【苏教版选修1-1教案】2.3.1 双曲线的标准方程2

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2.3.1双曲线的标准方程
教学过程：复习椭圆的定义及标准方程　→　新知探索　→　数学实验　→　双曲线　→　展示现实生活中的双曲线　→　双曲线的定义　→　对定义的思考　→　双曲线标准方程的推导　→　例与练　→　课堂小结　→　作业　→　研究性学习
1、 复习引入：
前面我们已经学习了椭圆的有关知识，请同学们回忆一下椭圆的定义。
问题1：椭圆的定义是什么？
(板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
二、新知探索
1、 思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样点是否存在？若存在，轨迹会什么？
2、 实物拉链演示：双曲线的形成(请同学参与协助画图)
(取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边的长度相等，现将其中的一边剪掉一段(长为2a)，两端点分别固定在黑板的两个定点F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉笔就画出了一条曲线。
请同学们观察在变化中哪些量在变化，哪些量不变。)思考如何改进作图工具？
3、 对双曲线有了初步的认识，现实生活中的双曲线的实物图(古代建筑 、现代建筑、冷却塔、北京市区交通图)，这些古今中外与双曲线有关的图片给人一种对称、简洁、流畅的美的享受。那么，如何给双曲线一个科学的定义呢？
4、（请同学回答）双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
(1)定义中“平面内”起到什么作用？
如果没有这个条件，点的轨迹将变为一个立体图形。
(2)将定义中的“绝对值”去掉，动点的轨迹是什么？
双曲线的一支，双曲线有两支，丢掉任意一支都是不完整的。
(3)将定义中的常数改为零，动点的轨迹是什么？
F1F2的中垂线。
(4)将定义中的“小于”改为“等于”，动点的轨迹是什么？
两条射线。
(5)将定义中的“小于”改为“大于”，动点的轨迹是什么？
不存在。
(6)将定义中的“小于|F1F2|”去掉，动点的轨迹是什么？
分类讨论
电脑演示(用几何画板制作课件)以上6种情形，在上述基础上，引导学生再次理解双曲线的定义。
2、双曲线标准方程的推导
现在我们可以用类似于求椭圆标准方程的方法求双曲线的标准方程，请同学们思考回忆椭圆标准方程的推导方法，随后引导学生自己推导。
(1)建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)
建立直角坐标系．
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，
那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与
F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a．
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．
(3)代数方程
(4)化简方程
将这个方程移项，两边平方得：
cx+a2=±
化简整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．
由双曲线定义，2c＞2a>0　 即c＞a>0，所以c2-a2＞0．
设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2．
这就是双曲线的标准方程．(从以上推导过程中可知，曲线上的每一点的坐标都满足方程。
若以F1F2所在的直线为y轴，F1F2的中垂线为x轴建立直角坐标系，只须将方程中的x、y对调即得
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
(1) 表示焦点在X轴上的双曲线，焦点是F1(-c，0)、 F2（c，0），这里c2=a2+b2。
(2) 表示焦点在y轴上的双曲线，焦点是F1(0，-c)、 F2（0，c），这里c2=a2+b2。
(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．
三、例与练
例1：判断下列方程是否表示双曲线，若是，写出焦点坐标
(1) (2) 2y2-7x2= -14
是(2，0) 是(0，)
例2：已知双曲线两个焦点F1(-5,0)、F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
分析：(1)“定位” 中心是否在原点，焦点在哪个轴上，以便确定是哪个标准方程；
(2)“定量” 双曲线的标准方程中有两个参数，必须有两个相互独立的条件来确定a和b；
c=5，2a=6，所以b2=c2-a2=52-32=42．
例3：已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，求m的取值范围。
分析：(2-m)>0且(m+1)>0
得 -1变式一：已知方程表示双曲线，求m的取值范围。
分析：(2-m)(m+1)>0
得 -1变式二：已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，求m的取值范围和焦点坐标。
分析：
变式三：上述方程是否可以表示椭圆和圆？
分析： 2-m>0且m+1>0
得-1当2-m=m+1>0时
得m=时，表示圆。
四、小结
双曲线与椭圆的联系与区别(图表)。
五、布置作业 1、2、3
六、研究性问题：平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹是什么？
建议：
1、可以进行理论研究
2、可以利用电脑进行研究
3、可以利用文曲星自编BASIC语言进行研究
4、进行合作探究，相互学习和交流。
设两定点分别为 A（-c, 0）、 B (c , 0 ) , c >0 . 平面上任意一点P ( x , y )到两定点的距离的积为a , 则
当c2 >a时，点的轨迹为两个分离的封闭图形，如图1所
当c2 =a时，点的轨迹为两个相切的封闭图形，在原点相切，如图2所示。
当c2 图1 　图2　　　　　　　图3
平面内到两个定点的距离之商为定值K的点的轨迹是什么？
当K>0且不等于1时，表示圆，当K等于1 时，表示中垂线。
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