【苏教版必修五教案】2.3.3 等比数列的前n项和 教案2

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2.3.3 等比数列的前n项和
第一课时
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
前面我们一起学习有关等比数列的定义、通项公式及性质.
(1)定义式：＝q(n≥2，q≠0)
(2)通项公式：an＝a1qn－1(a1，q≠0)
(3)性质：①a，G，b成等比数列G2＝ab
②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
Ⅱ.讲授新课
前面我们一起探讨了等差数列的求和问题，等比数列的前n项和如何求 下面我们先来看引言.
引言中提到的问题是这样的：求数列1，2，4，…，263的各项和.可看出，这一数列为一以a1＝1，q＝2的等比数列.这一问题相当于求此数列的前64项的和.
1.前n项和公式
一般地，设有等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.
刚才问题即为求：S64＝a1＋a2＋…＋a64＝1＋2＋4＋…＋263 ①
我们发现，若在①式两边同乘以2，则得
2S64＝2＋4＋…＋263＋264 ②
由②－①可得：S64＝264－1
同理，可知，若Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
又∵在等比数列中，an＝a1qn－1，∴a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1,
qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn
不妨将上两式相减可得(1－q)Sn＝a1－a1qn
（1）当q＝1，Sn＝na1
（2）当q≠1时，Sn＝ ①
或Sn＝ ②
若已知a1，q，n，则选用公式①；当已知a1，q，an时，则选用公式②.
2.例题讲解
［例1］求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
分析：等比数列的第5项到第10项可组成一新等比数列.
解法一：由1，2，4，…可知：a1＝1，q＝2
∴an＝2n－1，∴a5＝24＝16，a10＝29＝512.
从第5项到第10项共有6项，它们的和为：＝1008.
答案：从第5项到第10项的和为1008.
解法二：从第5项到第10项的和为：a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S4
由a1＝1，q＝2得Sn＝＝2n－1，∴S10＝210－1＝1023
S4＝24－1＝15，S10－S4＝1008.
答：从第5项到第10项的和为1008.
［例2］一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人
分析：得知信息的人数可组成一以1为首项，公比为2的等比数列.
解：根据题意可知，获知此信息的人数依次为1，2，4，8，…是一以a1＝1，q＝2的等比数列.
一天内获知此信息的总人数为即为此数列的前24项之和S24＝＝224－1
答：一天时间可传遍224－1人.
评述：应先将所遇问题数学化，然后用有关知识加以解决.
Ⅲ.课堂练习
课本P54练习1，2，3，4
Ⅳ.课时小结
等比数列求和公式：Sn＝或Sn＝ (q≠1)及推导方法：错位相减法.是本节课应重点掌握的内容，课后应进一步熟练公式掌握其基本应用.
Ⅴ.课后作业
课本P58习题 1，2，7
等比数列的前n项和(二)
教学目标：
综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力.
教学重点：
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.
教学难点：
灵活使用有关知识解决问题
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
前面我们学习了哪些有关等比数列的知识
定义式：＝q(q≠0，n≥2)
通项公式：an＝a1qn－1(a1,q≠0)
若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq,
Sn＝＝ (q≠1)
Sn＝na1，(q＝1)
an＝Sn－Sn－1(n≥2)，a1＝S1(n＝1)
Ⅱ.讲授新课
我们结合一些练习来看一下如何灵活应用它们.
［例1］求和：（x＋）＋（x2＋）＋…＋（xn＋） (其中x≠0，x≠1，y≠1)
分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.
解：当x≠0，x≠1，y≠1时，
（x＋）＋（x2＋）＋…＋（xn＋）＝(x＋x2＋…＋xn)＋(＋＋…＋)
＝＋ eq \f(（1－）,1－) ＝＋
此方法为求和的重要方法之一：分组求和法.
［例2］已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列.
分析：由题意可得S3＋S6＝2S9，要证a2，a8，a5成等差数列，只要证a2＋a5＝2a8即可.
证明：∵S3，S9，S6成等差数列，∴S3＋S6＝2S9
若q＝1，则S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，由等比数列中，a1≠0得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，∴q≠1，
∴S3＝，S6＝，S9＝且
＋＝
整理得q3＋q6＝2q9，由q≠0得1＋q3＝2q6
又∵a2＋a5＝a1q＋a1q4＝a1q(1＋q3)，∴a2＋a5＝a1q·2q6＝2a1q7＝2a8
∴a2，a8，a5成等差数列.
评述：要注意题中的隐含条件与公式的应用条件.
［例3］某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)
分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.
解：设每年的产量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30
∴＝30，整理可得：1.1n＝1.6
两边取对数，得nlg1.1＝lg1.6，即：n＝≈5
答：约5年内可以使总产量达到30万吨.
评述：首先应根据题意准确恰当建立数学模型，然后求解.
Ⅲ.课堂练习
课本P58练习1，2，3
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，应掌握等比数列的定义式、通项公式、性质以及前n项求和公式的灵活应用.利用它们解决一些相关问题时，应注意其特点.
Ⅴ.课后作业
课本P58习题 3，4，5
等比数列的前n项和(二)
1．数列{an}为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比.
