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3.1 不等关系
【教学思路】:
一、创设情景,揭示课题
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较,反映在数量关系上就是相等与不等两种情况,例如:
(1) 某博物馆的门票每位10元,20人以上(含20人)的团体票8折优惠.那么不足20人时,应该选择怎样的购票策略
(2)某杂志以每本2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,若价格每提高0.2元,发行量就减少5000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元,每本杂志的价格应定在怎样的范围内?
(3)下表给出了三种食物,,的维生素含量及成本:
维生素 (单位/kg) 维生素 (单位/kg) 成本(元/kg)
21世纪教育网 300 700 5
500 100 4
300 300 3
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品,要使混合食物中至少含35000单位的维生素及40000单位的维生素,设,这两种食物各取kg,kg,那么,应满足怎样的关系?
问题:用怎样的数学模型刻画上述问题?
二、研探新知
在问题(1)中,设人()买20人的团体票不比普通票贵,则有.21世纪教育网
在问题(2)中,设每本杂志价格提高元,则发行量减少万册,杂志社的销售收入为万元.根据题意,得,化简,得.
在问题(3)中,因为食物,分别为kg,kg,故食物为kg,则有 即
上面的例子表明,我们可以用不等式(组)来刻画不等关系.表示不等关系的式子叫做不等式,常用()表示不等关系.
总结:建立不等式模型:通过具体情景,对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析,找出其中的不等关系,并由此建立不等式.问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题.
三、质疑答辩,排难解惑,发展思维
例1 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求,600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢?
解:假设截得的500mm钢管根,截得的600mm钢管根.
根据题意,应有如下的不等关系:
(1)解得两种钢管的总长度不能超过4000mm;
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍;
(3)解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系,可得不等式组::
说明:关键是找出题目中的限制条件,利用限制条件列出不等关系.
例2 某校学生以面粉和大米为主食.已知面食每100克含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位;米饭每100克含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位.某快餐公司给学生配餐,现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉.设每盒快餐需面食百克、米饭百克,试写出满足的条件.
解:满足的条件为.[来源:21世纪教育网
文字语言与数学符号之间的转换.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 > 至多 ≤
小于 < 至少 ≥
大于等于 ≥ 不少于 ≥
小于等于 ≤ 不多于 ≤
例3 比较大小:
(1)与;(2)与(其中,).
分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
解:(1)
∴.
(2),∵,,∴,所以.
说明:不等式(,)在生活中可以找到原型:克糖水中有克糖(),若再添加克糖(),则糖水便甜了.(浓度=)
例4 已知比较与的大小.
解:
=…………………(*)
①当时,(*)式,所以 ;
②当时,(*)式,所以 ;
③当时,(*)式,所以
说明:1.比较大小的步骤:作差-变形-定号-结论;
2.实数比较大小的问题一般可用作差比较法,其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号.
四、巩固深化,反馈矫正
1.(1)比较 的大小;
(2)如果,比较 的大小.
(3)比较和的大小
(4)当、都为正数且时,试比较代数式与的大小
注意:(3)、(4)是用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要
(5)比较与的大小
(6)比较的大小,其中.[来源:21世纪教育网
(7)比较当时,的大小.
(8)设实数满足的大小关系是_________.
(9)配制两种药剂需要甲、乙两种原料,已知配一剂种药需甲料3毫克,乙料5毫克,配一剂药需甲料5毫克,乙料4毫克。今有甲料20毫克,乙料25毫克,若两种药至少各配一剂,则两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢?用不等式表示出来.
五、归纳整理,整体认识
1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系;通过具体情景,建立不等式模型;
2.比较两实数大小的方法——求差比较法.
六、承上启下,留下悬念
1.比较与的大小;
2.已知且,比较与的大小.
七、板书设计(略)
八、课后记:
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