【苏教版必修五教案】2.2 .2等差数列的通项公式 教案2
文档属性
| 名称 | 【苏教版必修五教案】2.2 .2等差数列的通项公式 教案2 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 71.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-02-26 17:24:00 | ||
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文档简介
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2.2 .2等差数列的通项公式
[教学过程]
1.课题引入
1.复习回顾：(上节课我们学习了数列的定义及通项公式,那么什么叫数列？什么是数列的通项公式)
从函数的观点看，数列可看成是定义域为N﹡（或它的子集）的函数，当自变量从小到大的依次取值时，所对应的一列函数值。数列的通项公式是该函数的解析式。
2.创设情境 引入课题：(这节课我们将学习一类特殊的数列，下面我们看这样一些例子）
①德国数学家高斯八岁时计算1+2+3+···+100= 时，所用到的数列：1，2，3，4，...，100
②姚明刚进NBA一周里每天训练发球的个数依次是：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000
③匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）:
引导学生观察：上面的数列①、②、③有什么共同特点
对于数列（1），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ；
对于数列（2），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ；
对于数列（3），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ；
发现这些数列有一个共同特点：从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，我们把有这一特点的数列叫做等差数列（板书课题）。
2、新课探究
（一）等差数列的定义
1、（完善黑体字形成）等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。
上面三个数列都是等差数列，公差依次是 ， ， 。
你觉得在理解等差数列的定义时应注意什么？强调：
①“从第二项起”（这是为了保证“每一项”都有“前一项”）；
②每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（因为“同一个常数”体现了等差数列的基本特征）；
在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：
2、等差数列定义的数学表达式（在理解概念的基础上，引导学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式）：
试一试：（加深对概念的理解）
① 9 ，8，7，6，5，4，……是等差数列吗？
②常数列３，３，…，３，…是等差数列吗？
③数列1，4，7，11，15，19是等差数列吗？
可见，公差可以是正数、负数，也可以是0；
④若数列满足： ，则数列是等差数列吗？（此题易判断错，强调理解定义必须准确，也为后续内容埋下伏笔）
（2）等差数列的通项公式
1、公式推导—探究活动一
如果等差数列首项是，公差是，那么这个等差数列如何表示？呢？（步步为营，层层推进）
根据等差数列的定义可得：
，，，…。
所以：，
，
，
……
由此完成填空（学生易归纳填出），得…(*)，这是等差数列的通项公式吗？（让学生回答）
当时，对(*)式两边均为,即等式也成立，说明(*)式对都成立，因此等差数列的通项公式就是: ，
（至此指出）上面求通项公式的方法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，因此我们有必要寻求更为严密的推导方法。
根据等差数列的定义可得：
……
将以上个式子相加得（该过程应体现探索）。这种求通项公式的方法叫叠加法。
2、公式理解
通项公式含有这4个量，已知三个量，第4个量就是未知数，通项公式就是方程，解方程就可以求出第4个量。即利用方程的思想“知三可求一”。
三、应用与探索
例１．已知等差数列１８，１５，１２，９，…… --------公式的简单应用
①请写出
②-279是否是这个数列中的项，如果是，是第几项？
解：① ，
，；
②解得，即是该数列的第100项。
说明：要判断-279是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得成立，实质上是要求方程的正整数解。
例2．已知等差数列中，求的值。 --------公式的深化与推广
解：。
解方程组比较麻烦，可否避免？ 发现：——是一种巧合，还是对任意的两项差都满足？请同学们思考：——探究活动二
在公差为的等差数列中，与有何关系？
分析： （证实并非巧合）。
比较与 发现，前式是后式的特例，后式是前式的推广。
为此我们不妨把叫做等差数列的变通式好了。
（在后板书：等差数列的变通式）
请用变通式再解例2。
解法二：由即得，所以。
发现：5，15，25成等差， 也成等差；在等差数列中，成等差数列，那么 成等差数列吗？（课后思考）
练一练：（强化通项公式与变通式的应用）
(1)在等差数列中,已知， ,则 ；
(2)若，则
(4) 在等差数列中,已知， ,则的值为 ；
例3：（由等差数列通项公式得（是常数），当的时候，通项公式是关于的一次式 ，一次项的系数是公差。等差数列通项可以写成形式）反之如果数列的通项公式为（其中，是常数），那么这个数列是等差数列吗？
分析：判定是不是等差数列，也就要看是不是与n无关的常数。
解：对数列中的任意两项与，为常数，
∴是等差数列，首项a1=p+q,公差为p。
由些得出： 数列{an}为等差数列的充要条件是其通项 (p、q是常数)。
探究活动三：
（1）在直角坐标系中，画出的图象。这个图象有什么特点？（无穷多个孤立点。）
（2）在同一坐标系下，画出函数的图象。你发现了什么？——实例展示
（的图象是直线上均匀排开的无穷多个孤立点。）
（3）等差数列与函数图象间的有什么关系？
（当时，也是关于n 的一次式；的图象是直线 上均匀排开的无穷多个孤立点。）
4、 归纳小结 提炼精华
本节课主要学习了：
一个定义：
两个公式：，
两种思想：方程思想 、函数的思想。
三种方法：不完全归纳法、迭代法、叠加法（此条不板书）。
五、课后作业 运用巩固
必做题：A.课本 习题3.2第1,2，6 题
B.补充：1.在等差数列中，已知a１=-2 ，是第一个大于1的项。求公差d的取值范围。
