【苏教版选修1-1教案】2.3.1 双曲线的标准方程1

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2.3.1 双曲线的标准方程
【教学过程】:
一.情境设置
(1)复习提问：
(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)
问题 1：椭圆的定义是什么？
问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？
问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？
(2)探究新知:
(1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。
(2)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？
②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？
③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？
（请学生回答：应小于|F1F2| 且大于零，当常数等于|F1F2| 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数大于|F1F2| 时，无轨迹）
二.理论建构
1.双曲线的定义
引导学生概括出双曲线的定义：
定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。（投影）
概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于”
2.双曲线的标准方程
现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）
（1）建系
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。
(2) 设点
设M（x,y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），则F1（－c，0）、F2（c，0），又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a<2c）.
（3）列式
由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF1|－|MF2||=2a}.
即:
（4）化简方程
由一位学生板演，教师巡视。化简，整理得：
移项两边平方得
两边再平方后整理得
由双曲线定义知
这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），
思考: 双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么
学生得到: 双曲线的标准方程:.
注:
(1)双曲线的标准方程的特点：
①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)
②有关系式成立，且
其中a与b的大小关系:可以为
(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
三.数学应用
例1已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程
解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
(,)
∵ ∴ ∴
所求双曲线标准方程为
变式1:若|PF1|-|PF2|=6呢？
变式2:若||PF1|-|PF2||=8呢？
变式3:若||PF1|-|PF2||=10呢？
四.课堂小结:
双曲线的两类标准方程是焦点在轴上，焦点在轴上,有关系式成立，且 其中a与b的大小关系:可以为
五、作业
六、板书设计：
双曲线的定义双曲线的标准方程1、焦点在x轴上 2、焦点在y轴上例题解析例1例2例3
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