【苏教版必修五教案】3.4.1 基本不等式的证明 教案1

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3.4 基本不等式的证明
第一课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1. 提问：与哪个大？
2.基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）。
二、研探新知
重要不等式 ：一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。
证明:
所以
注意强调 当且仅当时,
注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；
（2） 公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛。
基本不等式：对任意正数、，有当且仅当时等号成立。
证法1：可以将基本不等式2看作是基本不等式1的推论。 由基本不等式1，得 当且仅当时等号成立。即当且仅当时等号成立。
证法2：当且仅当即时，取“”。
证法3：要证，只要证，只要证，只要证
因为最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当即时，取“”。
证法4：对于正数有，
说明： 把和分别叫做正数的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 上述结论可推广至3个正数。
（1）基本不等式成立的条件是：
（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）
（3）的几何解释：（如图1）以为直径作圆，在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径
基本不等式几何意义是：“半径不小于半弦”
（4）当且仅当时，取“”的含义：一方面是当时取等号，即
；另一方面是仅当时取等号，即
。
（5）如果，那么（当且仅当时取“”）．
（6）如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数、的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例1）设为正数，证明下列不等式成立：（1）；（2）
证明：（1）∵为正数，∴也为正数，由基本不等式得∴原不等式成立。
（2）∵均为正数，由基本不等式得，∴原不等式成立。
例2 已知为两两不相等的实数，求证：
证明：∵为两两不相等的实数，∴，，，
以上三式相加：，所以，．
例3 已知都是正数，求证．
证明：由都是正数，得： ，，
∴，即．
例4 已知函数，求的范围
例5求证：．
证明：∵， 又， ∴，
∴，即．
四、巩固深化，反馈矫正
1.已知都是正数，求证：
2.已知都是正数，求证：；
3. 思考题：若，求的最大值
五、归纳整理，整体认识
1．算术平均数与几何平均数的概念；
2．基本不等式及其应用条件；
3．不等式证明的三种常用方法。
小结：正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
（图1）
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