必修5 第一章 解三角形 1.3 正弦定理、余弦定理的应用 训练
文档属性
| 名称 | 必修5 第一章 解三角形 1.3 正弦定理、余弦定理的应用 训练 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 90.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-02-28 07:27:00 | ||
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文档简介
1.3 正余弦定理的应用
一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．某人朝正东方向走了x km后，向左转1500后，再向前走了3 km，结果他离出发点恰好km，那么x= 。
2.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC的形状是 三角形。
3．一飞机沿水平方向飞行，在位置A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行了10000米，到达位置B时测得正前下方地面目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为 米．
4．在平行四边形ABCD中，已知AB=1，AD=2，，则= ．
5．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水
中漂行，此时，风向是北偏东300，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若
不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东___________，大小为___________km/h.
6.把一30厘米的木条锯成两段，分别做钝角三角行ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120，
AB= 时，才能使第三条边AC最短。
7. 在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A、B、C，且。则角B= 。
8． 如图2，在四边形ABCD中，已知AD(CD, AD=10, AB=14, (BDA=60(, (BCD=135( ，
则BC= 。
二．解答题(本大题共4小题，共54分)
9．在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线
成15°方向把球击出，根据经验，通常情况下，球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样
布置，游击手能否接着球？
10. 在ΔABC中，b=asinC且c=asin(900-B)，判定ΔABC的形状。
11.平面内三个力，，作用于同丄点O且处于平衡状态，已知，的大小分别为1kg，kg，、的夹角是45°，求的大小及与夹角的大小.
12. 在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值。
答案
1．或2. 提示：由余弦定理知3=x2+32-6xcos300,解得x=或2.
2．等腰。提示:由2sinAcosB=sinC,知2sinAcosB=sin(A+B),
??? ∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.即cosAsinB-sinAcosB=0.??∴sin(B-A)=0， ∴B=A.
3．。提示：由正弦定理得，得x=.
4.。提示：，得cosA=,A=600.故B=1200。由余弦定理知：AC2=12+22-4cos1200=7, =.
5.60， 20。提示：解法一：如图1，∠AOB=600,
由余弦定理知OC2=202+202-800cos1200=1200,故OC=20。
解法二：实质求,平方即可。 图1
6. 15.提示：在△ABD中，设AB=x（0＜x＜30） 由余弦定理，得
AC=x－2x（30-x）cos120 =900-30x+x=（x—15）+675，
所以 把AB锯成15厘米时第三条边AC最短
7..提示：由正弦定理可设=k.
代入已知式，可得，
由余弦定理，，
8.。提示：在△ABD中，设BD=x，
则
即 ， 图2
整理得：，解之： ，（舍去）。
由正弦定理： ∴。
9解．如图3：设接球点为B，O为守垒，A为游击手出发点
，
故不能接着球． 图3
10解：∵ c=asin(900-B)=acosB=
；
又∵
由条件
∴综上得ΔABC是等腰直角三角形。
11.解 如图4，设与的合力为，则|F|=|F3|.
∵∠F1OF2=45° ∴∠FF1O=135°.
在△OF1F中，由余弦定理
=.
.
又由正弦定理，得. 图4
∴∠F1OF=30° 从而F1与F3的夹角为150°.
答：F3的大小是（+1）kg,F1与F3的夹角为150°.
12解法一：由余弦定理，
因此， 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理
解得从而
解法二：由余弦定理，
因此，，由，
得
所以 ①
由正弦定理.
由①式知故∠B<∠A，因此∠B为锐角，于是，
从而
说明 求的关键是利用余弦定理的变式：cosA=。另外，在三角形中内角和为1800也是常用的一个结论。
备选题：
1.为了测河宽，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标识物C，测得∠CAB=45，∠CBA=75， AB=120米，则河宽= 。
1. 60+20.提示：把AB看成河岸，要求的河宽就是C到AB的距离，也就是的边AB上的高。在中，有正弦定理，得BC==40（米）。
设河宽为h=BCsin75=40×=60+20.
