【苏教版必修五教案】3.4.2 基本不等式的应用 教案1

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3.4 基本不等式
教学过程
一．问题情境
1．情境：已知都是正数，给出下面两个命题：
①如果积是定值，那么当时，和有最小值；
②如果和是定值，那么当时，积有最大值．
2．问题：（1）两个命题是否都正确？（2）应用此命题必须具备什么条件？
二．学生活动
证明：∵， ∴ ，
①当 (定值)时， ∴，
∵上式当时取“”， ∴当时有；
②当 (定值)时， ∴，
∵上式当时取“” ∴当时有．
即（1）两个命题是否都正确；（2）应用此命题求最值时必须具备的条件：一“正”、二“定”、三“相等”．
三．数学运用
1．例题：
例1．用长为的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？
解：设矩形的长为，则宽为，
矩形面积，且．
由．（当且近当，即时取等号），
由此可知，当时，有最大值．
答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积．
说明：此题也可转化为求二次函数的最大值．
例2．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为，如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．
解：设水池底面一边的长度为，则另一边长为，水池的总造价为元，根据题意，得：
当．
因此，当水池的底面是边长为的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是元．
例3．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解：设该厂天购买一次面粉，平均每天所支付的总费用为元．
∴购买面粉的费用为元，
保管等其它费用为，
∴
，
当，即时，有最小值，
答：该厂天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
2．练习：1．一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？
2．在直径为的圆的内接矩形中，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最大面积是多少？
四．回顾小结：
1．解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．
五．课外作业：书练习第3，4题；习题第7题；
补充：某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的长方题小房，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元．
基本不等式的应用(2)
教学目标
（1）会运用均值不等式求某些函数的最值，求最大值时注意一正二定三相等．
教学重点，难点
（1）均值不等式的灵活运用．
教学过程
一．问题情境
1．情境：
（1）已知直角三角形两条直角边的和等于，求面积最大时斜边的长，最大面积是多少？
（2）已知直角三角形的周长等于，求面积的最大值．
二．学生活动
（1）设直角三角形两条直角边分别为，则，
，，．当时，取“”，
即面积最大时斜边的长为，最大面积为．
（2）设直角三角形两条直角边分别为，则，
，，
．当时，取“”，
最大面积为．
三．数学运用
1．例题：
例1．过点的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交与两点，当的面积最小时，求直线的方程．
解：点，，
则直线的方程为，
∵直线过点，∴，
由基本不等式得：，
∴，当且仅当，即时，取“”，
此时的面积取最小值，
∴所求直线的方程为，即．
例2．如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？
解：设排版矩形的长和宽分别是，则．
纸张面积为
．
当且仅当，即时，取“”，即有最小值，
此时纸张长和宽分别是和．
答：当纸张长和宽分别是和时，纸张的用量最是少．
例3．如图为定角，分别在的两边上，长为定长，当处在什么位置时，的面积最大？
解：设，，，，
其中为定值，
∴．
∵，∴，
．
当且仅当，即时，的面积最大．
2．练习：（1）练习第1题
（2）①在面积为定值的扇形中，半径是多少时扇形周长最小？
②在周长为定值的扇形中，半径是多少时扇形面积最大？
四．回顾小结：
1．利用均值不等式求函数的最值时要注意一“正”、二“定”、三“相等”
五．课外作业：书练习第5题，书习题第8题，
补充：1．已知，求的最小值，并求相应的值．
2．过点作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线的方程．
3．设正数满足，求的最小值．
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