2.我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。
问：五人各得几何？
选做题：在等差数列中,已知 ，求下列各式的值：(为下节课研究等差数列的性质做铺垫)
（1） ； （2）
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2.2 .2等差数列的通项公式
[教学过程]
1.课题引入
1.复习回顾：(上节课我们学习了数列的定义及通项公式,那么什么叫数列？什么是数列的通项公式)
从函数的观点看，数列可看成是定义域为N﹡（或它的子集）的函数，当自变量从小到大的依次取值时，所对应的一列函数值。数列的通项公式是该函数的解析式。
2.创设情境 引入课题：(这节课我们将学习一类特殊的数列，下面我们看这样一些例子）
①德国数学家高斯八岁时计算1+2+3+···+100= 时，所用到的数列：1，2，3，4，...，100
②姚明刚进NBA一周里每天训练发球的个数依次是：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000
③匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）:
引导学生观察：上面的数列①、②、③有什么共同特点
对于数列（1），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ；
对于数列（2），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ；
对于数列（3），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ；
发现这些数列有一个共同特点：从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，我们把有这一特点的数列叫做等差数列（板书课题）。
2、新课探究
（一）等差数列的定义
1、（完善黑体字形成）等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。
上面三个数列都是等差数列，公差依次是 ， ， 。
你觉得在理解等差数列的定义时应注意什么？强调：
①“从第二项起”（这是为了保证“每一项”都有“前一项”）；
②每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（因为“同一个常数”体现了等差数列的基本特征）；
在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：
2、等差数列定义的数学表达式（在理解概念的基础上，引导学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式）：
试一试：（加深对概念的理解）
① 9 ，8，7，6，5，4，……是等差数列吗？
②常数列３，３，…，３，…是等差数列吗？
③数列1，4，7，11，15，19是等差数列吗？
可见，公差可以是正数、负数，也可以是0；
④若数列满足： ，则数列是等差数列吗？（此题易判断错，强调理解定义必须准确，也为后续内容埋下伏笔）
（2）等差数列的通项公式
1、公式推导—探究活动一
如果等差数列首项是，公差是，那么这个等差数列如何表示？呢？（步步为营，层层推进）
根据等差数列的定义可得：
，，，…。
所以：，
，
，
……
由此完成填空（学生易归纳填出），得…(*)，这是等差数列的通项公式吗？（让学生回答）
当时，对(*)式两边均为,即等式也成立，说明(*)式对都成立，因此等差数列的通项公式就是: ，
（至此指出）上面求通项公式的方法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，因此我们有必要寻求更为严密的推导方法。
根据等差数列的定义可得：
……
将以上个式子相加得（该过程应体现探索）。这种求通项公式的方法叫叠加法。
2、公式理解
通项公式含有这4个量，已知三个量，第4个量就是未知数，通项公式就是方程，解方程就可以求出第4个量。即利用方程的思想“知三可求一”。
三、应用与探索
例１．已知等差数列１８，１５，１２，９，…… --------公式的简单应用
①请写出
②-279是否是这个数列中的项，如果是，是第几项？
解：① ，
，；
②解得，即是该数列的第100项。
说明：要判断-279是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得成立，实质上是要求方程的正整数解。
例2．已知等差数列中，求的值。 --------公式的深化与推广
解：。
解方程组比较麻烦，可否避免？ 发现：——是一种巧合，还是对任意的两项差都满足？请同学们思考：——探究活动二
在公差为的等差数列中，与有何关系？
分析： （证实并非巧合）。
比较与 发现，前式是后式的特例，后式是前式的推广。
为此我们不妨把叫做等差数列的变通式好了。
（在后板书：等差数列的变通式）
请用变通式再解例2。
解法二：由即得，所以。
发现：5，15，25成等差， 也成等差；在等差数列中，成等差数列，那么 成等差数列吗？（课后思考）
练一练：（强化通项公式与变通式的应用）
(1)在等差数列中,已知， ,则 ；
(2)若，则
(4) 在等差数列中,已知， ,则的值为 ；
例3：（由等差数列通项公式得（是常数），当的时候，通项公式是关于的一次式 ，一次项的系数是公差。等差数列通项可以写成形式）反之如果数列的通项公式为（其中，是常数），那么这个数列是等差数列吗？
分析：判定是不是等差数列，也就要看是不是与n无关的常数。
解：对数列中的任意两项与，为常数，
∴是等差数列，首项a1=p+q,公差为p。
由些得出： 数列{an}为等差数列的充要条件是其通项 (p、q是常数)。
探究活动三：
（1）在直角坐标系中，画出的图象。这个图象有什么特点？（无穷多个孤立点。）
（2）在同一坐标系下，画出函数的图象。你发现了什么？——实例展示
（的图象是直线上均匀排开的无穷多个孤立点。）
（3）等差数列与函数图象间的有什么关系？
（当时，也是关于n 的一次式；的图象是直线 上均匀排开的无穷多个孤立点。）
4、 归纳小结 提炼精华
本节课主要学习了：
一个定义：
两个公式：，
两种思想：方程思想 、函数的思想。
三种方法：不完全归纳法、迭代法、叠加法（此条不板书）。
五、课后作业 运用巩固
必做题：A.课本 习题3.2第1,2，6 题
B.补充：1.在等差数列中，已知a１=-2 ，是第一个大于1的项。求公差d的取值范围。
2.我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。
问：五人各得几何？
选做题：在等差数列中,已知 ，求下列各式的值：(为下节课研究等差数列的性质做铺垫)
（1） ； （2）
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