第3章一元二次方程 复习题

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第3章一元二次方程　复习题
双基演练
一、选择题
1．下面关于x的方程中①ax2＋bx＋c＝0；②3（x—9）2—（x＋1）2＝1；③x＋3＝；
④（a2＋a＋1）x2—a＝0；④＝x—1．一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．要使方程（a—3）x2＋（b＋1）x＋c＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠—1 D．a≠3且b≠—1且c≠0
3．若（x＋y）（1—x—y）＋6＝0，则x＋y的值是（ ）
A．2 B．3 C．—2或3 D．2或—3
4．若关于x的一元二次方程3x2＋k＝0有实数根，则（ ）
A．k>0 B．k<0 C．k≥0 D．k≤0
5．下面对于二次三项式—x2＋4x—5的值的判断正确的是（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0
6．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：（1）若x2＝a2，则x＝ a ；
（2）方程2x（x—1）＝x—1的根是 x＝0 ；（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 5 ．其中答案完全正确的题目个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（ ）
A．500元 B．400元 C．300元 D．200元
8．利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，则第二季度共生产零件（ ）
A．100万个 B．160万个 C．180万个 D．182万个
二、填空题
9．若ax2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则不等式3a＋6>0的解集是________．
10．已知关于x的方程x2＋3x＋k2＝0的一个根是—1，则k＝_______．
11．若x＝2—，则x2—4x＋8＝________．
12．若（m＋1）＋2mx—1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
13．若a＋b＋c＝0，且a≠0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有一个定根，它是_______．
14．若矩形的长是6cm，宽为3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．
15．若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________．
三、计算题（每题9分，共18分）
16．按要求解方程：
（1）4x2—3x—1＝0（用配方法）； （2）5x2—x—6＝0（精确到0．1）
17．用适当的方法解方程：
（1）（2x—1）2—7＝3（x＋1）； （2）（2x＋1）（x—4）＝5；
（3）（x2—3）2—3（3—x2）＋2＝0．
能力提升
18．若方程x2—2x＋（2—）＝0的两根是a和b（a>b），方程x—4＝0的正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．
19．已知关于x的方程（a＋c）x2＋2bx—（c—a）＝0的两根之和为—1，两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．
20．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？
21．李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11公里，应收29.10元”．出租车司机说：“请付29.10元．”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N（N<12）是多少元．
里程（公里） 06
价格（元） N
聚焦中考
22.（2010。广州）方程的根是（ ）
A B C D
23.（2010。襄樊）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的，则平均每次降价（ ）
A． B． C． D．
24.（2010。威海）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
25．（2010。四川省资阳）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a ＋ b)x2 ＋ 2cx ＋ (a ＋ b)＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
26．（2010年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为 .
27.（2010。江苏省淮安市）小华在解一元二次方程x2—4x＝0时．只得出一个根是x＝4,则被他漏掉的一个根是x＝_____．
28．(2010年·东莞市)在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
29．(2010年湘潭)阅读材料：
如果，是一元二次方程的两根，那么有.
这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题:
设是方程的两根，求的值.
解法可以这样：则
. 请你根据以上解法解答下题：
已知是方程的两根，求：
（1）的值；（2）的值.
