【苏教版选修1-1教案】2.4.2 抛物线的几何性质2

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2.4.2 抛物线的几何性质
【教学过程】：
一、复习引入：
回顾椭圆和双曲线的定义;生活中抛物线的引例:
二、讲解新课：
1、 抛物线定义：
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
注: (1)定点不在这条定直线；
(1)定点在这条定直线，则点的轨迹是什么？
2、推导抛物线的标准方程：
如图所示，建立直角坐标系，设（）,
那么焦点的坐标为，准线的方程为，
设抛物线上的点，则有
化简方程得
方程叫做抛物线的标准方程
（1）它表示的抛物线的焦点在轴的正半轴上，焦点坐标是，
它的准线方程是
（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下
3、抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出（），则抛物线的标准方程如下：
(1), 焦点:，准线：
(2), 焦点:，准线：
(3), 焦点:，准线：
(4) , 焦点:，准线：
相同点：(1)抛物线都过原点；
(2)对称轴为坐标轴；
(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称； 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即；
不同点：(1)图形关于轴对称时，为一次项，为二次项，
方程右端为、左端为；
图形关于轴对称时，为二次项，为一次项，
方程右端为，左端为
（2）开口方向在轴（或轴）正向时，焦点在轴（或轴）的正半轴上，方程右端取正号；
开口在轴（或轴）负向时，焦点在轴（或轴）负半轴时，方程右端取负号
三、讲解范例：
例1 （1）已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程
　 （2）已知抛物线的焦点坐标是（0，－2），求它的标准方程
分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用的代数式表示的，所以只要求出即可；
　　（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出，问题易解。
解析：（1），焦点坐标是（，0）准线方程是．
（2）焦点在轴负半轴上，＝2，
所以所求抛物线的标准议程是．
例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是F（－5，0）
（2）经过点A（2，－3）
分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况
解：（1）焦点在x轴负半轴上，＝5，
所以所求抛物线的标准议程是．
（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2＝2px或x2＝－2py．
点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
∴所求抛物线的标准方程是或x2＝－y
例2 已知抛物线的标准方程是（1），（2），
求它的焦点坐标和准线方程．
分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数的值．
解：（1），焦点坐标是（3，0）准线方程
（2）先化为标准方程，，焦点坐标是（0，），
准线方程是.
四、课堂练习：
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y2＝8x （2）x2＝4y （3）2y2＋3x＝0 （4）
2．根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）焦点是F（－2，0）
（2）准线方程是
（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上
（4）经过点A（6，－2）
3．抛物线x2＝4y上的点p到焦点的距离是10，求p点坐标
点评：练习时注意（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；（2）p表示焦点到准线的距离故p＞0； （3）根据图形判断解有几种可能
五、小结 ：小结抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念；
六、课后作业：
七、板书设计（略）
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