3.2, 2.4), 求证：( ＋ )⊥ .证明：例3 已知 ，当k为何值时，
（1） 与 垂直？（2） 与 平行？ =k(1,2)+(－3,2)=(k－ 3,2k+2)
=(1,2) － 3(－ 3,2)=(10, －4)（1）若 与 垂直，则有
(k － 3) ×10+(2k+2) ×(－ 4)=0所以k=19（2）若 与 平行，则有(k － 3) × (－ 4) － (2k+2) × 10=0所以k= － .解：例 4：已知：A、B、C三点坐标分别为(2，0)、(4，2)、(0，4)，直线 l 过A、B两点，求点C到 l 的距离.分析一：如图， 为定H点坐标(两个未知数)， 可利用H点在 l 上，及CH⊥AB这两个条件.三、小结：（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.今日作业:（1）P97 练习;
（2）P98 习题2.6
第1、2、3、4、5题.
平面向量数量积的坐标表示教案1
教学目标
1．正确理解掌握两个向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出这两个向量的数量积．
2．掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量垂直．
3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．
重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件．
难点：对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用．
教学过程设计
(一)学生复习思考，教师指导．
1．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)．
＝________ ＝________
2．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)
＝________
3．向量的数量积满足那些运算律？
(二)教师讲述新课．
前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积，这是一个很有价值的问题．
设两个非零向量为＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)． 为x轴上的单位向量， 为y轴上的单位向量，则＝x1＋y1， ＝x2＋y2
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：
(1)向量模的坐标表示：
(2)平面上两点间的距离公式：
向量的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， =
(3)两向量的夹角公式
设＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)， ＝θ．
4．两向量垂直的充要条件的坐标表示
＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)．
即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零．
(三)学生练习，教师指导．
练习1：课本练习1．
已知a(－3，4)， (5，2)．
练习2：课本练习2．
已知＝(2，3)， ＝(－2，4)， ＝(－1，－2)．
·＝2×(－2)＋3×4＝8，(＋)·(－)＝－7．
·(＋)＝0，(a＋b)2＝(0，7)·(0，7)＝49．
练习3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)．
求证：△ABC是直角三角形．
证：∵ ＝(1，1)， ＝(－3，3)， ＝(－4，2)．
经检验， ·＝1×(－3)＋1×3＝0．
∴⊥，△ABC是直角三角形．
(四)师生共同研究例题．
例1：已知向量＝(3，4)， ＝(2，－1)．
(1)求与的夹角θ，
(2)若＋x与－垂直，求实数x的值．
解：(1) ＝(3，4)， ＝(2，－1)．
(2) ＋x与－垂直，
(＋x)·(－)＝0， ＋x＝(3，4)＋x(2，－1)＝(2x＋3，4－x)
－＝(3，4)－(2，－1)＝(1，5)．
例2：求证：三角形的三条高线交于一点．
证：设△ABC的BC、AC边上的高交于P点，现分别以BC、PA所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，设有关各点的坐标为B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)．
∵⊥， ＝(－x1，y)， ＝(－x2，y1)．
(－x1)×(－x2)＋y×y1＝0．
即 x1x2＋yy1＝0．
又 ＝(－x2，y)， ＝(－x1，y1)．
·＝(－x1)×(－x2)＋y×y1＝x1x2＋yy1＝0．
∴⊥，CP是AB边上的高．
故三角形的三条高线交于一点．
(五)作业．习题5．7 1，2，3，4，5．
课件10张PPT。平面向量应用举例用向量的方法研究平面几何平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？猜想：1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和已知：平行四边形ABCD。
求证：解：设 ，则
分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 其它线段对应向
量用它们表示。∴你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？猜想：
AR=RT=TC解：设 则由于 与 共线，故设又因为 共线，
所以设因为
所以线，故AT=RT=TC练习、证明直径所对的圆周角是直角分析：要证∠ACB=90°，只须证向
量 ，即 。解：设
则 ，
由此可得：即 ，∠ACB=90°思考：能否用向量
坐标形式证明？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。小结：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：作业：课本P125 1,2课件13张PPT。平面向量的综合应用一、知识回顾1.用向量法求角2.用向量法处理垂直3.用向量法处理平行4.用向量法处理向量的模：二、基础应用解：得∴∴∴∴解：解得：此时平行时，它们是同向还是反向？三、向量在代数中的应用解：四、向量在平面解析几何中的应用解析：A平移后的直线方程为：得c=8或-2轴的正半轴上，点M直线PQ上，且满足：当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹方程。五、小结1.向量的基本知识点2.向量在代数中的应用3.向量在平面解析几何中的应用再见课件10张PPT。2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何的向量方法平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？猜想：1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和已知：平行四边形ABCD。
求证：解：设 ，则
分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 其它线段对应向
量用它们表示。∴你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？猜想：
AR=RT=TC解：设 则由于 与 共线，故设又因为 共线，
所以设因为
所以线，故AT=RT=TC练习、证明直径所对的圆周角是直角分析：要证∠ACB=90°，只须证向
量 ，即 。解：设
则 ，
由此可得：即 ，∠ACB=90°思考：能否用向量
坐标形式证明？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。小结：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：作业：课本P102 1,2