2. 在△中，角所对的边分别为，已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）由余弦定理，，得，
．
（2）方法1：由余弦定理，得，
∵是的内角，
∴．
方法2：∵，且是的内角，∴．
根据正弦定理，，得．
3. 某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离．
解：如图5，在△ABP中，AB = 30×= 20，
∠APB =，∠BAP =，
由正弦定理，得：=，即=，解得BP =．
在△BPC中，BC = 30×= 40，
由已知∠PBC =，∴PC === (海里)． 图5
所以P、C间的距离为海里．
一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．某人朝正东方向走了x km后，向左转1500后，再向前走了3 km，结果他离出发点恰好km，那么x= 。
2.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC的形状是 三角形。
3．一飞机沿水平方向飞行，在位置A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行了10000米，到达位置B时测得正前下方地面目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为 米．
4．在平行四边形ABCD中，已知AB=1，AD=2，，则= ．
5．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水
中漂行，此时，风向是北偏东300，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若
不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东___________，大小为___________km/h.
6.把一30厘米的木条锯成两段，分别做钝角三角行ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120，
AB= 时，才能使第三条边AC最短。
7. 在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A、B、C，且。则角B= 。
8． 如图2，在四边形ABCD中，已知AD(CD, AD=10, AB=14, (BDA=60(, (BCD=135( ，
则BC= 。
二．解答题(本大题共4小题，共54分)
9．在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线
成15°方向把球击出，根据经验，通常情况下，球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样
布置，游击手能否接着球？
10. 在ΔABC中，b=asinC且c=asin(900-B)，判定ΔABC的形状。
11.平面内三个力，，作用于同丄点O且处于平衡状态，已知，的大小分别为1kg，kg，、的夹角是45°，求的大小及与夹角的大小.
12. 在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值。
答案
1．或2. 提示：由余弦定理知3=x2+32-6xcos300,解得x=或2.
2．等腰。提示:由2sinAcosB=sinC,知2sinAcosB=sin(A+B),
??? ∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.即cosAsinB-sinAcosB=0.??∴sin(B-A)=0， ∴B=A.
3．。提示：由正弦定理得，得x=.
4.。提示：，得cosA=,A=600.故B=1200。由余弦定理知：AC2=12+22-4cos1200=7, =.
5.60， 20。提示：解法一：如图1，∠AOB=600,
由余弦定理知OC2=202+202-800cos1200=1200,故OC=20。
解法二：实质求,平方即可。 图1
6. 15.提示：在△ABD中，设AB=x（0＜x＜30） 由余弦定理，得
AC=x－2x（30-x）cos120 =900-30x+x=（x—15）+675，
所以 把AB锯成15厘米时第三条边AC最短
7..提示：由正弦定理可设=k.
代入已知式，可得，
由余弦定理，，
8.。提示：在△ABD中，设BD=x，
则
即 ， 图2
整理得：，解之： ，（舍去）。
由正弦定理： ∴。
9解．如图3：设接球点为B，O为守垒，A为游击手出发点
，
故不能接着球． 图3
10解：∵ c=asin(900-B)=acosB=
；
又∵
由条件
∴综上得ΔABC是等腰直角三角形。
11.解 如图4，设与的合力为，则|F|=|F3|.
∵∠F1OF2=45° ∴∠FF1O=135°.
在△OF1F中，由余弦定理
=.
.
又由正弦定理，得. 图4
∴∠F1OF=30° 从而F1与F3的夹角为150°.
答：F3的大小是（+1）kg,F1与F3的夹角为150°.
12解法一：由余弦定理，
因此， 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理
解得从而
解法二：由余弦定理，
因此，，由，
得
所以 ①
由正弦定理.
由①式知故∠B<∠A，因此∠B为锐角，于是，
从而
说明 求的关键是利用余弦定理的变式：cosA=。另外，在三角形中内角和为1800也是常用的一个结论。
备选题：
1.为了测河宽，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标识物C，测得∠CAB=45，∠CBA=75， AB=120米，则河宽= 。
1. 60+20.提示：把AB看成河岸，要求的河宽就是C到AB的距离，也就是的边AB上的高。在中，有正弦定理，得BC==40（米）。
设河宽为h=BCsin75=40×=60+20.
2. 在△中，角所对的边分别为，已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）由余弦定理，，得，
．
（2）方法1：由余弦定理，得，
∵是的内角，
∴．
方法2：∵，且是的内角，∴．
根据正弦定理，，得．
3. 某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离．
解：如图5，在△ABP中，AB = 30×= 20，
∠APB =，∠BAP =，
由正弦定理，得：=，即=，解得BP =．
在△BPC中，BC = 30×= 40，
由已知∠PBC =，∴PC === (海里)． 图5
所以P、C间的距离为海里．