2012届江苏省淮安五校高二上学期期末考试数学卷

淮安五校2010—2011学年度第一学期高二期末考试
数 学 试 题
填空题：（每小题5分，计70分）
1.命题“对任何”的否定是____▲____
2.“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的 ▲ 条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分亦不必要之一）
3. 函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调递增区间是 ▲
4. 对于平面和共面的直线m、n，下列命题中假命题有 ▲ 个
A.若m⊥，m⊥n，则n∥ B.若m∥，n∥，则m∥n
C.若m，n∥，则m∥n D.若m、n与所成的角相等，则n∥m
5.曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 ▲
6.设a∈R，若函数y=ex+ax有大于0的极值点，则实数a的取值范围是 ▲
7.将直线y=3x绕原点逆时针旋转900，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为 ▲
8.过点P的直线l将圆C：(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k= ▲
9.已知椭圆的两个焦点是F1、F2,满足=0的点M总在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ▲
10. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|= ▲
11. 对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包涵Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 其中为凸集的是 ▲ （写出所有凸集相应图形的序号）.
12. 正方体中，，是的中点，则四棱锥的体积为______▲_______．
13. 椭圆中，以点M（-1，2）为中点的弦所在的直线斜率为 ▲
14. 已知，设在R上单调递减，的定义域为R，如果“或”为真命题，“或”也为真命题，则实数的取值范围是______▲___．
二．解答题：（计90分）
15.（本题满分14分）已知两个命题r(x):sinx+cosx>m;s(x):x2+mx+1>0.如果对于任意实数x，r(x)s(x) 为假，r(x)s(x)为真，求实数m的取值范围。
16. （本题满分14分）
如图， ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC= CF=2a，DE=a， P为AB的中点.
（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求证：AE∥平面BCF.
17.（本题满分15分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1相交于M、N两点.
(1).求实数k的取值范围
(2).求证：为定值
(3).若O为坐标原点，且=12,求直线l的方程
18. （本题满分15分）已知圆A：与x轴负半轴交于B点，过B的弦BE与y轴正半轴交于D点，且2BD=DE，曲线C是以A，B为焦点且过D点的椭圆．
（1）求椭圆的方程；
（2）点P在椭圆C上运动，点Q在圆A上运动，求PQ+PD的最大值．
19.（本题满分16分）
如图，抛物线轴交于O，A两点，交直线于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C。
（I）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；
（II）求证：圆C经过除原点外的一个定点；
（III）是否存在这样的抛物线M，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？
20．（本题满分16分）
已知函数，且对任意，有.
（1）求；
（2）已知在区间（0，1）上为单调函数，求实数的取值范围.
（3）讨论函数的零点个数？(提示：)
淮安五校2010—2011学年度第一学期高二期末考试
数学参考答案
一．填空题
1. 2.充分不必要 3. （-∞,-1）和（11，+∞）注：含-1或11端点亦正确 4.3 5. 6. 7.x+3y-1=0 8. 9. 10.8 11.②③ 12. 13. 14. （0，1）∪(1,+∞)
二．解答题：
15.解：∵sinx+cosx=
∴当r(x)为真命题时，m<- ……………… 3分
又 若s(x)为真命题，则x2+mx+1>0恒成立，有△=m2-4<0,-2则由题知r(x)真，s(x)假时有m≤-2 ……………… 9分
r(x)假，s(x)真时有 ……………… 12分
故m ……………… 14分
16. 证明：（1）在矩形ABCD中，由AP=BP=BC=2a可得PC=PD=………………1分
又CD=4a，由勾股定理可得PD⊥PC……………………3分
因为CF⊥平面ABCD，则PD⊥CF……………………5分
由PCCF=C可得PD⊥平面PFC……………………6分
故平面PCF⊥平面PDE……………………7分
（2）作FC中点M，连接EM、BM
由CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD可得CM∥DE，又CM=DE=a，得四边形DEMC为平行四边形……………………9分
故ME∥CD∥AB，且ME=D=AB，所以四边形AEMB为平行四边形
故AE∥BM……………………12分
又AE平面BCF，BM平面BCF，所以AE∥平面BCF. ……………………14分
注：本题也可以用平面ADE∥平面BCF证。
17.解：(1).法一：直线l过点A（0，1），且斜率为k，则直线l的方程为y=kx+1 2分
将其代入圆C方程得： (1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,由题意：△=［-4（1+k）］2-28(1+k2)>0得
……………… 5分
法二：用直线和圆相交，圆心至直线的距离小于半径处理亦可
(2).证明：法一：设过A点的圆切线为AT，T为切点，则AT2=AMAN
而AT2=（0-2）2+(1-3)2=7 ……………… 7分
……………… 10分
法二：用直线和圆方程联立计算证明亦可
(3).设M（x1,y1）,N(x2,y2)由（1）知
……………… 12分
………………14分
k=1符合范围约束，故l:y=x+1 ……………… 15分
18. 解：(1) ……………… 4分
椭圆方程为 ……………… 7分
（2） ………………10分
＝2 ………………14分
所以P在DB延长线与椭圆交点处，Q在PA延长线与圆的交点处，得到最大值为． 15分
19. 解：（I）易得
设圆C的方程为
………………4分
这说明当b变化时，（I）中的圆C的圆心在定直线上。………………6分
（II）设圆C过定点
………………9分
故当b变化时，（I）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为（—1，1）。11分
（III）抛物线M的顶点坐标为（），若存在这样的抛物线M，使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径，
则，………………14分
整理得
以上过程均可逆，故存在抛物线使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径。 ………………16分
20. 解：（1）由
得………………2分
（2）

所以………………4分
依题意，
或在（0，1）上恒成立………………6分
即
或在（0，1）上恒成立
由在（0，1）上恒成立，
可知
由在（0，1）上恒成立，
可知，所以或………………9分
（3），
令
所以………………10分
令，则，列表如下：
（-∞，-1）
-1
（-1，0）
0
（0，1）
1
（1，+∞）
+
0
—
0
+
0
—
h(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值1
单调递增
极大值
单调递减
所以当时，函数无零点；
当1或时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点。
当时，函数有四个零点。………………16分