【苏教版选修1-1教案】2.2.2 椭圆的几何性质2

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2.2.2 椭圆的几何性质
教学过程：
创设问题情景，学生自主探究：
方程表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？
学生活动过程：
情形1：列表、描点、连线进行做图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；
情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；
情形3：方程变形，求出，联想椭圆画法，利用绳子做图；
情形4：只做第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其它象限内的图形；
辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯。
设计意图：
（1）问题设置来源于课本例题，选题目的有利于学生从多个角度进行思考和探索，培养学生的发散思维，第一问的解决旧体现了对二元二次方程的研究，为利用方程研究性质打下基础；
（2）课堂教学体现学生自主探究知识的过程，问题的设置体现了研究问题角度的转变——用方程研究曲线性质的问题，同时使学生意识到椭圆的几何特征：范围、对称性、关键点；
（3）实物投影展示学生的研究过程和研究成果，重在发现学生的思维差异和思维认识层次；
（4）辨析过程中重视学生的思维起点，通过彼此交流，发现问题，共同探讨，得到统一的认识。
教师点评：
（1）能够抓住椭圆的几何特征；范围、对称性、关键点做图；
（2）研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；
（3）本节课我们利用椭圆更一般的方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一般的思想方法。
教师板书：椭圆的简单几何性质
1、 引导评价，引入课题：
设置问题，学生思考：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程有什么特点？
（1）椭圆方程是关于的二元二次方程；
（2）方程的左边是平方和的形式；右边是常数1；
（3）方程中和的系数不相等；
设计意图：类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备.
【问题1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围；
实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维：
学生活动过程：
情形1：变形为：
这就得到了椭圆在标准方程下的范围：
同理，我们也可以得到的范围：
情形2：可以把看成，利用三角函数的有界性来考虑的范围；
教师点评：太聪明了，你可能没有意识到，如果将a,b乘过去，就得到了，这是我们以后要学习的椭圆方程的另外一种表达方式，椭圆的参数方程，有兴趣的同学下起可以阅读有关内容，所以说我们在研究问题的过程中，结果并不重要，重要的要打开研究问题的思路，拓宽我们的思维角度。
谁还有其他的方法：
情形3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以，同理可以得到的范围
设计意图：
（1）传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程进行证明，没有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子，因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点，使学生在把握椭圆方程结构特征（1）和（2）的基础上来研究椭圆曲线的几何性质；
（2）通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现的异常活跃，除了教材中得到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到，使学生真正感受成功的喜悦；
（3）多媒体课件展示椭圆的范围，体现数形结合思想。
结论：由椭圆方程中的范围得到椭圆位于直线和所围成的矩形里。
【问题2】自主探究：继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性；
实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：
代后方程不变，说明椭圆关于轴对称；
代后方程不变，说明椭圆曲线关于轴对称；
、代，后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；
问题设置：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？
辨析与研讨：代后方程不变，就是用来代换方程中的，方程不变，和关于轴对称，两点坐标都满足方程，而是曲线上任意一点，因此椭圆曲线关于轴对称；其它同理。
相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
设计意图：
（1） 抓住椭圆标准方程的特点不放松，引导学生探究如何利用方程研究椭圆的对称性；
（2） 在学生的表述过程中重视学生的思维方式，培养学生正确处理问题的
思路，能够引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法；
（3） 多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美。
【问题3】自主探究：再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标
实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：
在椭圆的标准方程中，令，得，，得
顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点
顶点坐标；，
相关概念：线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长,
在椭圆的定义中，表示焦距，这样，椭圆方程中的就有了明显的几何意义。
设置问题：
在椭圆标准方程的推导过程中令能使方程简单整齐，其几何意义是什么？
学生探究：
表示半焦距，表示短半轴长，因此，联结顶点和焦点，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，，即；
多媒体展示特征三角形.
设计意图：
（1）利用方程研究椭圆的顶点坐标学生比较容易接受，相关概念也容易理解，关键是的几何意义，多媒体课件的展示体现的几何意义，从而得到的本质。
三、课堂练习：
阅读课本例1，你有什么认识？
（1）利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程画为标准方程，然后找出相应的。
利用椭圆的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性
（2）掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项：
（1）以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；
（2）由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；
（3）用曲线将四个顶点连成一个椭圆；
（4）画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性.
设计意图：
（1）学生阅读交流提高认识而不是教师讲解，能够使学生感悟知识的应用；
（2）与开头相呼应，使学生认识到椭圆的简单几何性质能够简化做图过程；
2、 反思与评价：
回顾知识的形成过程，同学交流，谈谈对本节课的认识：
（1）知识与技能：椭圆的范围、对称性、顶点，初步学习了利用椭圆标准方程研究椭圆曲线性质的方法；
（2）过程与方法：重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养了我们观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力；
（3）情感、态度与价值观：善于观察，敢于创新，学会与人合作，感受到探究的乐趣，体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
设计意图：不会反思，就不会学习，通过反思，深化知识的形成过程，完善认知结构，掌握研究的方法和思路，拓宽思维角度，提高思维层次。
五、课后作业：课本 习题4,5,6
（1）反思知识的形成过程，掌握研究问题的方法；
（2）研究的范围、对称性、顶点；
（3）课后延伸：同学们再来观察椭圆的结构特征“方程中和的系数不相等”，因此当和的系数发生变化时，椭圆的形状是如何随之变化的？
设计意图：课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸，作业（1）强调研究方法的重要性，作业（2）是对学生学习效果的一种检验，作业（3）引导学生利用椭圆方程的结构特征自主研究椭圆的另一条性质——离心率；
附录：板书设计
8.2 椭圆的简单几何性质
椭圆的标准方程：
1、范围：椭圆位于直线和所围成的矩形里。
2、对称性：椭圆关于轴、轴、原点都对称
3、顶点：顶点坐标为：，
课堂练习：
反思与评价：
课后作业：
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