【苏教版必修五教案】2.3.1等比数列的概念 教案1
文档属性
| 名称 | 【苏教版必修五教案】2.3.1等比数列的概念 教案1 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 91.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-02-26 17:24:00 | ||
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文档简介
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2.3.1 等比数列的概念
教学过程
导入新课?
师 现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？
生 一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子，…??
师 非常好的一个例子！?
现实生活中，我们会遇到许多这类的事例.?
教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.?
师 细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？?
生 通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：?
1，2，4，8，…①?
教师出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”?
师 这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？?
生 思考、讨论，用现代语言叙述.?
师 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？
生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，，，，，… ②?
教师出示投影胶片2：计算机病毒传播问题.
一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢
师 (读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？?
引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.?
生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：?
1，20，202，203，204，… ③?
教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题.?
师 介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.?
给出计算本利和的公式：?
本利和=本金×(1+本金)n，这里n为存期.?
生 列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.?
师 生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下面数列：?
10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85. ④?
师 回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？?
师 引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.?
引入课题：板书课题 2.4等比数列的概念
推进新课
［合作探究］?
师 从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？?
生 回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：?
一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.?
［教师精讲］?
师 同学们概括得很好，这就是等比数列(?geometric sequence)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(Geometric Progression).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示(q≠0).
请同学们想一想，为什么q≠0呢？?
生 独立思考、合作交流、自主探究.?
师 假设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢？?
生 分母为0了.?
师 对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0.?
师 那么，等比数列的首项能不能为0呢？?
生 等比数列的首项不能为0.?
师 是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0.?
［合作探究］?
师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.?
生 如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项.
师 想一想，这时a、b的符号有什么特点呢？你能用a、b表示G吗？?
生 一起探究,a、b是同号的，G=±，G2=ab.?
师 观察学生所得到的a、b、G的关系式，并给予肯定.?
补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n-k+a n+k=2an.对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？?
生 独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a n-k·a n+k=an2.?
［合作探究］?
探究：?
(1)一个数列a1,a2,a3,…,an,…(a1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？?
(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？?
(3)任一项an及公比q相同，则这两个数列相同吗？?
(4)任意两项am、an相同，这两个数列相同吗？?
(5)若两个等比数列相同，需要什么条件？?
师 引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答.?
生 探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.?
［教师精讲］?
概括总结对上述问题的探究，得出：?
(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列.?
概括学生对(2)(3)(4)的解答.?
(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.?
(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同；?
(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；?
(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.?
(探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备)?
［知识拓展］?
师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？?
教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.
某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x,本利和为y元.
（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；?
（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
师 前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.?
生 比较两种方法，思考它们的异同.?
［教师精讲］?
通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.
(1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为an=2 n-1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？?
(2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象和函数y=()x-1的图象，你又发现了什么？?
生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.?
师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.?
观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点.?
例题剖析］?
【例1】 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？?
师 从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系.?
【例2】 根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？?
师 将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，….?
可知a1=1;a2=a1×;a3=a2×.?
于是，可得递推公式?
.?
由于，因此，这个数列是等比数列.?
生 算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.?
练习：?
1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.?
师 启发、引导学生列方程求未知量.?
生 探究、交流、列式、求解.?
2.课本练习第1、2题.?
课堂小结
本节学习了如下内容：?
1.等比数列的定义.?
布置作业
课本习题?第1、2题.?
板书设计
等比数列的概念1.等比数列的定义 实例剖析 从三个角度类比等差数列表 例1练习：1.(学生板演) 例2
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2.3.1 等比数列的概念
教学过程
导入新课?
师 现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？
生 一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子，…??
师 非常好的一个例子！?
现实生活中，我们会遇到许多这类的事例.?
教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.?
师 细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？?
生 通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：?
1，2，4，8，…①?
教师出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”?
师 这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？?
生 思考、讨论，用现代语言叙述.?
师 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？
生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，，，，，… ②?
教师出示投影胶片2：计算机病毒传播问题.
一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢
师 (读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？?
引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.?
生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：?
1，20，202，203，204，… ③?
教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题.?
师 介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.?
给出计算本利和的公式：?
本利和=本金×(1+本金)n，这里n为存期.?
生 列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.?
师 生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下面数列：?
10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85. ④?
师 回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？?
师 引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.?
引入课题：板书课题 2.4等比数列的概念
推进新课
［合作探究］?
师 从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？?
生 回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：?
一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.?
［教师精讲］?
师 同学们概括得很好，这就是等比数列(?geometric sequence)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(Geometric Progression).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示(q≠0).
请同学们想一想，为什么q≠0呢？?
生 独立思考、合作交流、自主探究.?
师 假设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢？?
生 分母为0了.?
师 对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0.?
师 那么，等比数列的首项能不能为0呢？?
生 等比数列的首项不能为0.?
师 是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0.?
［合作探究］?
师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.?
生 如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项.
师 想一想，这时a、b的符号有什么特点呢？你能用a、b表示G吗？?
生 一起探究,a、b是同号的，G=±，G2=ab.?
师 观察学生所得到的a、b、G的关系式，并给予肯定.?
补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n-k+a n+k=2an.对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？?
生 独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a n-k·a n+k=an2.?
［合作探究］?
探究：?
(1)一个数列a1,a2,a3,…,an,…(a1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？?
(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？?
(3)任一项an及公比q相同，则这两个数列相同吗？?
(4)任意两项am、an相同，这两个数列相同吗？?
(5)若两个等比数列相同，需要什么条件？?
师 引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答.?
生 探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.?
［教师精讲］?
概括总结对上述问题的探究，得出：?
(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列.?
概括学生对(2)(3)(4)的解答.?
(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.?
(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同；?
(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；?
(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.?
(探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备)?
［知识拓展］?
师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？?
教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.
某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x,本利和为y元.
（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；?
（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
师 前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.?
生 比较两种方法，思考它们的异同.?
［教师精讲］?
通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.
(1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为an=2 n-1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？?
(2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象和函数y=()x-1的图象，你又发现了什么？?
生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.?
师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.?
观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点.?
例题剖析］?
【例1】 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？?
师 从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系.?
【例2】 根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？?
师 将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，….?
可知a1=1;a2=a1×;a3=a2×.?
于是，可得递推公式?
.?
由于，因此，这个数列是等比数列.?
生 算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.?
练习：?
1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.?
师 启发、引导学生列方程求未知量.?
生 探究、交流、列式、求解.?
2.课本练习第1、2题.?
课堂小结
本节学习了如下内容：?
1.等比数列的定义.?
布置作业
课本习题?第1、2题.?
板书设计
等比数列的概念1.等比数列的定义 实例剖析 从三个角度类比等差数列表 例1练习：1.(学生板演) 例2
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