答案:
一、
1．B 点拨：方程①与a的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为2，是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为（a＋）2＋．不论a取何值，都不为0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程．也可排除，故一元二次方程仅有2个．
2．B 点拨：由a—3≠0，得a≠3．
3．C 点拨：用换元法求值，可设x＋y＝a，原式可化为a（1—a）＋6＝0，解得a1＝3，a2＝—2．
4．D 点拨：把原方程移项，变形为：x2＝—．由于实数的平方均为非负数，故—≥0，则k≤0．
5．B 点拨：—x2＋4x—5＝—（x2—4x＋5）＝—（x2—4x＋4＋1）＝—（x—2）2＝—1．
由于不论x取何值，—（x—2）2≤0，所以—x2＋4x—5<0．
6．A 点拨：第（1）题的正确答案应是x＝±a；第（2）题的正确答案应是x1＝1，x2＝．第（3）题的正确答案是5或．
7．C 点拨：设商品的原价是x元．则0.75x＋25＝0.9x—20．解之得x＝300．
8．D 点拨：五月份生产零件：50（1＋20%）＝60（万个）
六月份生产零件50（1＋20%）2＝72（万个）
所以第二季度共生产零件50＋60＋72＝182（万个），故选D．
二、
9．a>—2且a≠0 点拨：不可忘记a≠0．
10．± 点拨：把—1代入方程：（—1）2＋3×（—1）＋k2＝0，则k2＝2，所以k＝±．
11．14 点拨：由x＝2—，得x—2＝—．两边同时平方，得（x—2）2＝10，即x2—4x＋4＝10， 所以x2—4x＋8＝14．注意整体代入思想的运用．
12．—3或1 点拨：由 解得m＝—3或m＝1．
13．1 点拨：由a＋b＋c＝0，得b＝—（a＋c），原方程可化为ax—（a＋c）x＋c＝0，
解得x1＝1，x2＝．
14．3cm 点拨：设正方形的边长为xcm，则x2＝6×3，解之得x＝±3，由于边长不能为负，故x＝—3舍去，故正方形的边长为3cm．
15．30或—30 点拨：设其中的一个偶数为x，则x（x＋2）＝224．解得x1＝14，x2＝—16，则另一个偶数为16，—14．这两数的和是30或—30．
三、
16．解：（1）4x2—3x—1＝0，称 ，得4x2—3x＝1，
二次项系数化为1，得x2—x＝，
配方，得x2—x＋（）2＝＋（）2，
（x—）2＝，x—＝±，x＝±，
所以x1＝＋＝1，x2＝—＝．
（2）5x2—x—6＝0
原方程可化为（x＋2）（x—3）＝0，
＋2＝0或—3＝0，
所以x1＝≈＝0.9，x2＝≈1.3．
点拨：不要急于下手，一定要审清题，按要求解题．
17．解：（1）（2x—1）2—7＝3（x＋1）
整理，得4x2—7x—9＝0，因为a＝4，b＝—7，c＝—9．
所以x＝．
即x1＝，x2＝．
（2）（2x＋1）（x—4）＝5，整理，得2x2—7x—9＝0，
（x＋1）（2x—9）＝0，即x＋1＝0或2x—9＝0，
所以x1＝—1，x2＝．
（3）设x2—3＝y，则原方程可化为y2＋3y＋2＝0．
解这个方程，得y1＝—1，y2＝—2．
当y1＝—1时，x2—3＝—1．x2＝2，x1＝，x2＝—．
当y2＝—2时，x2—3＝—2，x2＝1，x3＝1，x4＝—1．
点拨：在解方程时，一定要认真分析，选择恰当的方法，若遇到比较复杂的方程，审题就显得更重要了．方程（3）采用了换元法，使解题变得简单．
18．解：解方程x2—2x＋（2—）＝0，得x1＝，x2＝2—．
方程x2—4＝0的两根是x1＝2，x2＝—2．
所以a、b、c的值分别是，2—，2．
因为＋2—＝2，所以以a、b、c为边的三角形不存在．
点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断．
19．解：（1）设方程的两根为x1，x2（x1>x2），则x1＋x1＝—1，x1—x2＝1，解得x1＝0，x2＝—1．
（2）当x＝0时，（a＋c）×02＋2b×0—（c—a）＝0．
所以c＝a．当x＝—1时，（a＋c）×（—1）2＋2b×（—1）—（c—a）＝0．a＋c—2b—c＋a＝0，
所以a＝b．即a＝b＝c，△ABC为等边三角形．
点拨：先根据题意，列出关于x，x的二元一次方程组，可以求出方程的两个根0和—1．进而把这两个根代入原方程，判断a、b、c的关系，确定三角形的形状．
20．解：设该产品的成本价平均每月应降低x．
625（1—20%）（1＋6%）—500（1—x）2＝625—500
整理，得500（1—x）2＝405，（1—x）2＝0.81．
1—x＝±0.9，x＝1±0.9，
x1＝1.9（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：该产品的成本价平均每月应降低10%．
点拨：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．
21．解：依题意，N＋（6—3）×＋（11—6）×＝29.10，
整理，得N2—29.1N＋191＝0，解得N1＝19.1，N2＝10，
由于N<12，所以N1＝19.1舍去，所以N＝10．
答：起步价是10元．
点拨：读懂表格是正确列出方程的基础，表格中的含义是：当行车里程不超过3公里时，价格是10元，当行车里程超过了3公里而不超过6公里时，除付10元外，超过的部分每公里再付元；若行车里程超过6公里，除了需付以上两项费用外，超过6公里的部分，每公里再付元．
22．C　　23。 A　　24。B　　25。A　　　26。—2　　27。0
28．.解：设小正方形的边长为.
由题意得，.
解得，.
经检验，符合题意，不符合题意舍去.
∴ .
答：截去的小正方形的边长为.
29．解：
（1）
（2）
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