余弦定理习题
[ ]
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
2．已知三角形的三边为3、4、6，那么此三角形有
[ ]
A．三个锐角
B．两个锐角，一个直角
C．两个锐角，一个钝角
D．以上都不对
[ ]
B．6
4．在△ABC中，若其三边的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，则三个内角正弦值的比是______．
5．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．
余弦定理习题答案
1．B
2．C
3．A
4．3∶5∶7
余弦定理的应用习题1
1．在△ABC中，若b = 2asinB，这个三角形角A的度数为
[ ]
A．30°或60°
B．45°或60°
C．60°或120°
D．30°或150°
[ ]
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．等腰直角三角形
D．以上答案都不对
[ ]
[ ]
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
5．已知△ABC的三边长分别是2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3(m＞0)，则最大内角的度数是
[ ]
A．150°
B．120°
C．90°
D．135°
余弦定理的应用习题1答案
1．D
2．C
3．D
4．B
5．B
余弦定理的应用习题2
2．若△ABC的三边是连续的正整数，最大角是钝角，求三边的长．
4．在△ABC中，A = 120°，a = 7，b＋c = 8，求b和c及B．
余弦定理的应用习题2答案
1．A = 30°，C = 45°，B = 105°．
2．a = 2，b = 3，c = 4．
3．C1 = 30°，c = 2，A = 120°，B = 30°．
4．b = 3，c = 5时，B≈21°47′
b = 5，c = 3时，B≈38°13′
5．由余弦定理：a2 = b2＋c2－2bccosA，
∵A = 60°，b2＋c2－bc = a2．
①
②
习题1
1. △ABC中，(1) 已知A = 45°，B = 60°，C =，则b = ．(2) 若A = 30°，B = 120°，b =12，则a =
2. △ABC中已知a = 6，，A = 30°求第三边C．
3. △ABC中已知，c = 8，C = 45°求内角A = ？
4. △ABC中已知，C = 6，B = 120°．求内角A 、C．
5. △ABC中已知边长c = 8，内角A = 45°，B = 75°．试求其外接圆半径和△ABC的面积．
6. 已知向量与夹角为120°，且，试求向量与+的夹角
答案
1. (1) (2)
2. ∵ 问题有两解：
B = 60°，C = 90°时C = 12
B = 120°，C = 30°时C = 6
3. b＜c 先求角B, 再求钝角A
，B = 30°
∴ 内角A = 105°
4. B为钝角，且b＞c先求锐角C
，C = 45°
∴ 内角A = 15°，C = 45°．
5. 由已知先得内角C = 60°，故由 即得外接圆半径．
再求出
∵ a sin B是C边上高
△ABC面积
6. 如图5—41
由已知，不妨设，则，记所求角为θ
∵
∴
∵ ∥，∠OAC = 60°．
在△OAC中，由正弦定理，
故所求与夹角为30°
评注
1.已知两角一边，学生应正确算出．
2、3、4均为“已知两边和其中一边对角”，首先应分析已知条件，明确解答性质．采取合理步骤，数形联系，得出正确结果
5. 本题编拟意图在于强调正弦定理表述中的比值恰为三角形外接圆直径．
6. 本题与例2，都在使向量计算与三角形求解相结合，体现数形结合数学统一的普遍思想．
学生解答如不顺利，可如上述画图形，设，在△OAC中求解．
习题2
1. 在△ABC中，分别根据下列条件，利用计算器解三角形（即求未知的边角．角度精确到1°，边长保留两个有效数字）
(1) b = 26，c = 15，C = 23°；
(2) a = 15，b = 19，A = 60°；
(3) b = 40，c = 20，C = 25°．
2. 已知向量与夹角为62°，而与夹角为27°．，利用计算器求与．（精确到1cm）
3. 已知△ABC中，，，C = 15°． 利用计算器求△ABC的面积（保留3个有效数字）．
4. 凸四边形ABCD中内角A、B、C依次为60°、90°、120°． 若对角线BD长，则对角线AC长多少？
答 案
1．(1) 有两解：B1≈43°，A1≈114°，a1≈35；B2≈137°，A2≈20°，a2≈13．
(2) 有唯一解B≈35°，C≈85°，c≈17．
(3) 有两解：B1≈58°，A1≈97°，a1≈47； B2≈122°，A2≈33°，a2≈26．
2.由已知与夹角为35°．由正弦定理可求出．．
3.∵ a sin C＜c＜a本题有两解．最终△ABC面积也有两解S1≈3.00；S2≈2.60
4.如图5—42由已知第四内角D = 90°．
则对角线AC恰为四边形ABCD的外接圆直径．
它也是△BCD的外接圆直径．
∴ ．
习题3
1. 分别依据下列条件，利用计算器计算△ABC未知边角（精确到1′或0.01）
(1) a = 6，b = 8，A = 30°；
(2) b = 14，c = 10，A = 145°；
(3) a = 2，b = 3，c = 4．
2. 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数．（精确到1′）
3. 已知△ABC顶点为A (2，0) ，B (－1，4) 和C (5，1) 求此三角形三个内角及面积．
4. △ABC中若b，c和A已知，试求内角A的平分线的长．
5. 在△ABC中bcosB＋ccosC与a哪个大？ 证明你的结论．
答 案
1. (1) 两解c1≈11.40，B1≈41°49′，C1≈108°11′，或c2≈2.46，B2≈138°11′， C2≈11°49′；
(2)B≈20°30′，C≈14°30′，a≈22.92；
(3) A≈28°57′，B≈46°34′，C≈104°29′．
2. 143°8′
3. 由已知，，，由余弦定理可算出,
，∴ A≈108.4°
，∴ B≈26.6°∴C≈45°
△ABC面积
4. ．
5. 由正三角形可知，有可能bcosB＋ccosC = a．
当B = 2C = 60°时 bcosB＋ccosC＜a
往下证 bcosB＋ccosC≤a
由正弦定理bcosB＋ccosC
= 2R sinB cosB＋2RsinCcosC
= R (sin2B＋sin2C ) = 2R sin (B＋C ) cos (B－C )
= 2R sinA cos (B－C ) = a cos (B－C )≤a．
习题
1.在△ABC中，,则k为( )?
