【苏教版选修1-1教案】2.2.2 椭圆的几何性质1

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2.2.2 椭圆的几何性质
三、教学过程：
(一)、复习回顾：
（1） 椭圆的定义
（2） 椭圆的标准方程
（3） 椭圆中a,b,c的关系
（二）、讲授新课：
１．范围：
椭圆位于直线和所围成的矩形里．
原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x,y）都适合不等式
即,
2．对称性：
从图形上看：椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。
３．顶点：
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？（-a,0）, (a,0)
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？(０，－b), (0,b)
(1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
(2)长轴、短轴：线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；
(3)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；
４．离心率：
椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．
说明①因为所以．
②e越接近１，则c越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于０，c越接近于０，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆；
③当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆．
[对于上述性质要求学生熟练掌握，并能由此推出焦点在y轴的椭圆标准方程的几何性质（要求学生自己归纳），并能根据椭圆方程得到相应性质．]
（三）典型例题
例１　求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程这里a=５,b=4,所以．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率，两个焦点分别是Ｆ１（－３，０）和Ｆ２（３，０），椭圆的四个顶点是Ａ１（－５，０），Ａ２（５，０），Ｂ１（０，－４）和Ｂ２（０，４）．
将已知方程变形为，根据在０范围算出几个点坐标：
x 0 1 2 3 4 5
y 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0
先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．
说明：①本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．
②根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．
例2　 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点P(－3，0)、Q(0，－2)；
解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点．于是得
a＝3，b＝2．
又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为
(2)由已知，
∴　 a＝10，c＝6．
∴　 b2=102－62=64．
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为
例3　 如图8－8，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km．求卫星运行的轨道方程(精确到1km)．
解：如图8－8，建立直角坐标系，使点A、B、F2在x轴上，F2为椭圆的右焦点(记F1为左焦点)．
因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
则
a－c＝|OA|－|OF2|＝|F2A|
=6371＋439＝6810，
a＋c=|OB|＋|OF2|=|F2B|
=6371＋2384=8755．
解得
a＝7782.5，c＝972.5．
用计算器求得b≈7722．
因此，卫星的轨道方程是
(四)小结
解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置学生最后小结下列表格：
五、作业
课本 习题4,5,6
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