高二数学竞赛试题
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高二数学竞赛试题（理科）
第I卷
选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、设、分别是平面的法向量，则平面的位置关系是 （ ）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定
2、已知cos（α-）+sinα=
A． B. C．- D．
3、在空间四边形中，、分别是和的中点，，，则 和所成的角是（ ）
A． B． C． D．
4、设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、已知非零向量与满足且，则为
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
6、、、是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7、过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于（ ）
A.2a B. C. D.
8、已知， ，则等于 ( )
A. B . C. D.
9、如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是( )
10、设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共2小题，每小题4分，共8分）
11、在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于________
12、如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好
经过点
D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．
三、解答题：(本大题共4小题共42分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13、（10分）设中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且它们的离心率互为倒数.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的直线交椭圆于、两点,且满足,求直线的方程.
14、（10分）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.
15、（10分）已知点在直线上，点……，顺次为轴上的点,其中，对于任意，点构成以为顶角的等腰三角形, 设的面积为．（1）证明：数列是等差数列；（2）求；（用和的代数式表示）；（3）设数列前项和为，判断与()的大小，并证明你的结论.
16、如图，在四棱锥中，侧面是正三角形且与底面垂直，底面是矩形，是中点，与平面成角.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小；
（3）当为多长时，点到平面的距离为2.
高二教学过程检测数学试题参考答案（理科）
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
D
A
C
C
A
B
C
二、填空题：
11 -2008 12. B,D
三、解答题：
13、（Ⅰ） 设椭圆的方程为
则有…………………………4分
解得, 椭圆的方程为…………………………6分
(Ⅱ)当不存在时,直线为与椭圆无交点…………………………7分
当存在时,设
代入整理得:
设,则有……………………10分
,即……………………12分
解得:
所求直线的方程为……………………14分
14解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.
又 BC∥AD，因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.
而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，
所以 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.
所以 AE⊥PD.
（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.
由（Ⅰ）知 AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中，AE=，
所以 当AH最短时，∠EHA最大，
即 当AH⊥PD时，∠EHA最大.
此时 tan∠EHA=
因此 AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，
所以 PA=2.
解法一：因为 PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，
所以 平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,
又在Rt△ESO中，cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值为
解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以
E、F分别为BC、PC的中点，所以
A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），
所以
设平面AEF的一法向量为
则 因此
取
因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以 BD⊥平面AFC，
故 为平面AFC的一法向量.
又 =（-），
所以 cos＜m, ＞=
因为 二面角E-AF-C为锐角，
所以所求二面角的余弦值为
15解：（1）由于点在直线上，
，因此，所以数列是等差数列 ……4分
（2）由已知有，那么
同理以上两式相减，得，
∴成等差数列；也成等差数列。
，
……6分
点，则，，
…10分
（3）由(1)得:， ……10分
则
而，则，
即
∴
∴
，由于 ，
而,
则, 从而,
同理:
……
以上个不等式相加得：
即，从而 ……16分
16、取AD的中点O，连结PO.是正三角形，，又面
面ABCD，以O为原点，OD为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，连OC，则为PC与面ABCD所成角，
设，则
（1）
异面直线PE、AD所成角的余弦值为
（2）
设平面PCE的一个法向量为
则
又平面DEC的一个法向量为
又二面角为锐二面角，二面角的大小为.
（3），D到平面PCE的距离
由得 即AD为时，点D到平面PCE的距离为2.
第I卷
选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、设、分别是平面的法向量，则平面的位置关系是 （ ）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定
2、已知cos（α-）+sinα=
A． B. C．- D．
3、在空间四边形中，、分别是和的中点，，，则 和所成的角是（ ）
A． B． C． D．
4、设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、已知非零向量与满足且，则为
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
6、、、是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7、过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于（ ）
A.2a B. C. D.
8、已知， ，则等于 ( )
A. B . C. D.
9、如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是( )
10、设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共2小题，每小题4分，共8分）
11、在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于________
12、如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好
经过点
D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．
三、解答题：(本大题共4小题共42分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13、（10分）设中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且它们的离心率互为倒数.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的直线交椭圆于、两点,且满足,求直线的方程.
14、（10分）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.
15、（10分）已知点在直线上，点……，顺次为轴上的点,其中，对于任意，点构成以为顶角的等腰三角形, 设的面积为．（1）证明：数列是等差数列；（2）求；（用和的代数式表示）；（3）设数列前项和为，判断与()的大小，并证明你的结论.
16、如图，在四棱锥中，侧面是正三角形且与底面垂直，底面是矩形，是中点，与平面成角.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小；
（3）当为多长时，点到平面的距离为2.
高二教学过程检测数学试题参考答案（理科）
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
D
A
C
C
A
B
C
二、填空题：
11 -2008 12. B,D
三、解答题：
13、（Ⅰ） 设椭圆的方程为
则有…………………………4分
解得, 椭圆的方程为…………………………6分
(Ⅱ)当不存在时,直线为与椭圆无交点…………………………7分
当存在时,设
代入整理得:
设,则有……………………10分
,即……………………12分
解得:
所求直线的方程为……………………14分
14解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.
又 BC∥AD，因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.
而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，
所以 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.
所以 AE⊥PD.
（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.
由（Ⅰ）知 AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中，AE=，
所以 当AH最短时，∠EHA最大，
即 当AH⊥PD时，∠EHA最大.
此时 tan∠EHA=
因此 AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，
所以 PA=2.
解法一：因为 PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，
所以 平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,
又在Rt△ESO中，cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值为
解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以
E、F分别为BC、PC的中点，所以
A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），
所以
设平面AEF的一法向量为
则 因此
取
因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以 BD⊥平面AFC，
故 为平面AFC的一法向量.
又 =（-），
所以 cos＜m, ＞=
因为 二面角E-AF-C为锐角，
所以所求二面角的余弦值为
15解：（1）由于点在直线上，
，因此，所以数列是等差数列 ……4分
（2）由已知有，那么
同理以上两式相减，得，
∴成等差数列；也成等差数列。
，
……6分
点，则，，
…10分
（3）由(1)得:， ……10分
则
而，则，
即
∴
∴
，由于 ，
而,
则, 从而,
同理:
……
以上个不等式相加得：
即，从而 ……16分
16、取AD的中点O，连结PO.是正三角形，，又面
面ABCD，以O为原点，OD为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，连OC，则为PC与面ABCD所成角，
设，则
（1）
异面直线PE、AD所成角的余弦值为
（2）
设平面PCE的一个法向量为
则
又平面DEC的一个法向量为
又二面角为锐二面角，二面角的大小为.
（3），D到平面PCE的距离
由得 即AD为时，点D到平面PCE的距离为2.