【苏教版必修五教案】3.3 简单的线性规划问题 教案1

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3.3 ( http: / / www.21cnjy.com / )简单的线性规划问题
教学过程
第1课时
导入新课
师 前面我们学习了二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.
（生回答）
推进新课
［合作探究］
师 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.
例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？
生 由已知条件可得二元一次不等式组：
师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？
生 （板演）
师 对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P（x,y）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x、y才有意义.
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？
生 则z=2x+3y.
师 这样，上述问题就转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？
［教师精讲］
师 把z=2x+3y变形为,这是斜率为，在y轴上的截距为z的直线.当z变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.
生 当z变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）
师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线，这说明，截距z[]3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距最大时，z取最大值，因此，问题转化为当直线与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P，使直线经过P时截距最大.
由图可以看出，当直线经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距最大，最大值为.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.
［知识拓展］
再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l0:2x+y=0.
然后，作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：t=2x+y∈［3,12］.
若设t=2x+y，式中变量x、y满足下列条件求t的最大值和最小值.
分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.
作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：t=2x+y∈［3,12］.
(1)
从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l0：2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0)l:2x+y=t,t∈R.
可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y＞0,即t＞0.
而且，直线l往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.
在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线l2所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线l1所对应的t最小.所以tmax=2×5+2=12,tmin?=2×1+3=3.
(2)
(3)
［合作探究］
师 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.
那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
课堂小
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.
2.设t=0，画出直线l0.
3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
布置作业
1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？
分析：将已知数据列成下表：
甲原料（吨） 乙原料（吨） 费用限额
成本 1 000 1 500 6 000
运费 500 400 2 000
产品 90 100
解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则
z=90x+100y.
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：
由得
令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（,）时，直线90x+100y=t中的截距最大.
由此得出t的值也最大，zmax?=90×+100×=440.
答：工厂每月生产440千克产品.
2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？
解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，
则
目标函数为z=2x+3y.
作出可行域：
把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取得最大值.?
解方程得M的坐标为（2，3）.
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.?
3.课本84页1.2.
第2课时
导入新课
师 前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.
师 同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.
生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;
（2）设t=0，画出直线l0;
(3)观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解;
(4)最后求得目标函数的最大值及最小值.
推进新课
师 【例1】 已知x、y满足不等式组试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标及相应的z的最大值.
师 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.
解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组
得C（,），
令t=300x+900y，
即,
欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距t[]900的最大值，从而可求t的最大值，因直线与直线平行，故作的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112 500.
师 【例2】 求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0的整数值.
师 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.
解：可行域如图所示.
四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）,由方程组
得点C的坐标为（,).
因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当x=70,y=90时，z取最大值为zmax=600×70+300×900=69 000.
师 【例3】 已知x、y满足不等式求z=3x+y的最小值.
师 分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.?
解：不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；
不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合.
可行域如右图所示.
作直线l0:3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:3x+y=t(t∈R).
∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.
由图可知：
当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即z min=1.
师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解.
师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
［教师精讲］
师 （1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组表示的平面区域如右图所示：?
当x=0,y=0时，z=2x+y=0，?
点（0，0）在直线l0:2x+y=0上.?
作一组与直线l0平行的直线l:2x+y=t,t∈R.?
可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.
所以z max=2×2-1=3.
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.
从图示可知直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（,）的直线所对应的t最大.
所以z min=3×(-2)+５×(-1)=-11,z max=3×+5×=14.
［知识拓展］?
某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？?
师 分析：将已知数据列成下表：
消耗量 产品资源 甲产品（1 t） 乙产品(1 t) 资源限额（t）
A种矿石（t） 10 4 300
B种矿石(t) 5 4 200
煤(t) 利润（元） 4 9 360
600 1 000
解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，
那么
目标函数为z=600x+1 000y.
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.
作直线l:600x+1 000y=0,
即直线:3x+5y=0,
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y取最大值.
解方程组
得M的坐标为x=≈12.4,y=≈34.4.
答：应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大.
课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.
（2）设t=0，画出直线l0
（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.
（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.
以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解.
当然也要注意问题的实际意义
布置作业
课本第84页3、4.
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