江苏省盱眙中学2010-2011学年度高二上学期期末考试（数学）

盱眙中学2010—2011学年度高二第一学期期末考试
数学试卷
考试时间：120分钟
一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.）
1、命题“”的否定是 ★
2、“”是“”的 ★ 的条件
（填充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）
3、抛物线的焦点坐标是 ★
4、（文科）若，则 ★
（理科）设，，且，则 ★
5、直线：必过定点 ★
6、双曲线的渐近线方程是 ★
7、点P是椭圆上一点，分别是左、右焦点，若，则的值为 ★
8、如果直线与直线平行，则实数 ★
9、方程 表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 ★
10、椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是 ★
11、圆心为且与直线相切的圆的标准方程为 ★
12、
（文科）已知函数的导数若在处取到极大值，则的取值范围是 ★
（理科）如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的
中点，G在AE上且,以{}为基底，
则 ★
13、（文科）设直线是曲线的一条切线，则实数的值是 ★
（理科）设为坐标原点,向量，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为 ★
14、如图，在平面直角坐标系中，点为椭圆:
的左顶点，在椭圆上，若
四边形为平行四边形，且=45°,则椭圆
的离心率的值等于 ★
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，，、分别为、的中点.
（1）求证：；
（2）求证：.
16、（本小题满分14分）
已知双曲线与椭圆有公共的焦点为，,它们的离心率之和为，为椭圆上一点，的周长为.
（1）求椭圆的离心率和椭圆的标准方程.
（2）求双曲线的标准方程.
17、（本小题满分14分）
如图，已知抛物线方程为．
（1）直线过抛物线的焦点F，且垂直于x轴，与抛物线交于
A、B两点，求AB的长度．
（2）直线过抛物线的焦点，且倾斜角为，直线与抛
物线相交于C、D两点，O为原点．求△OCD的面积．
18、（本小题满分16分）
（文科）已知函数在时取得极值．
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的最大值．
（理科）
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形
AB＝BC=，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？
（2）设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
19、（本小题满分16分）
如图,A村在B地正北处,C村与B地相距4,且在B地的正东方向.已知环形公路上任意一点到B、C的距离之和都为8,现要在公路旁建造一个变电房M (变电房与公路之间的距离忽略不计)分别向A村、C村送电. 以BC所在的直线为X轴,BC的垂直平分线为Y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
⑴求环形公路所在曲线的轨迹方程；
⑵问变电房M应建在A村的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所用电线最少?并求出最小值.
20、（本小题满分16分）
已知椭圆的右焦点为,上顶点为,为上任一点,
MN是圆的一条直径.若与平行且在轴上的截距为的直线恰好与圆C2相切.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若的最大值为49，求椭圆的方程.
（3）若过椭圆的右焦点为的直线交椭圆的于两点、,交轴于点，
若，，求证:是定值.
盱眙中学2012届高二第一学期期末考试参考答案
一、填空题
1、 2、充分不必要 3、
4、（文科） （理科）9 5、（2,1） 6、
7、12 8、-6 9、 10、
11、
12、（文科） （理科）
13、（文科）1 （理科） 14、
二、解答题
15、证明：（1）在中，∵、分别为、的中点，
∴6分
又
∴所以7分
（2） 在直三棱柱，，
平面， ∴ ………………11分
∵在中，，为的中点，
∴ ………………13分
、平面
∴平面 又平面
∴ ………………14分
16、
解：（1）由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=……………………6分
椭圆的标准方程为为……………………………7分
（2）因为双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2
从而c=4,a=2,b=2………………………13分
所以求双曲线方程为: ……………………14分
17、解：（1）由,得，，则…………6分
（2），………………9分
由得到,………10分
解得
…………13分
故………14分
（其他做法相应给分）
18、（文科）
解：（1）对函数求导数，得. …………… 4分
因为在时取得极值， 所以，
即， 解得． …………… 6分
所以 ． …………… 7分
（2），
令，解得或； 令，解得．
在区间和内单调递增，在内单调递减， … 14分
所以递增，递减，递增
当时，有极大值．又，
所以函数在区间上的最大值为． …… 16分
（理科）
【解】 （1）因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，
BB1⊥面ABC，∠ABC＝．
以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
因为AC＝2，∠ABC＝90o，所以AB＝BC＝，
从而B(0，0，0)，A，C，B1(0，0，3)，A1，C1，D，E．
所以，
设AF＝x，则F(，0，x)，
.
，所以
要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.
由＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2，
故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．……………8分
（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1=（0，0，1）.
设平面B1CF的法向量为，则由得
令z=1得，
所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值
…… 16分
19.解：（1）B(-2,0),C(2,0),又设环形公路PQ上任意一点为M,由题意知,,故M的轨迹是以B,C为焦点,长轴长为8的椭圆,
故椭圆方程是.-------8分;(不需要注出范围)
（2）要使架设电线最少,即最小,由椭圆定义知,,
所以=--------10分;
又因为 故,
所以最小值是------------13分;
当取得最小值时轴,解得,,
即变电房位于村正北方向,距离A村.------15分.
答：当变电房 位于村正北方向,距离A村处时,架设电线最少,且最小值为.----------16 分.
20.解：（1）直线的方程是:
因为直线与圆:相切,所以
化简得,所以---------5分；
（2）
由（1）知该椭圆中即设椭圆方程为
设为椭圆上一点，则
---
若，即
由∴所求椭圆方程为；
若，则有最大值，
由（舍去）
综合得椭圆的方程是：---------------11分；
（3）设直线：与椭圆：相交于不同的两点、，交轴于,且.
由已知得,
整理得:,,…………14分
将S点的坐标代入椭圆:得,
去分母得:
--------①
同理可得: --------②…………15分
所以、是方程的两根,
由求根公式得：.----16分.
另:若把（2）中得到的椭圆方程代入(3)中处理,也视作正确.
设直线：与椭圆：相交于不同的两点、，交轴于,且.
由已知得,
整理得:,,将S点的坐标代入椭圆:得
,去公母得:
--------①
同理可得: --------②
所以、是方程的两根，由求根公式得：
.----16分.
上述答案仅供参考,如有其它不同解法,请参照给分.