【苏教版必修五教案】3.2 一元二次不等式 教案

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3.2 一元二次不等式
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
观察函数的图象，可以看出，一元二次不等式的解集就是二次函数的图象（抛物线）位于轴下方的点所对应的值的集合．
因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与轴交点的横坐标，再根据图象写出不等式的解集．
第一步：解方程，得；
第二步：画出抛物线的草图；
第三步：根据抛物线的图象，可知的解集为．
二、研探新知
求解一元二次不等式的过程，可用下图所示和流程图来描述：
一元二次不等式与相应的函数、相应的方程之间的关系：
判别式
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 解下列不等式：
（1）； （2）；（3）； （4）．
解：（1）方程的解为．根据的图象，可得原不等式的解集是．
（2）不等式两边同乘以，原不等式可化为．方程的解为．根据的图象，可得原不等式的解集是．
（3）方程有两个相同的解．根据的图象，可得原不等式的解集为．
（4）因为，所以方程无实数解，根据的图象，可得原不等式的解集为．
思考 ：（1）求解一元二次不等式的过程，怎样用流程图来描述？
（2）求解一元二次不等式的过程，怎样用流程图来描述？
（3）不等式和的解法？
结论：
1.一元二次不等式的解集：
（1）不等式的解集为
（2）不等式的解集为或（其中）
2.归纳解一元二次不等式的步骤：
（1）二次项系数化为正数；　　　　　　　　　　　（2）解对应的一元二次方程；
（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集．
即：一化正→二算Δ→三求根→四写解集
例2 已知关于的不等式的解集是，求实数之值．
解：不等式的解集是，是的两个实数根，由韦达定理知：．
例3 已知不等式的解集为求不等式的解集．
解：由题意 ， 即．代入不等式得：．
即，所求不等式的解集为．
例4 已知一元二次不等式的解集为，求的取值范围．
解：为二次函数，
二次函数的值恒大于零，即的解集为．
， 即，解得：
的取值范围为（适合）．
拓展：1．已知二次函数的值恒大于零，求的取值范围．
2．已知一元二次不等式的解集为,求的取值范围．
3．若不等式的解集为,求的取值范围．
结论：一元二次不等式恒成立的情况：
（1）恒成立；（2）恒成立
例5 若不等式对满足的所有都成立，求实数的取值范围
解：已知不等式可化为．
设，这是一个关于的一次函数（或常数函数），从图象上看，要使在时恒成立，其等价条件是：
　即　解得．
所以，实数的取值范围是．
四、巩固深化，反馈矫正
1.选择题：下列不等式中，解集为实数集Ｒ的是（ ）
(A) （Ｂ） (C) （Ｄ）
2.下列命题中正确的有 ①若是方程的两个实数根，且，那么不等式的解集是；②当时，二次不等式的解集是；③与的解集相同．
3.解下列不等式：①； ②； ③
五、归纳整理，整体认识
1．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法；
2．掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用；
3．掌握将分式不等式转化为一元二次不等式求解．
4.解一元二次不等式的步骤：概括为：一化正→二算Δ→三求根→四写解集
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记
开始
输入
输出“解集”
输出“解集为Φ”
结束
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