2．已知数列{an}是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列？
3．求数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和Sn.
4．数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)
(1)证明数列{an}为等比数列；（2）求通项an；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋an2.
5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.
6．等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值.
7．求和（x＋）2＋（x2＋）2＋…＋（xn＋）2
8．求数列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n项和.
等比数列的前n项和(二)答案
1．数列{an}为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比.
分析：利用等比数列的前n项和公式Sn＝解题.
解：若q＝1，则应有S2n＝2Sn，与题意不合，故q≠1.
当q≠1时，由已知得 eq \b\lc\{(\a\al(＝80 ①,＝6560 ②))
由，得＝82，即q2n－82qn＋81＝0
得qn＝81或qn＝1(舍)
∴qn＝81，故q＞1.
{an}的前n项中最大，有an＝54.将qn＝81代入①，得a1＝q－1 ③
由an＝a1qn－1＝54，得a1qn＝54q
即81a1＝54q ④
由③、④得a1＝2，q＝3
评述：在数学解题中还应有一个整体观念，如本题求出qn＝81，应保留qn为一个整体求解方便.
2．已知数列{an}是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列？
分析：应对{an}的公比q分类讨论.
解：设bn＝a(n－1)k+1＋a(n－1)k+2＋…＋ank，且数列{an}的公比为q
则当q＝1时，b1＝b2＝…＝bn＝…＝ka1,
∴{bn}为公比是1的等比数列.
当q≠±1时，bn＝，＝＝qk
∴{bn}为公比是qk的等比数列.
当q＝－1时，若k为偶数，则bn＝0，此时{bn}不能为等比数列.
若k为奇数，数列{bn}为公比为－1的等比数列.
综上：当{an}的公比不为－1时，数列{bn}仍为等比数列；当{an}的公比为－1时，若k为偶数，则{bn}不是等比数列；当k为奇数时，数列{bn}为公比为－1的等比数列.
3．求数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和Sn.
解：(1)a＝0时，Sn＝1；(2)a＝1时，Sn＝n(n＋1)；
(3)a＝－1时，Sn＝ eq \b\lc\{(\a\al(（n为偶数）,（n为奇数）)) ；
(4)a＝±1；a≠0时，Sn＝.
4．数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)
(1)证明数列{an}为等比数列；（2）求通项an；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋an2.
分析：由于条件中涉及Sn与an的关系，因此，要考虑Sn－Sn－1＝an(n≥2)的运用，然后回答定义.
（1）证明：∵Sn＝1＋kan ①
Sn－1＝1＋kan－1 ②
①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)
∴(k－1)an＝kan－1，＝ (常数)，（n≥2）
∴{an}是公比为的等比数列.
（2）解：∵S1＝a1＝1＋ka1，∴a1＝
∴an＝·()n－1＝－
(3)解：∵{an}中a1＝，q＝
∴{an2}为首项为（）2，公比为（）2的等比数列.
当k＝－1时，等比数列{an2}的首项为 ，公比为
∴a12＋a22＋…＋an2＝ eq \f([1－（）n],1－) ＝[1－（）n]
评述：应注意an＝的应用.
5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.
解：设数列的公比为q，项数为2n
则，得q(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝170，∴q＝2
又∵＝85，即＝85
∴22n＝256＝28，∴2n＝8
评述：在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及到a1，n，q，an，Sn5个量，其中a1和q是基本量，利用这两个公式，可知三求二.
6．等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值.
分析：关键是确定首项和公比.
解：设此数列的首项和公比为a1和q.
则 eq \b\lc\{(\a\al(＝1 ①,＝3 ②))
由②÷①得q4＝2.
∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16
＝－＝＝q16＝24＝16.
评述：在研究等比数列的问题中，要确定基本量a1和q,仍然离不开方程思想，在具体求解时，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意优化与化简.
7．求和（x＋）2＋（x2＋）2＋…＋（xn＋）2
分析：注意到（xn＋）2＝an＝x2n＋＋2，且{x2n}与{()2n}为等比数列，故可考虑拆项法.
解：Sn＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋(＋＋…＋)＋
当x＝±1时， Sn＝n＋n＋2n＝4n.
当x≠±1时，Sn＝＋ eq \f(（1－）,1－) ＋2n
＝＋2n
评述：在运用等比数列的求和公式时，要注意分析公比是否为1.
8．求数列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n项和.
分析：可以通过错位相减的方法转化为等比数列的求和问题.
解：（1）当x＝0时，Sn＝0.
(2)当x＝1时，Sn＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝n(n＋3).
(3)当x≠1时，Sn＝2x2＋3x3＋4x4＋…＋(n＋1)xn+1 ①
xSn＝2x3＋3x4＋4x5＋…＋nxn+1＋(n＋1)xn+2 ②
①－②得：（1－x）Sn＝2x2＋x3＋x4＋…＋xn+1－(n＋1)xn+2
＝2x2＋－(n＋1)xn+2
∴Sn＝ ③
又当x＝0时，Sn＝0适合③
∴Sn＝ eq \b\lc\{(\a\al(n(n＋3) （x＝1）, （x≠1）))
评述：错位相减法是一种常用的重要的求和方法.
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