4.2确定圆的条件

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4.2确定圆的条件
【学习目标】
1．知识与技能：探索并理解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
2．过程与方法：培养学生观察、分析、概括的能力；培养学生动手作图的准确操作的能力。
3．情感态度与价值观：通过引言的教学，激发学生的学习兴趣，培养学生的知识来源于实践又反过来作用于实践的辩证只许物主义观念。
【学习重点】：
1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有” ．
2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．
【学习难点】：
分析作圆的方法，实质是设法找圆心．过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨．
【知识准备】
一、类比联想，实验探究
1.回顾：经过平面内一点可以作几条直线？过两点呢？三点呢？
2.动手做一做:(1)经过一个点A，是否可以作圆？如果能作，可以作几个？
(2)经过两个点A，B如何作圆呢？能作几个？
二、动手实践，发现新知
下面来研究，经过三个已知点作圆又会怎么样呢？由于两点确定一条直线，因此三个点就有在同一直线上的三点和不在同一直线上的三个点两种情况．
1．作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点．
例1 已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)
求作：⊙O，使它经过点A，B，C.
作法：
证明：
思考：1.经过不在同一直线上的三点A，B，C的圆是否存在？
2.是否还有其他符合条件的圆呢？
说明：所作的圆心是______的，从而半径也是______的，则所作圆是______的．
定理：___________________________________________________。
2．过同一直线上的三点能不能做圆呢？我们不妨试试看．
3. 由于任意一个三角形的三个顶点都不在同一直线上，所以由定理可知，经过三角形三个顶点可以作且只能作一个圆．
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：_____________________叫做这个三角形的外接圆，______________叫做圆的内接三角形．
(2)三角形的外心：_____________________叫做这个三角形的外心.
由上面作图方法还可以看出：三角形的外心是_____________________．
【课堂练习】
一、填空题:
1. 经过一点可以作______个圆，经过两点可以作______个圆，经过不在同一条直线上的三个点______个圆；
2. 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的______，这个圆的圆心是三角形三条边的______的交点，叫做三角形的______，它到三角形______的距离相等；锐角三角形的外心在_______.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是______.如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_____.毛
3.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________.
4.△ABC的三边为2,3, ,设其外心为O,三条高的交点为H,则OH的长为_____.
5.已知⊙O的直径为2,则⊙O的内接正三角形的边长为_______.
6.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心.
二、选择题:
7.下列条件,可以画出圆的是( )
A.已知圆心 B.已知半径;
C.已知不在同一直线上的三点 D.已知直径
8.三角形的外心是( )
A.三条中线的交点; B.三条边的中垂线的交点;
C.三条高的交点; D.三条角平分线的交点
9.下列命题不正确的是( )
A.三点确定一个圆 B.三角形的外接圆有且只有一个
C.经过一点有无数个圆 D.经过两点有无数个圆
10.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形; C.锐角三角形 D.等边三角形
11.等腰直角三角形的外接圆半径等于( )
A.腰长 B.腰长的倍; C.底边的倍 D.腰上的高
12.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )
A.1个或3个 B.3个或4个
C.1个或3个或4个 D.1个或2个或3个或4个
三、解答题:
13.如图,已知:线段AB和一点C(点C不在直线AB上),求作:⊙O,使它经过A、B、C三点。(要求:尺规作图,不写法,保留作图痕迹)
14.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站, 使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保留作图痕迹).
15.如图,已知△ABC的一个外角∠CAM=120°,AD是∠CAM的平分线,且AD与△ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E.
(1)判断△FBC的形状,并说明理由.
(2)请给出一个能反映AB、AC和FA的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.
16.要将如图所示的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径 (写出找圆心和半径的步骤).
17.已知:AB是⊙O中长为4的弦,P是⊙O上一动点,cos∠APB=, 问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形 若不存在,试说明理由;若存在,求出这个三角形的面积.
18．如图,在钝角△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2-7x+12=0的两个根(AD答案：
1.无数 无数 1 2.外接圆 垂直平分线 外心 三顶点距离相等 三角形内部 直角三角形 钝角三角形 3.2 4. 5. 6.两 7.C 8.B 9.A 10.C 11.B 12.C 13.略. 14. 略.
15.(1)△FBC是等边三角形,由已知得:
∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC,
∴∠BFC=∠BAC=60°,∠BCF=∠BAF=60°,
∴△FBC是等边三角形.
(2)AB=AC+FA.在AB上取一点G,使AG=AC,则由于∠BAC=60°,
故△AGC是等边三角形,
从而∠BGC=∠FAC=120°,
又∠CBG=∠CFA,BC=FC,
故△BCG≌△FCA,
从而BG=FA,又AG=AC,
∴AC+FA=AG+BG=AB.
【探究创新】
16.(1)在残圆上任取三点A、B、C。
(2)分别作弦AB、AC的垂直平分线, 则这两垂直平分线的交点即是所求的圆心
(3)连接OA,则OA的长即是残圆的半径.
17.存在.∵AB不是直径(否则∠APB=90°,而由cos∠APB= 知∠APB<90°,矛盾)
∴取优弧的中点为P点,过P作PD⊥AB于D,
则PD是圆上所有的点中到AB 距离最大的点.
∵AB的长为定值,
∴当P为优弧的中点时,△APB的面积最大,连接PA、PB,
则等腰三角形APB即为所求.
由作法知:圆心O必在PD上,如图所示,连接AO,则由垂径定理得AD= AB=2.
又∠AOD=∠1+∠2,而∠2=∠3,∠1=∠2
故∠AOD=∠2+∠1=∠2+∠3=∠APB,即cos∠AOD= ,
∴cos∠AOD=,设OD=x,OA=3x,则AD= ,
即=2 ,故x=,
∴AO=3x=,OD=x=,
∴PD=OP+OD= OA+OD=+=2,
∴S△APB= AB·PD=4.
18．过O作OE⊥AB于E,连接OB,则∠AOE=∠AOB,AE=AB,
∴∠C=∠AOB=∠AOE.
解方程x2-7x+12=0可得DC=4,AD=3,
故AB=,AE=,
可证Rt△ADC∽Rt△AEO,
故,
又AC==5, AD=3,AE=,
故AO=,
从而S⊙O=.毛
A
B
A
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