?A.2R ?B.R
C.4R ? D.(R为△ABC外接圆半径)
? 2.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( )?
? A.直角三角形 ?B.锐角三角形?
?C.等腰三角形? D.等边三角形
? 3.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( )?
? A.直角三角形? B.等腰直角三角形?
?C.等边三角形? D.等腰三角形
? 4.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为 ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为 .
? 5.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 .?
6.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .?
参考答案：1.A 2.C 3.A?
4.钝角三角形直角三角形锐角三角形?
5.等腰三角形 6.120°?
正弦定理习题
1．△ABC中，sin2A＋sin2B = sin2C，判断△ABC的形状．
4．△ABC的两边长分别为3cm，5cm，尖角的余弦是方程5x2－7x－6 = 0的根，求△ABC的面积．
5．在△ABC中，
(1)2sinCcosB = sinA，(2)cosA∶cosB = b∶a，
判定△ABC的形状．
正弦定理习题答案
1．△ABC为直角三角形．
2．a = 6，∠C = 60°，∠A = 90°或a = 3，∠C = 120°，∠A = 30°．
3．60°或120°．
5．(1)A＋B＋C = 180°，A = 180°－(B＋C)．
sinA = sin(B＋C) = sinBcosC＋cosBsinC
又2sinCcosB = sinA． 2sinCcosB = sinBcosC＋cosBsinC．
sinCcosB－cosBsinC = 0，sin(C－B) = 0，B = C，△ABC为等腰三角形．
(2)由正弦定理：b∶a = sinB∶sinA，又cosA∶cosB = b∶a，
则 sinB∶sinA = cosA∶cosB，sinBcosB = sinAcosA，
sin2A = sin2B，2A = 2B或2A = π－2B．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
正弦定理的应用习题
1．在△ABC中，已知a、b、A，且A为锐角，求B．
(1)当a≥b时，有________解．
(2)当a = bsinA时，有________解．
(3)当bsinA＜a＜b时，有________解．
(4)当a＜bsinA时，________
2．不解三角形，判断三角形的个数．
(1)a = 5，b = 4，A = 120°
(2)a = 30，b = 30，A = 50°
(3)a = 7，b = 14，A = 30°
(4)a = 9，b = 10，A = 60°
(5)c = 6，b = 9，C = 45°
(6)c = 50，b = 72，C = 135°
3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是
[ ]
A．b = 10，A = 45°，B = 70°
B．a = 60，c = 48，B = 100°
C．a = 7，b = 5，A = 80°
D．a = 14，b = 16，A = 45°
4．△ABC三内角成等差数列，同时三边也成等比数列，则△ABC是
[ ]
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形．
5．在△ABC中，
(1)已知a = 40，b = 30，A = 42°求B．
(2)已知a = 30，b = 40，A = 42°求B．
(3)已知a = 18，b = 30，A = 42°求B．
6．已知平行四边形ABCD中，∠B = 52°，∠CAD = 40°，AB = 18，求对角线AC及边BC．
7．如图，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB = DC，C = 60°，BC = 18．
(2)在△ABD中，若∠ABD = 32°，求BD、AB．
(3)若AD = 10，求此梯形的面积．
b及此三角形的面积．
正弦定理的应用习题答案
1．(1)一解
(2)一解
(3)两解
(4)无解
2．(1)有一解
(2)有一解
(3)有一解
(4)两解
(5)无解
(6)无解
3．D
4．C
5．(1)B≈30°
(2)B1 = 63.2°，B2 = 116.8°
(3)无解
6．AC≈22.1 BC≈28.0
7．(2)BD≈15.67 AB≈8.47 (3)S梯≈62.35．
8．∵tanA＋tanB = tan(A＋B)(1－tanAtanB)
= －tanC(1－tanAtanB) = 5．
又tanA·tanB = 6，且a＞b．
∴tanA = 3，tanB = 2，
